4-5第4讲 理想流体运动微分方程及其积分
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2 2 2
分方程变为：
p du u u u u 2u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y 2v u v w y dt t x y z p dw w w w w Z 2 w u v w z dt t x y z X
（3）根据牛顿第二定律列方程
微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为 由牛顿第二运动定律，沿 x 方向的运动方程为
du dv dw ，则 , , dt dt dt
Xdxdydz
得到
p du dxdydz dxdydz x dt
p du x dt
X
同理，可以得到沿 y，z 轴的运动方程，最后有
p0 p
V，p
1 V 2 2
p0
• 1
图 3-13
• P0 2
静压、动压和总压
1、 伯努利方程应用举例 下面讨论几个有关伯努利方程应用的例子。 例3-1 皮托(Henri Pitot)在 1773 年首次用一根弯成直角的玻璃管测量了塞纳河的流速， 其原理如下。弯成直角的玻璃管两端开口，一端开口面对来流，另一端垂直向上通大气。设 水流以速度 V 在河道中匀速流动，如图 3-14 所示。试分析水流速度 V 与垂直向上的管中液 面高度 h 的关系。
h2
V • 1
y • 2
图 3-15
管道中流速的测量
问题：如果利用例 3-1 的方法，仅仅用一个折管能否测量管中的流速？为什么？ 解：设管插入水中深度为 y，并取同一水平线上的 1, 2 两点，如图所示。 1 点的静压强为 p1 g ( y h1 ) 2 点是驻点，压强（总压）为 p2 g ( y h2 ) 则由伯努利方程
p dxdydz x
p dxdydz y
p dxdydz z
（2）作用在微元上的质量力 设作用于单位质量流体上质量力的三个分量分别为 X，Y，Z，微元体内的流体质量为
dxdydz ，则微元体所受的质量力在 x，y，z 三个坐标方向的分量分别为：
Xdxdydz ， Ydxdydz ， Zdxdydz
p dx, x p p( x, y dy, z ) p dy y p p( x, y, z dz ) p dz z p( x dx, y, z ) p
沿 x 方向的表面力合力为： [ p p( x dx, y, z )]dydz 沿 y 方向的表面力合力为： [ p p( x, y dy, z )]dxdz 沿 z 方向的表面力合力为： [ p p( x, y, z dz )]dxdy
（6-13）
这就是著名的欧拉理想流体运动微分方程，是由欧拉在 1755 年得出的。欧拉方程（6-13） 和连续性方程（6-4）一起构成描述理想流体运动的偏微分方程组。 注 1：对于不可压缩流体，密度为常数，方程组中含有 4 个未知量 p, u, v, w ，与方程个 数相等，可通过求解方程组得到未知量的变化规律。 注 2：若流体为可压缩流体，密度是未知的，还需要补充能量方程和状态方程。 注 3：对于粘性流体，需要考虑流体切应力的作用。对于不可压缩粘性流体，单位质量 流体所受到的切应力沿 x, y, z 方向的分力分别为 u 、 v 和 w ，此时流体运动微
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2 g g 2 g g
（3-22）
即单位重量流体的机械能是守恒的（总水头是不变的） ， （3-21）式的物理意义就是机械能守 恒，故又称为能量方程。 2 ·
V2
流线
V1
1 ·
z1
z2
基准线
图 3-12 沿流线上机械能守恒
注意 1：伯努利方程的使用条件如下： (1) 流体为理想流体 (2) 流动为定常流动 (3) 流体是不可压缩的 (4) 只有重力场，质量力只有重力 (5) 沿一条流线。 沿不同的流线，常数的值一般是不相同的。 注意 2：伯努利方程表示，沿一条流线单位质量流体的位能、压能和动能之和为常数。 这是机械能守恒在流体力学中的体现，也是伯努利方程的物理意义。 注意 3：对于水流而言，如果某点的压强低于水的汽化压强，则会产生气泡，发生了汽 化现象，此时方程（3-21）就不再适用了。 有几个常用的名称介绍如下：
