线性代数讲义1

线性代数与解析几何讲义（部分）
引 言（Introduction ）
1. 数学 数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．
2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数．
古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如： 一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；
一元二次方程 )0(02
≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(2
2,1a ac b b x -±
-=；
一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；
但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）； 根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．
近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：
例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问
雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”
解法1 设雉、兔分别为x ，y ，则由⎩⎨
⎧=+=+94
4235y x y x 解得⎩⎨
⎧==12
23y x .
解法2 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛9435足头⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−122312354735兔雉兔头半足头再作差
作差半其足 . 解法 3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为70235＝⨯，从而得兔“手”数为
94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .
注：后两种解法心算即可．
例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）．
表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）
解 设A,B,C,D,E 五种产品的产量分别为X i （i ＝1，2，3，4，5），
则问题归结为求解方程组 ⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧=++++=++++=++++=++++600
1.06.01.0
2.01.07807.01.0
3.01.02.0250
1.02.02.06.04.0100
1.01.04.01.03.054321543215432154321X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．
例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年
平均利润率（％）． 表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）
解 设四类商品A,B,C,D 的利润率分别为X i （i ＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+++=+++=+++=+++95
500500250300907504003001608580050010020080600300200250432143214
3214
321X
X X X X X X X X X X X X X X X .
现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221
12
22221211
1212111 .
此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如
⑴⎩⎨⎧=-=+226132121x x x x 有唯一解 ⎩⎨⎧==03
/12
1x x ;
⑵⎩⎨⎧=-=-226132121x x x x 有无穷多解 ⎩⎨⎧-==1321c x c
x （其中c 为任意常数） ;
⑶⎩⎨⎧=-=-4
261
32121x x x x 无解 .
那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、
多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．
线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester 、A.Cayley 、美国的Peirce 父子和L.E.Dickson 等人的工作．
主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；
主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等． 下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的．
参 考 书
[1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社． [2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社． [3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社． [4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社． [5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社． [6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith ，Springer-V erlag ．
． ． ．
第一讲 行列式 ( Determinant )
教学目的与要求：了解n 阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法， 会应用行列式的性质简化n 阶行列式的计算，会用Cramer 法则解线性方程组．
重点：n 阶行列式的概念、性质与计算
§1 二、三阶行列式 （复习与总结）
一、2阶行列
例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ⎩⎨⎧=+=+②①
9442352121x x x x ；
（2）⎩⎨⎧=+=+②
① 22221211212111b x a x a b x a x a ……(1)（其中)021122211≠-=a a a a D ．
解 (1) )1(4-⨯+⨯②①得,2346211=⇒=x x
