二元泰勒展开

意义： 用 ： 意义 可 n次多项式 近似表达 数 f (x)， 来 函 且 高阶的无穷小． 误差是当x → x0时比( x − x0 ) 高阶的无穷小．
n
问题 能否用多个变量的多项式来近似 表达一个给定的多元函数， 表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误 差的大小. 差的大小.
即 设z = f ( x, y)在 ( x0 , y0 )的某一 域内 点 邻 连续 阶的连续偏导数, 且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( x0 + h, y0 + h) 为此邻域内任一点, 为此邻域内任一点,能否把函数 f ( x0 + h, y0 + k) 地表 为h = x − x0 , k = y − y0的n次多 达 项式， 近似 项式， 且误差是当ρ = h2 + k2 →0时比ρ n 高阶的无穷 小．
∂ ∂ f ( x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) ∂y ∂x 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ + x + y f (0,0) +L+ x + y f (0,0) 2! ∂x n! ∂x ∂y ∂y + 1 ∂ ∂ x +y (n + 1)! ∂x ∂y
n+1 p
( x0+ht , y0+kt )
∂ ∂ = h + k ∂y ∂x
n+1
f ( x0 + ht , y0 + kt ).
利用一元函数的麦克劳林公式，得 利用一元函数的麦克劳林公式，
1 Φ(1) = Φ(0) + Φ′(0) + Φ′′(0) +L 2! 1 (n) 1 ( n+1) + Φ (0) + Φ (θ ), (0 < θ < 1). n! (n + 1)!
第九节 二元函数的泰勒公式
一、问题的提出 二、二元函数的泰勒公式 三、极值充分条件的证明
一、问题的提出
一元函数的泰勒公式
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
( n) ′′( x0 ) f f ( x0 ) 2 ( x − x0 ) +L+ ( x − x0 )n + 2 n! f (n+1) ( x0 +θ ( x − x0 )) ( x − x0 )n+1 (0 < θ < 1). + (n + 1)!
f y ( x0 , y0 ) = 0， 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) = A， f xy ( x0 , y0 ) = B， f yy ( x0 , y0 ) = C，
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： 时有极值， （1）AC − B2 > 0时有极值， 大值， 值； 当A > 0时有极 大值 当A < 0时有 ， 极小 ； 值 时没有极值； （2）AC − B < 0时没有极值；
推 论 如 果 函 数 f ( x, y) 的 偏 导 数
f x ( x, y), f y ( x, y)在某一邻域内都恒等于零,则函 在某一邻域内都恒等于零,
在该区域内为一常数. 数 f ( x, y)在该区域内为一常数.
在泰勒公式(1)中,如果取x0 = 0, y0 = 0, 阶麦克劳林公式. 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
2 n
1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ + h + k f ( x0 , y0 ) +L+ h + k f ( x0 , y0 ) 2! ∂x n! ∂x ∂y ∂y 1 ∂ ∂ + h + k (n + 1)! ∂x ∂y
n+1
f ( x0 +θh, y0 +θk),
显然 Φ(0) = f ( x0 , y0 ),
Φ(1) = f ( x0 + h, y0 + k).
由 的定义及多元复合函数的求导法则, Φ(t ) 的定义及多元复合函数的求导法则, 可得
Φ′(t ) = hf x ( x0 + ht , y0 + kt ) + kf y ( x0 + ht , y0 + kt ) ∂ ∂ = h + k f ( x0 + ht , y0 + kt ), ∂y ∂x
2
（3）AC − B2 = 0时可能有极值. 时可能有极值.
证
依二元函数的泰勒公式， 依二元函数的泰勒公式，
对于任一( x0 + h, y0 + k) ∈U1 (P )有 0
∆f = f ( x0 + h, y0 + k) − f ( x0 , y0 )
1 2 = [h fxx ( x0 +θh, y0 +θk) + 2hkfxy ( x0 +θh, y0 +θk) 2 + k2 f yy ( x0 +θh, y0 +θk)] (0 < θ < 1). (6)
2
∂ ∂ x + y f (0,0) = x3 fxxx(0,0) + 3x2 yfxxy(0,0) ∂y ∂x + 3xy2 fxyy (0,0) + y3 f yyy (0,0) = 2( x + y)3 ,
3
1 1 2 ln(1 + x + y) = x + y − ( x + y) + ( x + y)3 + R3 , 2 3
将 F (0) = f (x0 ,y0 ), F ( ) = f (x0 + h ,y0 + k ) 及 1 上面求得的 F (t)直到 n 阶导数在 t = 0 的值 , 以及
F
(n + 1 )
的值代入上式. (t)在 t = q 的值代入上式. 即得
其中
1 ∂ ∂ Rn = h + k (n + 1)! ∂x ∂y
当 n = 0 时, 公式 ( )成为 1
f ( x0 + h, y0 + k) = f ( x0 , y0 ) + hf x ( x0 +θh, y0 +θk) + kf y ( x0 +θh, y0 +θk)
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. 二元函数的拉格朗日中值公式
成
1 2 (hfxx + kfxy ) + k2 ( fxx f yy − f 2 xy ) . ∆f = 2 f xx
[
]
当h、 不同时 为零且( x0 + h, y0 + k) ∈U2 (P ) 、k 0 式右端方 括号内的值为正,所以∆f 异于零且 , 时,上 括号内的值为正 同号. 与 f xx同号.