第1节 理想流体运动微分方程及其积分 流体质点的运动是符合牛顿第二定律的， 由此得出流体的运动与它所受到的作用力之间 的关系，从而建立流体运动的基本方程。本节考虑流体为理想流体，流体质点没有切向力， 只有法向力，所建立的运动方程是理想流体运动方程。 1、理想流体的运动微分方程式 在空间流场中，取一边长分别是 dx，dy，dz 的微元六面体如图 6-5 所示，该六面体的 各个边与坐标轴平行，并设 A(x, y, z)点为该六面体的顶点。 y
（1）测压管水头——
p 和 z 二者之和称为测压管水头（静压） ，即 g hp p z g
（2）总水头——单位重量流体所具有的总机械能称为总水头，即
V2 p H0 z 2 g g
（3）总压——不考虑重力作用时，动压与静压之和也称为总压，即有
p0 p
式中 p 为静压，而 流速为
式中
2
（6-14）
2 2 2 ，称为拉普拉斯算子。 （ 6-14 ）式就是著名的纳维—斯托克斯 x 2 y 2 z 2
（Navier-Stokes）方程，简称 N-S 方程。 2、对欧拉运动微分方程的积分 对于理想流体运动微分方程式（6-13） ，将三个方程分别乘 dx, dy, dz 后，对应项相加， 可得到 (1) 对于等式左边第一项，分别乘 dx, dy, dz 再相加后，得到
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(u
u u u v v v dx v dy w dz ) (u dx v dy w dz ) x y z x y z w w w (u dx v dy w dz ) x y z dx dy dz V2 d ( ) x y z 2 u v w
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度差的关系为
V 2 gh
（3-25）
例 3-2 中需要用两个管来测量管道中的流速，一根直管测量压强，一根折管测量总压， 应用起来很不方便。将这两个测压管合在一起，构成一个如图 3-16 所示的测速管，这就是 皮托管。 皮托管是广泛用于测量流场各点流速的仪器，是一个弯成 90º ，顶端开有小孔 A，侧表 面开有若干小孔 B 的套管。测量时将小孔 A 对准来流方向，则 A 点为驻点，A 点测量的是 总压（相当于折管） ；由于皮托管直径很小，对流场的扰动可以忽略，则 B 点的速度可以认 为就是来流速度 V，B 点测量的就是静压（相当于直管） ，两管的液面差为 h。将伯努利方程 用于 A，B 两点，得到
p(x,y,z) dz
dy dx A(x,y,z)
p(x+dx,y,z)
x z
图 6-5 平行六面体微团
（1） 作用在微元上的表面力 设 A 点处的压强为 p，由于 dx，dy，dz 都很小，可以认为在包含 A 点的三个微元体的 边界面上，压强均为 p，则由数学中的泰勒展开，对应的三个边界面上的压强分别为：
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
有
V 2 gy 0 g (h y ) 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度的关系为
V 2 gh
（3-24）
例3-2 设水流以速度 V 在封闭管道中匀速流动如图 3-15 所示， 试求水流速度 V 与两管 （直管与折管）中液面高度差∆h 的关系。 ∆h h1
（6-20）
对于等式（6-19）左侧第二项，积分条件要求密度仅仅为压强的函数，即 ( p) ， 这类流体称为正压性流体。则有
dp
P
（6-21）
式中 P 称为压力函数。 对于等式（6-19）右侧第二项，已经是全微分形式了，则有
d(
无旋流动： 或 沿一条流线，此时
V2 V2 ) 2 2
Xdx Ydy Zdz F dl
式中
（6-15）
F Xi Yj Zk ， dl i dx j dy k dz
(2) 对于等式左边第二项，分别乘 dx, dy, dz 相加后为
1 p p p dp ( dx dy dz ) x y z
