大学数学. 三. 级数、积分变换与数理方程(王传荣,朱玉灿,徐荣聪编著)思维导图
《积分变换与数理方程》教学大纲
《积分变换与数理方程》教学大纲 课程编号：112004 开课学期：4 适用专业：电子信息科学与技术编写教师：赵玉泉 学时：36 学分：2 审核：彭光含 第一部分说明 一、课程的性质、作用 《积分变换与数理方程》是继《高等数学》之后的一门数学课程，是电子信息科学与技术专业学生的必选课。其中积分变换是《信号与线性系统分析》课程的一部分，为使学生更集中地学习《信号与线性系统分析》的理论知识而将这部分数学知识从中分离出来，单独组成本课程。因此学生只有具备了本课程的基础知识和基本技能，才可能学习《信号与线性系统分析》等专业课程。即该课程内容是以后学习多门专业课程的必备工具。 二、课程的任务与基本要求 本课程内容主要有：信号与信号的基本运算、卷积与卷积和、傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换。这些内容要求学生都必须掌握。 信号部分，要求学生掌握信号的种类、信号的基本运算、阶跃函数及冲激函数定义与运算。 卷积及卷积和部分，要求学生掌握卷积的定义、性质及计算方法。 傅立叶变换部分，要求掌握傅立叶级数、傅立叶变换的定义及性质。 拉普拉斯变换部分，要求学生掌握拉普拉斯变换的定义、性质及逆变换。 离散信号的Z变换，要求掌握Z变换的定义、性质。 三、教学方法建议 积分变换与数理方程课程，其理论性很强。从教学的实际情况看，学生普遍感到难度大。因此，在教学方法上一般宜采用教师讲授。 对于积分变换，学生感觉困难的主要原因是公式多，记不住。有的学生虽记住了公式，但不能灵活运用。建议： 1、冲击函数的教学，最好不涉及广义函数的概念和理论，以免学生感到复杂难懂。
2、信号与积分变换中，图像多，宜制作一批教学挂图或幻灯片辅助教学。 3、要引导学生适当复习，寻找公式的记忆方法，务必熟记公式。 4、要多列举范例，帮助学生理解公式，学会如何综合运用公式。 四、本课程与其他课程的关系 为学习本课程，学生必须具备较扎实的复数、级数、三角函数、待定系数等初等数学知识与复变函数、导数、积分等高等数学知识，具备一定的普通物理特别是电磁学方面的知识。因此，该课程以初等数学、高等数学、电磁学等课程为基础，同时它又是学习《信号与线性系统分析》、《电路》等课程的基础。 第二部分本文 一、基本内容与学时分配 （一）信号 １、复数的知识………………………………………………………………(１学时) 教学内容要点：（１）、复数的三种表示式（２）、正、余弦函数的指数形式２、信号………………………………………………………………………（1学时）教学内容要点：（１）、连续信号和离散信号（２）周期信号和非周期信号 （３）、实信号和复信号 ３、阶跃函数和冲激函数……………………………………………………（３学时）教学内容要点：（１）、阶跃函数和单位阶跃函数序列（２）、冲激函数和单位序列 （３）、冲激函数的导函数和积分（４）、冲激函数的性质 4、信号的基本运算…………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、加法和乘法（2）、平移和反转（3）、尺度变换 （二）卷积 1、卷积积分…………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积积分定义（2）、卷积的图示（3）、卷积的计算 2、卷积积分的性质………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、卷积的代数运算（2）、函数与冲激函数的卷积 （3）、卷积的微分与积分 3、卷积和……………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积和定义（2）、卷积和的图示（3）、卷积和的性质
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复数的真实性存在疑虑，所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外，在学习这门课程当中，复变函数这部分原理、规律多，内容枯燥、抽象，需要理解的概念和定义也多，学生普遍感觉到理论性偏强，有点抓不住重点；而积分变换这部分所涉及的背景较多，学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程，也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广，它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处，同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点，而没有注意到它们的不同点，这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可，觉得这门课程与高等数学没什么区别，感觉是在重复学习，没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密，复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差，在后续课程用到时，往往都要花一定得时间去复习，否则学生难于跟上，造成教学重复现象，课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解，提高了我们对这门课程的认真度，同时鼓励同学
数学与应用数学专业培养方案-同济大学数学系
数学与应用数学专业培养方案 一、专业历史沿革 同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等一大批知名专家曾在此任教。解放后，几经国家调整，本系时有间断。于1980年，（应用）数学系正式恢复，陆续引进一批国内外培养的具有博士学位的青年教师，原有师资队伍的结构有了变化，充实了教学与科研力量。从20世纪90年代开始，学校又先后引进国内知名数学家、博土生导师陈志华、陆洪文、姜礼尚教授等来数学系工作，教学和科研整体实力有很大提高。数学与应用数学专业在建系后就已设立，文革期间中断了招生，1978年恢复高考后数学与应用数学专业也随之恢复了招生。至今本专业已培养了毕业生3000多人，数学系的学生遍布国内外的许多国家,有的继续从事做数学的教学及科学研究工作，有的在大型国企和外企，特别是银行、金融、计算机等行业工作，很多毕业生已成为杰出科学家和行业精英。 二、学制与授予学位 四年制本科。 本专业所授学位为理学学士。 三、基本学分要求
四、专业培养目标 本专业培养具备扎实数学基础，并具备运用数学知识和计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育、信息、金融保险等部门及企事业单位从事研究、教学、管理及计算机软件开发等具有国际视野的复合型高级专门人才，或能继续在国内外攻读研究生学位的高级专门人才。 五、专业培养标准
六、主干学科 数学。 七、核心课程 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论(理)、数值分析(理)、数理方程(理)等。 八、教学安排一览表 见附表一。 九、实践环节安排表 见附表二。 十、课外安排一览表 见附表三。 十一、有关说明 1. 公共基础课中的有3门计算机课程，其中在硬件技术基础、数据库技术基础、多媒体技术基础、Web技术基础和软件开发技术基础5门课程中应至少选修1门。 2. 培养方案中打*的课程为研究生阶段设置的课程，供要求较高的学生选修。 3. 各类选修课要求与建议： 本专业学生在如下的专业选修课中，选修15学分。 金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析、运筹学(理)、应用随机过程、泛函分析(研)*、抽象代数(研)*、微分流形(研)*、矩阵分析(研)*、李群与李代数(研)*、偏微分方程(研)*、有限元方法(研)*、运筹学通论(研)*、图论及其应用(研)*、有限差分方法与谱方法(研)*。其中金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析这三门课程是金融数学方向的课群组，如果想选修金融数学方向建议3门课程全部选修。已经取得保研资格的学生，建议选修打*的10门研究生专业基础课中的相关课程。 公共选修课至少选修8学分，课程任选，其中至少要有一门艺术类课程。