1)2(⨯+-⨯②①得1224222=⇒=x x ．
(2) )(1222a a -⨯+⨯②①得121222111)(x b a a b D Dx ⇒-===D 1/D ， 1121)(a a ⨯+-⨯②①得=⇒-==221121122)(x a b b a D Dx D 2/D ．
为使⑴的解表示简单，Leibniz 于18世纪初引入2阶行列式的定义如下：
定义 设有4个元素（数）排成的两行（row ）、两列（column ）的
22
21
1211a a a a ，称为
一个2阶行列式，其值为a 11a 22－a 12a 21，即
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=．
如例1（2）中的D=
22
21
1211a a a a 称为方程组⑴的系数行列式，而22
2
1211a b a b D =
，
2
21
1112b a b a D =
；（1）中的2494
2351,464
94
135,24
2
1121==
====
D D D ．
例２ 计算2
3
15－=
D ．
解 1331252
3
15＝）（－＝－⨯-⨯=
D ．
例３ 设1
3
2
λλ
=
D ，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D ≠0？
解 因D =λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；
（2）当λ≠0，3时，D ≠0．
例4 设1
2
21--=
k k D ，则D ≠0的充要条件是（ ）
答：k ≠－1，3．
(因D =(k －1)2－4＝（k ＋1）（k －3），故D ≠0的充要条件是k ≠－1，3) 例5 如果12221
12110==
a a a a D ，则下列（ ）是⎩⎨⎧=+-=+-00
22221211212111b x a x a b x a x a 的解．
(A)2
21
111222
2
1211b a b a x a b a b x ==
，; (B)2
21
111222
2
1211b a b a x a b a b x =
-
=，;
(C)2
21
111222
2
1211b a b a x a b a b x ----=
----=
，； (D)2
21
111222
2
1211b a b a x a b a b x ---
=-----
=，．
答：（ ）
(因原方程组即⎩⎨⎧-=-+-=-+22221
211
212111)()(b x a x a b x a x a 的系数行列式1022
211211-=-=--=
D a a a a D ，
22
2
12122
2
1211a b a b a b a b D =
----=
，2
21
1112
21
1112b a b a b a b a D -
=--=
)
二、3阶行列式
例６ 求解下列三元一次方程组：（１） ⎪
⎩⎪
⎨⎧=++=++=++③
②①
333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2)
（其中)0322311332112312213322113312312332211≠---++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ；
（２） ⎪
⎩⎪
⎨⎧-=++-=++=-③②①
232131232132131
x x x x x x x x . 解（1）记3332
232211a a a a A =
，33
31
232112a a a a A -
=，3231222113a a a a A =
, 33
32
131221a a a a A -
=，
33
31
131122a a a a A =
,32
31
121123a a a a A -
=,23
22
131231a a a a A =
,23
21
131132a a a a A -=,22
21
121133a a a a A =
，
则： ①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得D X 1=D 1（=b 1A 11+b 2A 21+b 3A 31）, X 1=D 1/D ， ①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得D X 2=D 2（=b 1A 12+b 2A 22+b 3A 32）, X 2=D 2 /D ， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得D X 3=D 3（=b 1A 13+b 2A 23+b 3A 33）, x 3=D 3/D ；
(2) D=1+0-6-4+0-9=-18，
231
20A 61320A 81
3
31A 312111＝－＝
，＝－＝，＝－＝--
,
，＝－－＝，＝－－－＝
，＝－－＝53
1
21A 31
2
21A 71
2
31A 322212-
-
11
1
01A 33
2
01A 53
2
11A 332313＝＝
，＝－－＝，＝－＝
-
,
①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得 －18x 1＝－18 ⇒x 1＝1，
①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得 －18x 2＝0 ⇒x 2＝0， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得 －18x 3＝0 ⇒x 3＝0．
定义 设有9个元素（数）排成的3行、3列的33
32
31
232221
13
1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式， 其值为322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++．
如例6中的D 即称为方程组的系数行列式．
2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆： 2112221121
12
22
11
22
21
1211a a a a a a a a a a a a -=+
=
,
32
23
11
33
21
12
31
22
13
32
21
13
31
2312
3322
11
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +
++++=
=322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α;
或在图 33
32
31
23222113
12113332
31
232221
131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a 上操作． 例7 计算 6
1
504321
-=
D ． 解
58
051642)1(03043)1(5260105
1
64
2
1
03
4
3
1
52
601-=⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅=-
+-+
+-+=
D
例8 （1）01
