线性分组码-习题
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1. 已知一个(5, 3)线性码C 的生成矩阵为：
11001G 0
11010
1
11⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）列出C 的信息位与系统码字的映射关系；
（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力； （4）求校验矩阵H ；
（5）列出译码表，求收到r =11101时的译码步骤与译码结果。 解：
（1）线性码C 的生成矩阵经如下行变换：
23132110011
00110110101101001110
0111100111
001101101010100011100111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将第、加到第行
将第加到第行
得到线性码C 的系统生成矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111000*********S G （2）码字),,,(110-=n c c c c 的编码函数为
[][][]111000*********)(210m m m m f c ++==
生成了的8个码字如下
(3) 最小汉明距离d =2，所以可检1个错，但不能纠错。
(4) 由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1010101111H
(5) 消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列
c 0=00000, c 1=00111,c 2=01010, c 3=01101, c 4=10011, c 5=10100,c 6=11001, c 7=11110
则译码表如下：
当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c =01101。
2．设（7, 3）线性码的生成矩阵如下
010101000101111001101G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）求系统生成矩阵；
（2）求校验矩阵； （3）求最小汉明距离； （4）列出伴随式表。 解：
（1）生成矩阵G 经如下行变换
13
23
01010101
0011010010111001011110011010
10101010011011
0011010010111010101001010100010111⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
交换第、行交换第、行
得到系统生成矩阵：
100110101010100010111S G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（2）由],[],,[)()(k n T
k n k k n k k n I A H A I G --⨯-⨯-==，得校验矩阵为
1101000101010001100101010001H ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（3）由于校验矩阵H 的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d =3。 （4）（7, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=0000000，c 1=0010111，c 2=0101010，c 3=0111101，c 4=1001101，c 5=1011010，c 6=1100111，c 7=1110000。又因伴随式有
24=16
种组合，差错图样为1的有771=⎛⎫
⎪⎝⎭
种，
差错图样为2的有7212=⎛⎫ ⎪⎝⎭
种，而由T
T
Hr He =，则计算陪集首的伴随式，构造伴
随表如下：
3．已知一个(6, 3)线性码C 的生成矩阵为：
.0 1 1 1 0 01 1 0 0 1 01 0 1
0 0 1G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=
（1） 写出它所对应的监督矩阵H ；
（2） 求消息M =(101)的码字；
（3） 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。 解：
（1）线性码C 的生成矩阵G 就是其系统生成矩阵G S ，所以其监督矩阵H 直接得出：
101100011010110001H =⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）消息M =(m 0,m 1,m 2)=(101)，则码字c 为：
[][][]()100101001110101011c f m ==+=
（3）收到码字r =(101010)，则伴随式
()()101011110101010001100010001T
rH ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
又（6, 3）线性码的消息序列m =000,001,010,011,100,101,110,111，由c =mGs 得码字序列：c 0=000000，c 1=001110，c 2=010011，c 3=011101，c 4=100101，c 5=101011，c 6=110110，c 7=111000。伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：
伴随式（001）对应陪集首为（000001），而c=r+e ，则由收到的码字r =(101010)，最有可能发送的码字c 为：c =（101011）。
4．设(6, 3)线性码的信息元序列为x 1x 2x 3，它满足如下监督方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00
631
532421x x x x x x x x x （1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字； （2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。 解：
（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：