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?
二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从 而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<
积分变换
积分变换、数学物理方程与特殊函数 经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。 首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。 复数形式的欧拉公式： ?? ???-=+=-=+= ---x i x e x i e i e e n w t e e n w t ix ix inwt inwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数： ?? ?<>=0 ,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。 2.矩形脉冲函数： ???????><=2,02 ,τττ t t E t P ）（ 3.δ函数： ? ??≠=∞+=0,00 ,)(x x x δ 表示密度分布的极限。 δ函数具有筛选性质： )0()()(-f dx x f x =? +∞ ∞ δ 其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-?+∞∞ δ 同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =?，[])()(22w F t f =?，则
《数学物理方程》教学大纲
《数学物理方程》教学大纲 （Equations of Mathematical Physics ） 一. 课程编号：040520 二. 课程类型：限选课 学时/学分：40/2.5 适用专业：信息与计算科学专业 先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三. 课程的性质与任务： 本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。 四、教学主要内容及学时分配 （一）典型方程和定解条件的推导（7学时） 一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。 （二）分离变量法（7学时） 三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法. （三）积分变换法（8学时） Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。 （四）行波法（7学时） 一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法 （五）格林函数（6学时）
微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。 （六）变分法（5学时） 变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题 五、教学基本要求 通过教师的教学，使学生达到下列要求 （一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。 （二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。 （三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。 （四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。 （五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。 （六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。 六、课程内容的重点和深广度要求 教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意： 1.线性偏微分方程的分类与化简。 2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。 3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。 4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。 5. 格林函数的定义和基本性质 6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。
大学高数学习方法总结
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
复变函数与积分变换与高等数学的异同(完整版)
文章编号:XXXX—XXXX（2014）01 0005 03 复变函数与积分变换与高等数学相关内容 的异同 管会超1 （中国民航大学飞行器动力工程，河北，保定，120141607） 摘要：复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论，概念和方法是实变函数在复数域的推广。但我们也要明白它与实变函数的许多不同之处，更好的学习它们的相同于不同，真正的掌握知识提高自己的能力，为以后解决实际问题而运用。 关键词：复函数，极限，实函数，留数，洛朗级数，傅里叶、拉普拉斯变换，解析函数 中图分类号：TU973+.255文献标识码：C Similarities and differences ofcomplex functionandintegral transformandhigher mathematicsrelated content GUAN huichao (China Civil Aviation University ofaircraft engineering, Hebei, Baoding, 120141607) Abstract：ContactsComplexfunctionsandintegral transformandmathematicsarevery close, complex functionofmany theories, concepts and methodsarereal variable functionin promotingcomplex field. But we alsounderstand thatit's a lotdifferent from thereal variable function, the bettertheylearnthe sameina different, truly masterthe knowledgeto improve theirabilityto solve practicalproblemsfor futureuse. Keywords：Complex functions, limits, real function, leaving few, Laurent series, Fourier, Laplace transform, analytic function 引言： 在大学的科目中有许多科目是紧紧相 连的，这些联系使得各科之间使学习起来有连贯性，但是在相同之中又存在着不同点，本文就复变函数与积分变换和高等数学中 的异同进行讨论，分别从复变函数和高等数学之间来进行叙述。 1、复变函数的极限和连续性 复变函数的极限: 复变函数极限的定义在叙述形式 上与一元函数的极限一致。 即： 定义[1]:设A为复常数，函数() w f z =在点0 z的去心邻域 0z zρ <-<内有定义。如果对于任意给定的整数ε，总可以找到相应的整数() δδρ ≤，使得当 0z zρ <-<时恒有() f z Aε -<，则称A为() f z当 z z →时的极限。记作0 lim()()() z z f z A f z A z z → =→→ 或
数学物理方法第二篇第2章
第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类： 1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??，xx u 表示22x u ??；二维波动方程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（二维的），22 2222z y x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要
的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα，D ?表示区域D 的边界，n 是D ?的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题. 例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = } 连续体力学2222()(,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ????? -?=??????? ?? +??=??? ?-? +??=+=????? 弹性定律弦 弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ; ;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+? ?=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 2 2.2u i u Vu t m ?=-?+?
常微分方程课程教学大纲
常微分方程课程教学大纲 一、课程说明 1、课程性质 本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。 常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。 通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。 通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。 2、教学目的要求 目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。 本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。 3、先行或后继课程 先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。 后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。 微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。 4、教学时数分配表
积分变换与数理方程
积分变换与数理方程在岩土工程中的应用 ——土的单向固结理论 经过这学期积分变换与数学物理方程的学习，在老师的悉心教学下，对该门课有了一个系统的认识，并且这门学科作为一个工具能够帮助我更深的理解自己的专业，特别是在土力学，弹性力学等学科中的认识。在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为实际的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 太沙基（K ．Terzaghi ，1925）一维固结理论可用于求解一维有侧限应力状态下，饱和粘性土地基受外荷载作用发生渗流固结过程中任意时刻的土骨架及孔隙水的应力分担量，如大面积均布荷载下薄压缩层地基的渗流固结等。 太沙基一维固结理论的基本假设如下： l ）土是均质的、完全饱和的； 2）土粒和水是不可压缩的； 3）土层的压缩和土中水的渗流只沿竖向发生，是单向（一维）的； 4）土中水的渗流服从达西定律，且土的渗透系数k 和压缩系数a 在渗流过程中保持不变； 5）外荷载是一次瞬时施加的。 土的固结理论中土的单向渗流固结的普遍方程为： 012 2=???+??? ????'+??-??+??dt dk t u k t H t u t k m z u v w γσγ （1） 由太沙基单向固结的基本假定条件可知: （1）式中k 为常数，H 也为常量，0=??t σ ，则太沙基一维固结微分方程可表示为如下形式： 022=??-??t u k m z u w v γ 或 t u z u C v ??=??22 （2） 式中v C 称为土的竖向固结系数，cm2/s ，其值为： ()w v w v v a e k m k C γγ+= = 1 （2）式即为太沙基单向固结微分方程，式中：u 表示超静孔隙水压力，z 表示土层的深度，t 表示时间，v C 称为土的固结系数。 实例：如图，假设土层厚度为H ，顶面可以自由排水，底面为不透水岩层，土面上瞬时施加的大面积外荷重为0u ，其起始条件和边界条件如下：
复变函数与积分变换的心得及对老师的评价
学习复变函数与积分变换的心得及对老师教学的评价这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学
数理方程定解问题
数理方程定解问题： 1、数理方程的分类 反应热传导的方程类型为： u t=D?u+f 其中?=e2 ex2+e2 ey2 +e2 ez2 ，u t=eu et ，未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与 源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的方程被称为齐次方程。 2、用数理方程研究物理问题的步骤 用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤 （1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分 （2）求解已导出或写出的定解问题 （3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）并作适当的物理解释 3、求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种 （1）行波法（d’Alembert解法） （2）分离变量法 （3）积分变换法 （4）Green函数法 （5）保角变换法 （6）复变函数法 （7）变分法 定解条件 定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组成的，则在两种介质的交面上定解条件还应当有衔接条件。 1、初始条件 （1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式 （2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件 u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z) 2、边界条件 （1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。 （2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f(M，t)为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为： 1 第一类边界条件u| 边 =f(M,t) 2 第二类边界条件eu en | 边 =f(M,t) 3 第三类边界条件[u+heu en ] 边 =f(M,t)