00
=-=a b
b a D 的充要条件是（ ）
答：02
2
=+b a ．（因为2
2
b a D +=）
（2）01
1
4
01
1>=a a D 的充要条件是（ ），其中R a ∈．
答：10
12
>>-a a 或．
（因为12-=a D ） （3）01
1
1
02
1
2=-=k
k
D 的充要条件是（ ）
（A ）k ＝2； （B ）k ＝－2； （C ）k ＝0； （D ）k ＝3．
答：（B ）或（D ）．（因为)3)(2(64222-+=--=---=k k k k k k D ）
例９ 计算下列行列式的值（1）7
4
9
651
8
23
=D ；（2）7
6
8
452913'=D 解 （1）201721436032108105749651
8
23
-=---++==D ； （2）2011472360108321057
6
8
452
9
13
'-=---++==D ． 三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易)
性质1 D T =D . 其中D T 为将D 的行与列互换后所得的行列式，即如果
33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a D =，则33
23
13
322212
312111a a a a a a a a a D T
=； D T 有时也记为D ˊ，称为行列式D 的转置行列式．此性质说明在（二、三阶）行列
式中行、列等位．因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．
性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有33
32
31
232221
13
121133
32
31
131211
232221
a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=等． 对换第i 行（列）与第j 行（列）记为（r i ，r j ）（（c i ，c j ））．
推论 两行（或列）相同的行列式值为0，即有023
22
21
131211
13
1211=a a a a a a a a a 等． 性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有 33
32
31
232221
13
121133
32
31
232221131211a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a =等． 推论1 用数k 乘以某行列式相当于用k 乘以该行列的某一行（或列）． 以k 数乘以第i 行（列）记为)(i i
c k r k ⋅⋅．
推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0．
推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0．
如033
32
31
131211
13
121133
32
31
131211
131211
==a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此
行（或列）分拆成两个行列式之和．如=+++=33
32
31
232322
2221
2113
1211
a a a c
b
c b c b a a a D D 1＋D 2，其中33
32
31
232221
1312111a a a b b b a a a D =，33
32
31
232221
1312112a a a c c c a a a D =． 性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不
改变行列式的值，即有33
32
31
232221
13
121133
32
31
132312
2211
21131211
a a a a a a a a a a a a la a la a la a a a a =+++等． 将第j 行（列）的l 倍加到第i 行（列）记为 r i ＋⋅l r j （ c i ＋⋅l c j ）．
注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲§5）．
性质6（按行（或列）展开定理） （1）∑====3
1
33
32
31
232221
131211
)3,2,1(j ij ij
i A a
a a a a a a a a a D ，即
333332323131232322222121131312121111A a A a A a A a A a A a A a A a A a D ++=++=++=；
（2）∑==
3
1
i ij ij
A a
D （j=1,2,3）, 即313121211111A a A a A a D ++=
333323231313323222221212A a A a A a A a A a A a ++=++=
（其中A ij 如例6所示：ij j
i ij M A +-=)
1(，M ij 是将Ｄ中a ij 所在的第i 行和第j 列全划掉余
下的二阶行列式，称为a ij 在D 中的余子式，而A ij 称为a ij 在D 中的代数余子式．）
例10 计算下列行列式的值（1）1
5140
13
---=k
k D ；（2）1
2
1210-=k
k k D ． 解（1）)3)(1(1
4301140043
1
5140
1
3
2321++=-+-=-+++---=k k k
k k k r r r r k
k D ；；
（2）)2(22
20
2
02101
2
12
1
01312k k k k k k
r r r r k
k k
D --=--=-----=；．
性质7（代数余子式的性质） （1）D A a ik j kj ij δ=∑=3
1
（其中⎩⎨⎧≠=k
i 0k
i 1，＝，δ
ik
为Kronecker 记号．当i ＝k 时即为性质6（1）；当i ≠k ，如i ＝1，k ＝2时，0A 231322122111=+A a A a a ＋等）．
（2）D A a jl i il ij δ=∑=3
1
（当j ＝l 时即为性质6（2）；当j ≠l , 如j ＝1，l ＝2时，
0A 323122211211=+A a A a a ＋等）．
例11 求1
3
2
311
2
01--=D 的值，并验证性质7． 解 D 的231
20A 61
3
20A 81
3
31A 312111＝－＝
，＝－＝，＝－＝
--
，＝－－＝，＝－－－＝
，＝－－＝53
1
21A 31
2
21A 71
2
31A 322212-
-,
11
1
01A 33
2
01A 532
11A 332313＝＝
，＝－－＝，＝－＝
-
(1) 按第1列展开得=⋅-⋅+⋅=312111211A A A D 1×(-8)+1×(-6)-2×2=-18；
(2) 023)6(1)8(0310312111=⋅+-⋅+-⋅=⋅+⋅+⋅A A A ；其余类似．
四、Cramer 法则
1．一般情形 由例1和例6即得
定理（Cramer 法则） （1）二元一次线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+②
①