(0 < θ < 1)
其中记号
∂ ∂ h + k f ( x0 , y0 ) ∂y ∂x
表示 hf x ( x0 , y0 ) + kf y ( x0 , y0 ),
∂ ∂ h + k f ( x0 , y0 ) ∂y ∂x
表示
2
h2 fx x ( x0 , y0 ) + 2hkfxy ( x0 , y0 ) + k2 f yy ( x0 , y0 ),
- B 2 > 0 ,即 (1) 设 AC
fxx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) − [ fxy ( x0 , y0 )] > 0. (7)
2
因 f (x ,y)的二阶偏导数在 U 1 (P 0 )内连续 , 由 可知, 不等式 (7 )可知 ,存在点 P 0 的邻域U 2 (P 0 ) 蘿U 1 (P 0 ), 使得对任一 (x 0 + h ,y0 + k )蝳U 2 (P 0 )有
3! ∂ f , =− p 4− p 4 (1 + x + y) ∂x ∂y
4
( p = 0,1,2,3,4),
∂ ∂ ∴ x + y f (0,0) = xfx (0,0) + yf y (0,0) = x + y, ∂y ∂x
∂ ∂ x + y f (0,0) ∂y ∂x = x2 fxx (0,0) + 2xyfxy (0,0) + y2 f yy (0,0) = −( x + y)2 ,
其中
Байду номын сангаас
1 ∂ ∂ R = x +y f (θx,θy) 3 4! ∂x ∂y 1 ( x + y)4 , (0 < θ < 1). =− ⋅ 4 4 (1 +θx +θy)
4
三、极值充分条件的证明
利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．
充分条件） 定理 2（充分条件） 连续， 设函 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某 数 邻域 连续 内 ， 有一阶及二阶连续偏导数， 有一阶及二阶连续偏导数，
Φ′′(t ) = h2 f xx ( x0 + ht , y0 + kt ) + 2hkf xy ( x0 + ht , y0 + kt ) + k2 f yy ( x0 + ht , y0 + kt )
LL LL
∂n+1 p ( n+1) p n+1− p Φ (t ) = ∑Cn+1 h k ∂x p∂yn+1− p p=0
二、二元函数的泰勒公式
定理 设z = f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内连 续 且 有 直 到 n+1 阶 的 连 续 偏 导 数 ,
( x0 + h, y0 + h)为此邻域内任一点,则有 为此邻域内任一点,
∂ ∂ f ( x0 + h, y0 + h) = f ( x0 , y0 ) + h + k f ( x0 , y0 ) ∂y ∂x
又由 f ( x, y)的二阶偏导数的连续性知 f xx 与A 同号, 同号, 同号,因此∆f 与A同号,当A > 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值, 为极大值. 小值,当A < 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
AC − B 2 < 0 , 即 ( 2) 设
fxx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) − [ fxy ( x0 , y0 )] < 0. (9)
∂ ∂ 一般地, 一般地,记号 h + k f ( x0 , y0 )表示 ∂y ∂x
m
∂m p p p m− p ∑Cmh k ∂x p∂ym− p p=0
m
( x0 , y0 )
.
证
引入函数
Φ(t ) = f ( x0 + ht , y0 + kt ), (0 ≤ t ≤ 1).
n+1 2 n
f (θx,θy),
(0 < θ < 1)
(5)
例 1
求函数 f ( x, y) = ln(1 + x + y)的三阶麦 克劳林公式. 克劳林公式.
解
1 Q fx ( x, y) = f y ( x, y) = , 1+ x + y
1 fxx ( x, y) = fxy ( x, y) = f yy ( x, y) = − , 2 (1 + x + y) 2! ∂3 f , = ( p = 0,1,2,3), p 3− p 3 (1 + x + y) ∂x ∂y
f xx f yy − [ f xy ] > 0.
2
(8)
注: 将 fxx (x ,y)在点 (x 0 + q h ,y0 + q k )处的值
其他类似. 记为 fxx ,其他类似.
由(8)式可知,当( x0 + h, y0 + k) ∈U2 (P ) 时 式可知, 0
f xx 及 f yy 都不等于零且两者同号.于是(6)式可写 都不等于零且两者同号.
M M n+1 n+1 n+1 (h + k) = Rn ≤ ρ ( cosα + sinα ) (n + 1)! (n + 1)!
( 2) =
n+1
(n + 1)!
Mρ n+1 ,
2 2 其中 ρ = h + k .
(3)
式可知, 由(3)式可知,误差 Rn 是当ρ →0时比ρ n 高阶 的无穷小. 的无穷小.
n+1
f ( x0 +θh, y0 +θk), (2)
证毕
(0 < θ < 1).
公式(1)称为二元函数 f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 式, 的n阶泰勒 式,而Rn的 公 表达 (2)称为 式 拉格 朗日 型余项. 型余项.
由二元函数的泰勒公式知, 由二元函数的泰勒公式知, Rn 的绝对值在 点( x0 , y0 )的某一邻域内都不超过某一正常数M. 于是,有下面的误差估计式: 于是,有下面的误差估计式: