(完整版)一元二次方程复习+培优

一元二次方程复习+培优

一．概念

定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的

形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

例: 若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．

练习：

1、在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=，

0=,

213x x

=+,22=a ，2

23213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 。

2、要使方程（a-3）x 2

+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3

C ．a ≠1且b ≠-1

D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0

3、关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2

-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________. 4、一元二次方程)1(2)2)(1(2

-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

二．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.

例：用适当的方法解下列方程

（1）0222=--x x （2）)5(2)5(32

x x -=-

（3 ）10)1)(2(=-+x x （4）2

2

)6()2(x x -=-

（5）2(23)3(23)40x x +-+-= （6）0)12(2

2=+++-a a x a x

（7）0)2(232

22=-++-a b x b a x

练习：

1..方程2

9180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。

2.方程2

230x x --=的解是_______________________

3（2015绵阳）关于m 2

2

20n m --=的一个根为2，则

22n n -+= ．

4..一元二次方程02

=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式122--+-=a a b ，求

此一元二次方程。

三．根的判别式

1．一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ac b 42

-=∆

⑴ 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0<∆时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根0≥∆⇔

注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a ≠0 (3)证明ac b 42

-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

例：已知关于x 的方程0)2

1

(4)12(2=-++-k x k x 。

（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC 的边长a ＝4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，

求△ABC 的周长。

练习：

1.若关于y 的一元二次方程ky 2

-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>7

4

且k ≠0 2.若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2

＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4

3.当k 时，22

2(1)5x k x k -+++是完全平方式. 4.下面对于二次三项式-x 2

+4x-5的值的判断正确的是（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．不小于0 D ．可能为0

5.（2009,潍坊）关于x 的方程068)6(2

=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9 6.（2011 ,佳木斯）若关于x 的一元二次方程0122

=--x nx 无实数根，则一次函数

n x n y -+=)1(的图像不经过（ ）象限。

A.一

B.二

C.三

D.四

7.（2012, 荆门）关于x 的方程02)2(2

=++-x a ax 只有一解（相同的解算一解），则 a 的值为（ ）

A.a =0

B.a=2

C.a=1

D.a=0或a=2

8.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2

(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2

(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 9（2016江苏省扬州市）已知M =219a -，N =27

9

a a -（a 为任意实数）

，则M 、N 的大小关系为（ ）

A ．M ＜N

B ．M =N

C ．M ＞N

D ．不能确定 10．（2016河北省）a ，b ，c 为常数，且2

2

2

()a c a c ->+，则关于x 的方程2

0ax bx c ++=根的情况是（ ）

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．无实数根

D ．有一根为0

四．一元二次方程根与系数的关系