22221211212111b x a x a b x a x a …（1）当
其系数行列式D=
22
21
1211a a a a ≠0时有唯一解
D D x j j =（j ＝1，2）；
（2）三元一次线性方程组⎪
⎩⎪
⎨⎧=++=++=++③
②①
333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a …（2）当其系数行列式
D=33
32
31
232221
13
1211a a a a a a a a a ≠0时有唯一解 D D x j j =（j ＝1，2，3）．
例12(例6(2)的解法2 ) 181
32
311
2
01
＝－--=D ，D 1＝D ＝－18， 01
2
2
311211
2=---=
D ，⎪⎩⎪
⎨⎧⇒--0x 0
x 1x 023
2
111
1
01
D 3322113＝＝＝＝＝＝＝＝D D D D D D ．
注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer 法则的结果（公式），而原
解法是把消元（或Cramer 法则的证明）过程再写一遍．
2．齐次情形
推论 奇次线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00
3332321
31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2ˊ）当其系数行列式D ≠0
时只有零解（ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝0）．
以后将证明此推论的逆也成立，于是有
命题（1）奇次线性方程组（2ˊ）只有零解⇔D ≠0；
（2）奇次线性方程组（2ˊ）有非零解⇔D ＝0．
例13 λ取何值时，奇次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧==-+=++00023321321x x x x x x x λλλ，有非零解？
解 因为)1(0
1121
2
-=-=λλλ
λ
λ
D ，故当λ＝0或±1时，该方程组有非零解．
例14 如果方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+=-+0540
3z y kx o z y z ky x 有非零解，则（
）．
（A ） k ＝0；（B ）k ＝1：（C ）k ＝－1；（D ）k ＝－3．
答：（C ，D ）．(由例10（1）)3)(1(1
5
140
1
3
++=---=k k k
k D 即得) ． 例15 当（
）时，奇次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++=+02020
z y kx z ky x z kx 仅有零解；
（A ） k ＝0；（B ）k ＝－1；（C ）k ＝2；（D ）k ＝－2．
答：（A ，B ，D ）．(由例10（2）)2(21
2
12
1
0k k
k k
D --=-=即得) ．
§2 全排列及其逆序列
问题：行列式可否归纳定义 212
112221
11122
21
12112)
1()
1(a a a a a a a a D ⋅-⋅+⋅-⋅==++，
当n ≥2时，n n n
n ij
n A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j j
j M A 111)1(+-=，M 1j 为
a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）？
一、全排列
例1 用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？请写出．
解 共6个，分别为123，132，213，231，312，321．
把n 个不同的元素（不妨设为1，2，…，n ）排成一列，叫做这n 个元素的一个（n 级）
全排列，n 个不同元素的全排列的种数为P n ＝n!，如P 3＝3!＝6，P 4＝4!＝24，P 5＝5!=120等．
记S n 为1，2，…，n 的所有n 级排列所组成的集合，即S n ＝{（j 1j 2…j n ）| (j 1j 2…j n )为n 级排列}，则|S n |= n!．
二、逆序与逆序数
1. 标准排列：对n 个不同的元素，先规定一个标准次序（如对1，2，…，n ，规定从小到大的次序为标准次序），从而得到一个标准排列．对1，2，…，n ，今后规定其标准排列为自然排列1 2 … (n －1) n ．
2.逆序与逆序数 在一个n 级排列中，当两个元素a 和b 的先后次序与标准顺序不同时，则说a 和b 形成一个逆序；一个排列中所有逆序的总数叫该排列的逆序数．排列p 1p 2…p n 的逆序数记为 t （p 1p 2…p n ）．逆序数为奇（或偶）数的排列称为奇（或偶）排列． 例2 （1）2个2级排列12和21，一个为奇排列（21），一个为偶排列（12）．
（2）3级排列的逆序数表（6个3级排列中奇、偶排列各3个）
三、逆序数的求法
不妨设n 个元素为1，2，…，n ，其标准排列为自然排列1 2 … n ，设p 1p 2…p n 为1，2，…，n 的一个排列，记t i =t(p i )为排列p 1p 2…p n 中p i 左（前）面的比p i 大的元素的个数，s i ＝s （p i ）为排列p 1p 2…p n 中p i 右（后）面的比p i 小的元素的个数，简记t(p 1p 2…p n )为t ，则
(1) t(1)t(2) t(n)t(n) t(2)t(1)t t t t n 21+++=+++=+++= ； (2)s(1)s(2) s(n)s(n) s(2)s(1)s s s n 21+++=+++=+++= t ． 注：显然0(1)t(n)t 1====s s n ， t(1 2 … n)=0．
例３ 求（1）t=t(32514)；（2）t(7632451)；（3）t(2 3 … n 1)；（4）t(n (n-1) … 2 1) ． 解 （1）因t 1=t(3)=0，t 2=t(2)=1，t 3=t(5)=0，t 4=t(1)=3，t 5=t(4)=1⇒ t =5（奇）， 或因s 1=s(3)=2，s 2=s(2)=1，s 3=s(5)=2，s 4=s(1)=0，s 5=s(4)=0⇒ t =5． （2）t(7632451)=0+1+2+3+2+2+6=16，或=6+5+2+1+1+1+0=16（偶）． （3）t(2 3 … n 1)=0+0+…+0+(n-1)= n-1，或=1+1+…+1+0= n-1．
（4）t(n … 2 1)=0+1+…+(n-2)+(n-1)=2)1(-n n ，或=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n ． 如62341) 2 3 t(4=⋅=，102451) 2 3 4 t(5=⋅=，152561) 2 3 4 5 t(6=⋅=，…
再看6个3级排列的逆序数：t(123)=0，t(132)=0+0+1=1，或=0+1+0=1；
t(213)=0+1+0=1，或=1+0+0=1；t(231)=0+0+2=2，或=1+1+0=2；t(312)=0+1+1=2，或=2+0+0=2；t(321)=0+1+2=3，或=2+1+0=3．
四、对换及其性质
