高中数学必修5《解三角形应用举例》教案

人教版必修5课题：《解三角形应用举例》

教材：人教版

教学目标：

（1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题；

（3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力；

（5）指导学生学会评价分析与改进优化。

教学重点、难点：

分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。

教学方法与手段：

学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。

教学内容设计：

一、情境导入

位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示：

探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上）

测量工具为：测角仪与皮尺

首先通过示图，了解测角仪的原理与作用

测角仪常用于测量：

（1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3）

图1 图2 图3

此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。 二、学生设计方案交流

从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。 三、分析与解决问题

学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。

交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍）

如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔

在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ∆得

海心塔与西塔的距离α

tan h AB =

教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便；

（3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。 不足与改进：（1）测角仪器本身的高度没有考虑，会产生误差。改进如图5； 则两塔间的距离为 α

tan d

h AB -=

（2）如果在AB 间有一幢较高的楼房挡住了视线，让测量者无法看到西塔的底部A ，而也不知两塔的底部在不在同一水平线上，则仰角α无法测量。改进如图6，把测量的地点改到能看到西塔底部的地方，或是岛上的其它点，或是在海心塔的顶部测俯角；

图5 图6

αcot 1h AE =，βcot 2h EB =，

C

A α

B D h

仰角 A

B

C

俯角

水平线

方向角 测量点

北

西

东

南

α

C A α B D

h d C D α β A B E h 2

h 1

两塔间的距离为 AEB EB AE EB AE AB ∠⋅⋅-+=cos 22

22

（3）图4至图6的方法都必须在已知海心塔和西塔的高度前提下才能求出，假若不知两塔的高度，能否求出两塔间的距离？

思考问题：假若不知两塔的高度，如何测量两塔间的距离？

组织同学们进行小组讨论，研究测量方案。选取优秀的方案，让同学们交流学习。 可能出现的可行方案有：

图7 图8

在图7与图8中，都选取了一条基线EB = m ，把不可到达点的距离转化为可到达点的距离，而且对西塔的高度h 都是设而不求。

交流方案二：（以李弘杰为组长来介绍）

如图9，从俯视图看，点A 表示西塔，点B 表

示海心塔，在B 处测得A 在B 的西偏北β的

方位上，从B 往正东方向走m 的距离，到达C ，

测得此时A 在C 的西偏北α的方位上，由正弦 定理得：

)sin(sin αβα-=m AB 所以)

sin(sin αβα

-=m AB 教师指导学生评价分析方案二 图9 优点：（1）从俯视图的角度分析问题，可避免高度产生的误差； （2）俯视图中，用点表示物体，示意图简单明了；

（3）运用了基线进行测量计算，计算简便；

可进一步改善为图10，把方位角改为方向角，这 样基线BC 就可以是随意的方向，只需方便测量， 且在同一水平线上。

图10 四、知识要点归纳

解三角形的常用知识：

C

A

α

B

D

h

d m

β

E

A

C

α

β

d G

H m

B

E

F D

A C

α

β m B

1、直角三角形的边与角的关系；

2、正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 3、余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=， B ac c a b cos 22

2

2

-+=

C ab b a c cos 2222-+=，

五、思想方法总结

1、解决的思想是转化为解三角形的问题；

2、应用解三角形解决实际问题的步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型．

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 3、常用的两种示意图分析思路：主视图与俯视图；

4、基线的作用是把不可到达点的距离测量问题转化为可到达点的距离测量；

5、实际问题要考虑操作的可行性与细节处理。

六、进一步研究问题

探究活动二：假如你处于珠江的一艘游轮上，游轮正匀速地往一个方向直线行驶，你能否测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部以及游轮甲板均在同一水平线上）

可行的方案如上图11与图12，注意基线的选择与角的测量。

课后作业：可将此问题布置给学生课后通过小组合作研究完成，每小组提出方案，全班进行方案的公布与评选。

《解三角形应用举例》教案说明

一、 教材分析

解三角形应用举例的知识编写在人教版必修5的第一章，承接在正弦定理与余弦定理的学习之后，是运用解三角形的知识解决实际生活中的测量问题。 二、 目的分析

A

D

α β

m

B

C

θ

γ A

D α β

m B

C θ

γ