信号与系统教案第1章讲义

f (t) (t a) d t f (a)
sin(t
)
(t)
sin(
)
(t)
2 (t)
4
4
2
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
034来自9sin(t)
(t) d t
?
2
1
4
2
1
2
1
(
t)d
?
2t,
0,
1 t 1 其它
t
(
1)2
( ) d
?
ε(t)
1
d e2t (t) e2t (t) 2 e2t (t) (t) 2 e2t (t)
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1 o -1
1 t
19
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
d {[ f (t)]} [ f (t)] d f (t)
dt
16
2. 冲激函数的导数δ’(t) （也称冲激偶）
f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明： [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有 限信号，简称功率信号。此时 E = ∞
9
相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信 号之分。
若满足 E | f (k) |2 的离散信号，称为能量信号。 k
若满足 P lim 1
N /2
| f (k) |2 的离散信号，称为功率信号。
研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只 讨论确定信号。
1
1. 连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分
为连续时间信号和离散时间信号。
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称 为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为 模拟信号。
这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的， 但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
dt
dt
[ f (t)] 1 d {[ f (t)]}
f '(t) d t
-2
o2 t
-4
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4 ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
ε [f (t) ]
1
-2 o 2 t
20
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。
当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周
期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。
当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
7
例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
4
2. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区
间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复
变化的信号。 连续周期信号f(t)满足
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
N N k N / 2
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能 量信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能 是能量信号，也可能是功率信号。
有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号， 如 f (t) = e t。
同学们，总结一下信号的分类有哪些呢？
10
1.3 信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
（3）积分
to
t (b)
t
( ) d t (t)
o t1 t2 (c)
t
13
二、冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下
特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
δ (t)
18
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4
求导，得g(t) (4)
g(t) = f '(t)
-2
o
2
t
-2
o
-1
2 t
结论（课本21页）：当信 号有第一间断点时，其一 阶导数将在间断点处出现 冲激，间断点处向上突跳 时出现正冲激，向下突跳 时出现负冲激，其强度等 于突跳的幅度。
0 , k其他
k 1 k 0 k 1 k 2 k其他
11
1.4 阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函
数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函 数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
一、阶跃函数
下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
δ’(t)的定义：
'(t) f (t) d t f '(0)
δ(n)(t)的定义：
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
(t
2)2 (t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
17
3. δ(t) 的尺度变换
(n) (at) 1 1 (n) (t)
义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻
tk(k = 0,±1,±2,…)才有定义，
f(t)
其余时间无定义。
相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可
2 1
2 1
以相等也可不等。通常取等间隔T，
离散信号可表示为f(kT)，简写为 t-1 o t1 t2 t3 t4 t
f(k)，这种等间隔的离散信号也常 称为序列。其中k称为序号。
(t)
d n (t)
dt
(t) d (t)
11
2
dt 1 o 1
1
t
o
t
t
n
n
(t) ( ) d
可见，引入冲激函数之
n pn(t) 2
n→∞
δ (t) (1)
后，间断点的导数也存
在。如
f (t) 2
1 o 1 t
n
n
o
求导
f '(t)
t
(2)
1t
-1 o 1 t
-1 o
(-2)
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
8
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率 为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E （2）信号的功率P
def
E
f (t) 2 d t
def
P lim
1
T T
T
2 T
f (t) 2 d t
2
若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有 限信号，简称能量信号。此时 P = 0
6
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。
解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,…
s i nβ k
m
2π β
s i n [ β ( k
mN)]
式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。
由上式可见：
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
5
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
f
1 ' (t
| a | an
证明见教材P20
推论: (1) (at) 1 (t)
|a|
(at
t0
)
|
1 a
|
(t
t0 a
)
δ(2t) = 0.5δ (t)
(2)当a = –1时 (n) (t) (1)n (n) (t)
所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
[t 2 4] 1 d [ (t 2 4)] 1 [ (t 2) (t 2)]
2t d t
2t
1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2)
22
22
4
4
n
一般地， [ f (t)]
i1
f
1 ' (ti
)
(t
ti
)
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
两信号f1(·) 和f2 (·)的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘 。如
2, k 1
f1 (k )
3 , 6 ,
k k
0 1
0 , k其他
3, k 0
f2
(k)
2 4
, ,
k k
1 2
0 , k其他
2, f1 (k) f2 (k) 86,,
4, 0,
9 , k 0
f1 (k) f2 (k) 12, k 1
-1.5
3
上述离散信号可简画为 用表达式可写为 1,
f(k)
2,
2
2
1
1
1.5,
f
(k
)
2,
-1 o 1 2 3 4 k
0,
1，
-1.5
或写为
0，
k 1 k 0 k 1 k2 k 3 k4 其他k
f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑
k=0
通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
1.2 信号
二、信号的分类
确定信号和随机信号
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号 或规则信号。如正弦信号。
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的 取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性， 如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机 信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷 电干扰信号就是两种典型的随机信号。
值域连 续
f1(t) = sin(π t)
1
o1 -1
2t
f2(t) 1
o1 2 t -1
值域不 连续
2
（2）离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间
信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。
这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，
它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为 T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，由于 T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
15
三、冲激函数的性质
1. 与普通函数 f(t) 的乘积——取样性质
若f(t)在 t = 0 、 t = a处存在，则 f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)
f (t) (t) d t f (0)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分 别为N1 = 8 ， N1 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和 N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π 为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。 由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而 正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一 定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
(t) 0, t 0
(t)dt
1
(1)
也可采用下列直观定义：对γn(t)求 导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
def
o
t
n pn(t) 2
(t)
lim
n
pn
(t)
高度无穷大，宽度
无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
1 o 1 t
n
n
14
冲激函数与阶跃函数关系： γ n n→∞ ε (t)
pn
0, t 0
(t)
def
lim
n
n
(t)
121,,
t 0 t 0
γn
11
2
1 o 1
t
n
n
n →∞
ε (t) 1
o
t
12
阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号
f (t) 2
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
o 12
t
-1
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t)