１．对换：在一个排列中，互换某两个元素（如i ，j ）的位置，而其余的元素不动，叫做对该排列的一次对换，记为（i ，j ）；互换相邻两个元素的对换叫做相邻对换．
例４ （321）0)123(,3)321(),123(3,1(==−−→−t t ）；
（7632451）−−→−)
1,6(（7132456）
，t(7632451)=16（偶）， t(7132456)=0+1+1+2+1+1+1=7（奇）．
２．
性质
性质1 一次对换改变排列的奇偶性．
证明（1）相邻对换改变排列的奇偶性：设（…a b …）−−→−)
,(b a （…b a …）因对换（a ，
b ）只改变了a 和b 之间的逆序：当a<b 时，经对换后逆序数增加1；当a>b 时，经对换后逆序数减少1．而a 或b 与其他元素，以及其他元素之间的逆序数经对换后都没有改变，故相邻对换改变排列的奇偶性．
（2）任一对换可由奇数次相邻对换而得到，从而改变奇偶性：（…ac 1c 2…c s b …）−−→−)
,(1
c a
(…c 1ac 2…c s b …) −−→−−−→−),(),(2
s
c a c a （…c 1c 2…c s ab …）−−→−),(b a （…c 1c 2…c s ba …）
−−→−),(b c s (…c 1c 2…bc s a …)−−→−−→−),(2b c ( …c 1bc 2…c s a …)−−→−)
,(1b c (bc 1c 2…c s a …)，
共2s+1次．
例４
（1）对换（7632451）−−→−)
1,6(（7132456）可由9次相邻对换得到，相应的
逆序
变化为：（16=）t(7632451)= t(7362451)+1= t(7326451)+2= t(7324651)+3= t(7324561)+４ = t(7324516)+5=( t(7324156)+6= t(7321456)+7= t(7312456)+8= ) t(7132456)+9 (=7+9)． （2）(7=) t(7132456)= t(1324567)+6= t(1234567)+7 (=0+7)．
（3）(16=) t(7632451)= t(6324517)+6= t(3245167)+11= t(3241567)+12= t(3214567)+13=t(2134567)+15=t(1234567)+16(=0+16)．
性质2 （1）任一排列（p 1p 2…p n ）总可经有限次（相邻）对换成标准排列，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同；
（2）任一排列（p 1p 2…p n ）都可由标准排列1 2 … n 经有限次（相邻）对换而得到，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同．
（3）S n 中的任意两个n 级排列均可经有限次（相邻）对换而互相得到；且若这两个排列的奇偶性相（或不）同，则所作对换的次数为偶（或奇）数．
证（1）对排列的阶n 归纳．当n=1时显然成立．假设结论对n －1已经成立，则对n ： ①若排列为p 1 … p n-1 n ，由归纳假设n －1级排列p 1 … p n-1可经有限次对换成为标准排列1 2 … （n －1），且所作对换的次数与t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性，从而p 1…p n-1 n 经上述对换即成为标准排列1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数的次数与t(p 1…p n-1 n)＝t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性．
②若排列为（p 1…p i-1 n p i+1…p n ），则可经n －i 次相邻对换成为（p 1…p i-1p i+1…p n n ），且t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）=t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）＋（n －i ），而由①得p 1…p i-1p i+1…p n n 可经有限次对换成为1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数m 与t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）有相同的奇偶性，于是p 1…p i-1 n p i+1…p n 可经m ＋n －i 次对换成为1 2 … n ，且所作对换的次数k =m+n-i 的奇偶性与t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）即t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）+n －i 的奇偶性相同．图示如下：（p 1…p i-1 n p i+1…p n ）−−→−-次
i n （p 1…p i-1p i+1…p n n ）−−→−次
m （1 2 …(n －1) n ）
； ③所作对换次数与原排列有相同的奇偶性还可如下证明：设排列p 1…p n 经k 次对换成为标准排列，则t(p 1…p n )经k 次改变奇偶性后成为0 (=t(1 2 … n))，从而k 与t(p 1…p n )奇偶性相同（对k 为奇、偶数分别说明）．
（2）将（1）中的变（对）换全倒过来便得．
（3）由（1）和（2）：−→−次k n p p p )(21 （1 2 … n ）)21h n q q q （次−→−即得．
性质3 n ！个n 级排列中奇偶排列各为 ）2(2!≥n n ．
证 因映射ϕ：{n 级奇排列}−−→−），（21{n 级偶排列}为一一对应，即得．
如 {(21)}−−→−），（21{(12)} ； {(132), (213), (321) }−−→−），（21{(231), (123), (312)} .
§3 n 阶行列式的概念
一、 二、三阶行列式的结构规律
１. 二、三阶行列式定义式的结构
（1）
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=中的两项可统一表示为2
1
2121)
()
1(j j j j t a a -，其中（j 1j 2）
取遍所有（2个）2级排列（12），（21）．
（2）3
3⨯ij
a ＝322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α中的6项可
统一表示为321321321)
()
1(j j j j j j t a a a -，（j 1j 2j 3）取遍所有（6个）3级排列（123），（231），（312），
（321），（213），（132）．
２. 二、三阶行列式的共同规律
设n ＝2或3，则：
(1) n 阶行列式为由n 2
个数得到一个数的函数；
(2) n 阶行列式为n ！项的代数和，每项为n 个元素的乘积，而这n 个元素是取自n 阶行列式中的不同的行、不同的列；
(3) n 阶行列式中每项正负号的确定：当项中各乘积因子的第一个（行）下标为标准排
列时，其第二个（列）下标为奇（偶）排列的项带负（正）号． 3. 二、三阶行列式的简单统一表达式
（1）
∑∈-=