复变函数与数学物理方法期末试题
**大学考试命题用纸考试科目复变函数与数理方程学时考试用时 (闭卷开卷) 成绩A（B）卷共页，第页 《课程名称》试卷 本试卷适用班级：****考 一、填空题（本大题共 5小题，每小题 3 分，共 15 分） 1.1．设 2 1 z i = - ，则Re__,Im__,||__,arg__,__ z z z z z ==== 2.函数e z的周期为__________. 3. = - ?=-1|| 0) ( z z n z z dz __________.（n为自然数） 二、计算题（本大题共 13 小题，每小题分，共 80 分） 1(5分) 2.讨论下列函数的可导性和解析性2 w z =(5分) 3.已知解析函数() f z u iv =+的实部22 (22),()1 v x y x f i i =-+=-+ 且，求解析函数() f z(5分) 4.计算积分 1 1 , z dz - ?积分路径是（1）直线段；(2)单位圆的上半；(5分) 5.计算积分 cos 2 i z dz π+ ?(5分) 6.计算积分 5 sin ,:,1 (1) l z dz l z a a z π => - ??(5分) 7.计算积分 216 l dz z+ ??，其中围道l 为：(10分) 1.包围4i,不包围-4i 2.包围-4i, 不包围4i； 3.包围±4i 8.()2 12R k k k k z ∞ = -?? ∑ 求的收敛半径(5分) 9.求1/(1-z)2在z=0 邻域的Taylor 展开 (5分) 10. 2 1 1 (z1) z z = - 求在奇点的环域上的洛朗展开(5分) 11. 22 iz e z a + 确定的奇点，并求其留数(5分) 12.以下四题选做两题：计算下列积分（1 ）： 2 2 1 , (01). 12cos I dx x π ε εε =<< -+ ?（2）2 1 dx I x ∞ -∞ = + ? （3） 22 cos , (0) mx I dx a x a ∞ => + ?（4）0sin x I dx x ∞ =?(10分) 13.长为l的弦在x=0端固定，另一段x=l自由，且在初始时刻t=0时处于水平状态，初始处于水平状态， 初始速度为x(l-x),且已知弦作微小横振动，写出此定解问题。(10分) 三、简答题（本大题共 2 小题，每小题 2.5 分，共 5 分） 1．w z R w R =将平面的以原点为中心，为半径的圆，变为平面的何种图形？ 2.孤立奇点的有几类？ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 装 订 线 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 班 级 学 号 姓 名 。
复变函数与数理方程教学大纲
复变函数与数理方程 Functions of Complex Variables and Equations of Mathematical Physics Fall Semester 201X Syllabus Course Description: 本课程是理工科有关专业的一门基础课，主要由"复变函数"“数学物理方程”和“特殊函数”三部分内容组成。“复变函数”部分介绍解析函数的基本性质，积分，级数，留数等内容。“数学物理方程”部分介绍数学物理方程的一些基本概念及三种典型方程、各种定解问题的常用解法，包括分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法等。“特殊函数”部分讨论贝塞尔函数及勒让德多项式。 通过这门课程的学习，学生应掌握复变函数论的基本知识和方法，三类典型方程定解问题的解法，了解贝塞尔函数及勒让德多项式的简单性质及其在数学物理方程中的应用，为学习电磁场、量子力学等有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，也为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容解决科学技术和工程实际问题提供重要帮助。 This is a foundation course for engineering students. It mainly consists of three parts: functions of complex variables, equations of mathematical physics and special functions. By this course, the students are expected to grasp the basic knowledge and techniques in solving questions of complex variables and the three types of partial differential equations. The contents of this course will be of great benefit for later curriculums and applied in many aspects. Prerequisite: calculus, or equivalent courses. Textbook:A first course in partial differential equations with complex variables and transform methods, by H.F.Weinberger. Dover Pub.Inc. Examinations:One 120-minute midterm examination, and a comprehensive final examination given during the final examination period. Calculators: A calculator may be useful for some homework problems involving graphing. However, the use of calculators is not permitted on exams. Grading Policy: Grades will be assigned on the basis of 100 points distributed as follows 30 points midterm examination 30 points quizzes/homework 40 points final examination Tentative Course Outline: Chp 1 The one dimensional wave equation 一维波动方程 Chp 2 linear 2nd-order partial differential equations in 2 variables 二元二阶线性偏微分方程Chp 3 Some properties of elliptic and parabolic equations 椭圆和抛物型方程的性质 Chp 4 Separation of variable and Fourier series 分离变量法和Fourier级数 Chp 5 Nonhomogeneous problems 非齐次问题