这就是在重力场作用下不可压缩理想流体做不定常流动的伯努利方程。对于定常流动， 由于
V 0 t
则方程变为
gz
p
V2 C 2
（6-29）
或者
z
p V2 C g 2 g
（6-30）
这就是著名的伯努利方程，是由瑞士科学家伯努利(Daniel Bernoulli)于 1738 年首先提出的。 其中特别注意， 对于无旋流动， 流场中任意两点间伯努利方程都是成立的； 而对于有旋流动， 则必须在一条流线上才满足。 式中
（6-19）
为了得到积分形式的便于应用的关系式，下面对此式进一步进行分析。 对于等式（6-19）左边第一项，积分条件要求质量力有势，设质量力势函数为 W，即有 函数 W 满足
X
则有
W W W ,Y ,Z x y z
F dl Xdx Ydy Zdz dW F dl W
(3) 对于等式右边第一项，分别乘 dx, dy, dz 相加后为
（6-16）
u v w V dx dy dz dl t t t t
式中 V ui vj wk 。 (4) 对于等式右边第二、三、四项，分别乘 dx, dy, dz 相加后，有
（6-17）
p du u u u u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y u v w y dt t x y z p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
1 V 2 2
1 V 2 称为动压，二者之和为总压。如果知道总压 p0 和静压 p，则 2
2( p0 p) 2p
V
（3-23）
如果流体以速度 V 绕流一个固定的物体如图 3-13 所示，在 1 点处压强（静压）为 p， 速度为 V；在 2 点处速度为 0，为驻点，压强（总压）为 p0 ，则有
V2 ——代表单位重量流体速度为 V 时的动能（速度水头） 2g
p ——测压管高度，代表单位重量流体相对于大气压强的压能（压力水头） g
z ——位置高度，代表单位重量流体相对于某一基准面的位置势能（位置水头）
理想流体的伯努利方程表明，在如图 3-12 所示的同一条流线上的任意两点 1, 2 之间， 应满足
（6-22）
对于等式（6-19）右侧第三项，此项为 0 的条件如下：
x y z 0
dx dy dz u v w
（6-23）
（6-24）
综合以上讨论，在满足（6-23）或（6-24）条件下，即在无旋流动或沿一条流线上，将 （6-20） ， （6-21）和（6-22）代入（6-19） ，得到
V2 V P W dl C 2 t
进一步设质量力只有重力作用，则
（6-25）
W gz
再设流体为不可压缩流体，则
（6-26）
则由（6-25）式得到
dp
P
p
（6-27）
V2 p 1 V z dl C 2 g g g t
（6-28）
（6-18）
式中 V u v w ，这一部分的推导比较繁琐，省略，请读者自行完成。
2 2 2 2
综上所述，结合（6-15）至（6-18） ，最后得到
dx dy dz dp V V2 F dl dl d ( ) x y z t 2 u v w
h
V • 1
图 3-14
y • 2
用折管测河流流速
解：设折管插入水中深度为 y，并取水平线上的 1, 2 两点，如图 3-14 所示。 （1）1, 2 两点位于相同的水平线上，势能相同， z1 z2 ； （2）1 点处流速为 V，静压强为 p1 gy ； （3）2 点处流速为 0（驻点） ，静压强为 p2 g (h y) ； 则由伯努利方程
分方程变为：
p du u u u u 2u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y 2v u v w y dt t x y z p dw w w w w Z 2 w u v w z dt t x y z X
（3）根据牛顿第二定律列方程
微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为 由牛顿第二运动定律，沿 x 方向的运动方程为
du dv dw ，则 , , dt dt dt
Xdxdydz
得到
p du dxdydz dxdydz x dt