2
21221)(21
1)
(22211211)
1(s j j j j j j t a a a a a a ，其中)}1,2(),2,1{(2=S ； （2）∑∈-=3
32132321)(321
1)
(33
32
31
232221
131211
)
1(s j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a ， S 3＝{（j 1j 2j 3）| (j 1j 2j 3)为3级排列}={（123），（231），（312），（321），（213），（132）}．
二、n 阶行列式的定义
1．定义 设有n 2
个元素排成的n 行、n 列的
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211
称为一个n 阶行列
式，其值为
∑∈-n
n n n s j j j nj j j j j j t a a a )(21
1)
(21221)
1( ．上述n 阶行列式可简记为n
n ij a ⨯或det n (ij a )．
注：⑴当n ＝2，3时，与前面定义一致；当n ＝1时，1111a a =（注意别与绝对值混淆）． ⑵当n ≥4时，“沙路法”不再成立（或不再那样简单），见例1(4)．
例１ （1）
n
2
1n
2
1
λ
λ
λλ
０
λ
０
λ
=（（主）对角线（形）行列式），
n
n
n a a a
a
＝⨯0
，
11
1
1
＝
， |0|n ×n = 0； （2）
nn nn
n n a a a a a a a a a
22112
1
222111
＝（下三角形行列式）；
（3）
nn nn n n a a a a a a a a a
2211222
112110=上三角形行列式）
(；
（4）
)
1(0
1
1
22111111
11212
)
1(1
121
21n n n
n n n n n n nn
nn n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a
------=
-=， n n n λλλλλλ
212
)
1(2
1
)1(0
--=ｎ
（次对角形行列式）；
如
,abcd 0
d
c b a 0
=
,
abcde 0
e d
c b a 0=
;
abcdef 0
f
e d
c b a 0-=
（5）
abcd abcd abcd d c b a t -=-=-=3
)
3142()1()
1(000000000000；
（6）
111111)
1(11
001001011010
)
4123(-=-=⋅⋅⋅-=３
）（t （因第3行和第1列均只有一个非零
元素，因此非零项必取含21a 32a 的，从而另两个乘积因子1
1j a 和4
4j a 只能分别取14a 和43a 才
能使该项不为0，于是得结果）； （7）
∑∑∈∈-⋅
=-=
3
4324
324324
432432432)(432)
(11S )j j (1j 43211)
1(44
43
42
41
443332312423222111)
1()
1(000S j j j j j j j j j t j j j j j j t a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a })243,324,432,423,342,234{}3234{(344
43
42
343332
342322
11）（）（）（）（）（）（＝级排列的=⋅=S a a a a a a a a a a ；
类似有
nn
n n
nn
n n n a a a a a a a a a a a a
2
222
112
1
2222111
00⋅=，特别地，00002
1
22221=nn
n n n a a a a a a
，
一般地，
nn
nr n r r r rr
r r nn
r n nr
n n r r r r r r rr r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
1
1111
1111
1
11
1
1111
1110000++++++++++⋅=，
简记为
C A C
B
O A ⋅=;
（8）当n ≥2时，
n n n n n n
n n a a a a a a a a a a 12212
)
2)(1(1221)
1(0
000000000000
0000-------=
．
（9）当n ≥2时，02
!2
!)
1(1
1
1
1111111
)
()
(2121=-
=
-=
=
∑
⨯n n n n j j j j j j t n
n
．
（10）n
n ij
j n nj j j j j j j j t n
n j
i j i a b
a b
a b
a b b
a n
n n ⨯---⨯-=-=
≠∑)())(()
1()0(2
21
1212211)
( ．
2．等价定义
定理1 n i i i i i i i i i t n
n ij
n n n a a a a D 21)
()
(212121)
1(∑-=
=⨯（记为D 1）．
证 ⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤)n 12)12()(2121i i j j 212121i j j i 21n nj j j n n i i i j j j a a a n i i i a a a n
n 列标（）行标（列标行标）＝，＝经若干次对换（
因n n n nj j j j j j j j j t n
n ij
a a a a 21212121)
()
()
1(D ∑-=
⨯＝
由对换的性质2知对D 中任一项n n nj j j j j j t a a a 212121)
()1(-总有且仅有D 1中的某一项
n i i i j j j t n n a a a 21)
(2121)
1(-与之对应并相等；反之，对D 1中任一项n i i i i i i t n n a a a 21)
(2121)1(-，
也总有且仅有D 中的某一项n n nj j j j j j t a a a 212121)
()
1(-与之对应并相等，如Ｄ4中
))1(()
1()
)1(()
1(423421133
34134221)
2413(423421133
42342113)
3142(a a a a a a a a a a a a a a a a t t -=-=-=-；
于是D 与D 1中的项可以一一对应并相等，从而D ＝D 1． 定理2 n n j i j i j i J t I t n
n ij
a a a a 2211)
()()
1(∑+⨯-=
，其中t(I)=t(i 1i 2…i n )，t(J)=t(j 1j 2…j n )，
∑为对所有n 级排列(i 1i 2…i n )求和（此时(j 1j 2…j n )为某一固定的n 级排列），或为对所有n 级排列(j 1j 2…j n )求和（此时(i 1i 2…i n )为某一固定的n 级排列）．
证 用对换的性质2（3），与定理1类似证明即可．
再看例1（3），a b c d a b c d a c b d a b c d b d a c d
c b a t t t -=-=-=-=-=++4
1)
3412()1324()
2
413()
1()
1(,)
1(00
000000000又．
注：此例中i 1＝2，i 4＝4，i 3＝1，i 4＝3；j 1＝3，j 2＝1，j 3＝4，j 4＝2；j i1＝j 2＝1， j i2＝j 4＝2，j i3＝j 1＝3，j i4＝j 3＝4；i j1＝i 3＝1，i j2＝i 1＝2，i j3＝i 4＝3，i j4＝i 2＝4．
§4 行列式的性质
一、性质
设nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
，记D T
（或D ˊ）nn
n
n
n n a a a a a a a a a
212221212111
=
，
称为D 的转置（行列式），由§3定理1立即得：
性质1 D T
＝D , 即任一行列式与其转置的值相等．
此性质说明：行列的行与列具有同等的地位，凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．
性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式仅变号．
证 设k i a a a a D in i kn k
11
1=，欲证D 1＝－D ，只需证D 1和D 的定义式中的一般项互
为相反数即可．事实上，D 1中的一般项为n k i 1n k i 1nj ij k j j 1)
j j j j (t a a a a )
1( -
n i k
1
n i k 1nj k j j i j 1)
j j j j (t a a a a )
1( --=恰为D 中一般项的相反数；故得证．
推论 两行（或列）完全相同得行列式值为零．
性质3 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，
kD a a ka ka a a nn
n in i n =
1
1111． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．
推论1 行列式的某一行（或列）中所有元素都乘同一数k ，等于用k 乘此行列式． 推论2 某行（或列）全为零的行列式的值为零． 推论3 两行（或列）成比例的行列式的值为零．
性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两项之和，则该行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和，即
nn
n in i n nn
n in i n nn
n in in i i n a a c c a a a a b b a a a a c b c b a a
1
11111
1
1111
1
1111+=++． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．
性质5 将行列式某一（如第j ）行（或列）每个元素的常数l 倍加到另一（如第i ）行
（或列）相应的元素上去，其值不去，即n
n ij
nn
n jn
in j i n a D a a la
a la
a a a ⨯==++(1
1
1111
)．
证 由性质4，左边的行列式可分拆成两个行列式之和，一个为D ，而另一个为
01
11111=nn
n jn j jn
j n a a a a la la a a
（因其第i 行与第j 行成比例）；从而得证．
二、行列式的计算—化为三角形行列式
定理1 任何一个行列式均可利用性质2和5化为上（或下）三角形行列式，从而计算其值．
证 （1）若a ij ＝0（i ，j ＝1，2，…，n ），则00
==⨯n
n D ；
（2）若0≠∃ij a ，则可用性质2（先第1行与第i 行互换，再第1列与第j 列互换）将a ij 调到左上角；
（3）若011≠a ，则可用性质5将第1列（或行）的其余n －1个元素化为零（“打洞”）； （4）对右下角的n －1阶行列式重复（1）～（3）的步骤，如此下去（归纳），即可将D 化为上（或下）三角形行列式．
以下以（r i ，r j ）表示互换i ，j 行；r i ＋hr j 表示将第j 行的h 倍加到i 行． 例1（1）4
1
3
211021102011)
r 2r (),r r (01
12012121102011)
r ,r (0
1
1
2
012120112110141321-------+-----------;4)2()2()1(12
0420021102011r r 22
0420021102011
)
r 3r (),r r (3
42423=-⋅-⋅-⋅-=-------------++
（2）)
r ,r (7216
11206480213
1
)r 5r (),r r (33
15
112043512131)c ,c (335111024315211332141221------
+--------
------)r 4r (10
8
03200112021315)r ,r (15
10
00108
011202131)r 8r (),r 4r (721606480112
213134432423-----⋅-----+-----
40222152
3200112021315=⋅⋅⋅⋅=---⋅． （3） 48222162
00002000020111164,3,2i ),r r (3
1111311113111116)r r r (r 3
1111311113111131i 4321=⋅⋅⋅⋅=⋅
=-⋅
+++ ;
（4）
x
a
a
a
a
a x a a a a
a
x
a
a
a a a x a a n x n i r r x
a
a
a
a
a x a a a a
a
x
a
a
a a a x a a a a a x i
11111])1([,,2),(1⋅
-+=+
1
1)
(])1([0
00000000000
11111])1([,,2),(--⋅-+=----⋅
-+=-n i a x a n x a
x a x a x a x a n x n i ar r
;
（5）c
b a b
a a
c b a b a a c
b a b
a a d c
b a i r r d
c b a c b a b
a a
d
c b a c b a b a a
d c b a c
b a b
a a d c
b a i i +++++++++=-+++++++++++++++++++3630
232001
,2,3),(361036323423214
3
410
30
20002
,3),(a a a
a
a
r r b
a a
b a a a a
i r r i i =*
-++*
=-+．
例2 证明奇数（n ）阶反对称行列式（a ji ＝－a ij ）的值为零，即
00
0021212112=---
n
n
n n a a a a a a ．
证 0)1(=⇒-=⋅-==D D D D D n
T
．
例3 解方程 (a 1≠0)
11
3
2
1
123211322113
2111321=-+-+-+-+-------x
a a a a a a a x
a a a a a a a x
a a a a a a a x
a a a a a a a a n n n n
n n n n n n n n
解 将左边行列式的第1行的相反数分别加到第2～n 行，得
左边x)-x)(-(x)-x)(-(0
00000000000
01-n 2-n 21112211321a a a a a x
a x a x a x a a a a a a n n n n
=----=
---
故原方程的解为)1,,2,1(-==n i a x i i ，共n －1个解．
三、按行、列展开定理
1．代数余子式 设n
n j
i a D ⨯=，把D 中元素a ij 所在的第i 行和第j 行划去后，
余下的n －1阶行列式叫做a ij 在D 中的余子式，记作M ij ，记A ij ＝（－1）i ＋j M ij ，叫做a ij 在D 中的代数余子式．
例４（1）2
1
3
132
3
21----=D 的52
1
13)1(1
111=--⋅
-=+A
12
3
12)
1(2
112=---=+A ,
71
3
32)1(3
113-=---=+A ；
（2）5
2
1
11321014321---=
D
的195
2
1
013201)1(3
113=---=+A , 5210134
21
)
1(3
223---=+A =- 63，185
2
1
2014
21
)
1(3
333=--=+A ．100
1
3
2014
21)1(3
443-=--=+A ；
2．按行、列展开定理
引理 若n 阶行列式n
n ij a D ⨯=的元素a ij 所在第i 行（或第j 列）的其他所有元素全
为零，则ij ij A a D =．
证 （1）当i ＝j ＝1，即D 的第1行（或第1列）除a 11外所有元素全为零，则由§3例1（7）知1111A a D ⋅=；
（2）一般地，设nn
nj
n ij n j a a a a a a a D
1
111100
=，将D 的第i 行依次与第i －1，i －2，…，2，1行对换，再将第j 列依次与第j －1，j －2，…，2，1列对换，使a ij 调到左上角，所得的新行列式D D D j i j i ⋅-=⋅-=+-+)1()1(21，而a ij 在D 1中的余子式即为a ij 在D 中的余子式M ij ，由（1）ij ij j
i ij ij A a D D M a D =-=⇒=+11)1(．
定理2 n 阶行列式n
n ij
a D ⨯=的值等于其任一行（或列）的每一个元素分别与其相应
的代数余子式的乘积之和，即),,2,1(111
n i A a A a A a
D in in i i n
j ij ij
=++==
∑=或
∑==++==
n
i nj nj j j j
ij
n j A a A a Ai
a
D 1
11),,2,1( ．
证 （1）
nn
n n i n nn
n n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D
211
112112
1
211121100000000=+++++++++= ),,2,1(0000221121
1121121
211211n i A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a in in i i i i nn
n n in n nn n n i n
=++++++引理
（2）由行列式的性质1立即得对列的等式也成立．
例4 （3）对（1）中的18)7(312513)2(1131211-=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅=A A A D ；
对（2），24)10(018)1()63(1193-=-⋅+⋅-+-⋅+⋅=D ．
定理3 设n
n ij
a D ⨯=，则（1）D A a A a A a ik kn in k i n
j kj ij ⋅=++=∑=δ 111
；
（2）∑=⋅=++=n
i jr
nr nj r j ir ij D A a A a A a 1
11δ
证 （1）由定理1知当i ＝k 时成立．当i ≠k 时，将n
n k i a a a a a a a a a a a a nn n n in i i in i i n ⨯=
2
1
2121
112110
按第k 行展开即得∑==
n
j kj ij
A a
1
0，即∑=≠⋅=n
j kj ij k i D A a 1
)(0；故得证．
由行列式的性质1立即得对列的结论（2）也成立．
定理2、3表明，行列式D 的任一行（或列）的每一个元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于D 的值，而D 的任一行（或列）的每一个元素与另外一行（或列）的每一个元素的代数余子式的乘积之和等于零．
例４（4）对（1）中的D 有 0)7()1(1352)1(32131211=-⋅-+⋅+⋅-=⋅-+⋅+⋅-A A A ， 0)7(211532)1(3131211=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅A A A ；
对（2）中的D 有
0)10(1183)63(1191131143332313=-⋅+⋅+-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅A A A A ， 0)10(2181)63(01922)1(024*******=-⋅+⋅--⋅+⋅=⋅+⋅-+⋅+⋅A A A A ， 0)10(5180)63(2194)5(024********=-⋅-⋅+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅+⋅A A A A ．
3. 行列式的归纳定义 11111a a D ==,
21122211212
112221
11122
21
12112)
1()
1(a a a a a a a a a a a a D -=⋅-⋅+-⋅==
++，
当n ≥2时，n n n
n ij
n A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j j
j M A 111)
1(+-=，M 1j 为
a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）．
可以证明如上定义的n 阶行列式与前面的定义n 阶行列式是完全一样的．
4．行列式的简化计算 首先利用性质将某行（或列）化为仅有一个元素可能非零，再按该行（或列）展开，降为n －1阶行列式，如此下去，直到化为二阶或一阶，即可计算其值． 例5（1）5
2
7
211417)
1()1(5
2
7
011321014107)
2(),2(5
2
1
011321
143212
33431---⋅-=----++---+r r r r 241861
9
26)1(1109
211
2
06
)2(),(2
22321-=--=-⋅
-⋅=-+-+r r r r ．
（2）
)4)(1(2
2)1(20
200112
020********
1200
20001100112
1
2--=-=-=
--k k k
k k k k k k k k r r k k k ．
（3）
5
5
11111150
3
5
5
0100131111115
)
(),2(3
35
1
110243152113
3431----=----+-------c c c c 405
5
260
5
5
026
115
12=---=----r r ．
例6（1）d
d c d
c
b a b
a
a d
c
d
c d
c
b a b
a
b
a
D n 0
00
12
⋅
=
行展开
按第。