p du x dt
X
同理，可以得到沿 y，z 轴的运动方程，最后有
p0 p
V，p
1 V 2 2
p0
• 1
图 3-13
• P0 2
静压、动压和总压
1、 伯努利方程应用举例 下面讨论几个有关伯努利方程应用的例子。 例3-1 皮托(Henri Pitot)在 1773 年首次用一根弯成直角的玻璃管测量了塞纳河的流速， 其原理如下。弯成直角的玻璃管两端开口，一端开口面对来流，另一端垂直向上通大气。设 水流以速度 V 在河道中匀速流动，如图 3-14 所示。试分析水流速度 V 与垂直向上的管中液 面高度 h 的关系。
h2
V • 1
y • 2
图 3-15
管道中流速的测量
问题：如果利用例 3-1 的方法，仅仅用一个折管能否测量管中的流速？为什么？ 解：设管插入水中深度为 y，并取同一水平线上的 1, 2 两点，如图所示。 1 点的静压强为 p1 g ( y h1 ) 2 点是驻点，压强（总压）为 p2 g ( y h2 ) 则由伯努利方程
p dxdydz x
p dxdydz y
p dxdydz z
（2）作用在微元上的质量力 设作用于单位质量流体上质量力的三个分量分别为 X，Y，Z，微元体内的流体质量为
dxdydz ，则微元体所受的质量力在 x，y，z 三个坐标方向的分量分别为：
Xdxdydz ， Ydxdydz ， Zdxdydz
p dx, x p p( x, y dy, z ) p dy y p p( x, y, z dz ) p dz z p( x dx, y, z ) p
沿 x 方向的表面力合力为： [ p p( x dx, y, z )]dydz 沿 y 方向的表面力合力为： [ p p( x, y dy, z )]dxdz 沿 z 方向的表面力合力为： [ p p( x, y, z dz )]dxdy
（6-13）
这就是著名的欧拉理想流体运动微分方程，是由欧拉在 1755 年得出的。欧拉方程（6-13） 和连续性方程（6-4）一起构成描述理想流体运动的偏微分方程组。 注 1：对于不可压缩流体，密度为常数，方程组中含有 4 个未知量 p, u, v, w ，与方程个 数相等，可通过求解方程组得到未知量的变化规律。 注 2：若流体为可压缩流体，密度是未知的，还需要补充能量方程和状态方程。 注 3：对于粘性流体，需要考虑流体切应力的作用。对于不可压缩粘性流体，单位质量 流体所受到的切应力沿 x, y, z 方向的分力分别为 u 、 v 和 w ，此时流体运动微
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2 g g 2 g g
（3-22）
即单位重量流体的机械能是守恒的（总水头是不变的） ， （3-21）式的物理意义就是机械能守 恒，故又称为能量方程。 2 ·
V2
流线
V1
1 ·
z1
z2
基准线
图 3-12 沿流线上机械能守恒
注意 1：伯努利方程的使用条件如下： (1) 流体为理想流体 (2) 流动为定常流动 (3) 流体是不可压缩的 (4) 只有重力场，质量力只有重力 (5) 沿一条流线。 沿不同的流线，常数的值一般是不相同的。 注意 2：伯努利方程表示，沿一条流线单位质量流体的位能、压能和动能之和为常数。 这是机械能守恒在流体力学中的体现，也是伯努利方程的物理意义。 注意 3：对于水流而言，如果某点的压强低于水的汽化压强，则会产生气泡，发生了汽 化现象，此时方程（3-21）就不再适用了。 有几个常用的名称介绍如下：
第1节 理想流体运动微分方程及其积分 流体质点的运动是符合牛顿第二定律的， 由此得出流体的运动与它所受到的作用力之间 的关系，从而建立流体运动的基本方程。本节考虑流体为理想流体，流体质点没有切向力， 只有法向力，所建立的运动方程是理想流体运动方程。 1、理想流体的运动微分方程式 在空间流场中，取一边长分别是 dx，dy，dz 的微元六面体如图 6-5 所示，该六面体的 各个边与坐标轴平行，并设 A(x, y, z)点为该六面体的顶点。 y
（1）测压管水头——
p 和 z 二者之和称为测压管水头（静压） ，即 g hp p z g
（2）总水头——单位重量流体所具有的总机械能称为总水头，即
V2 p H0 z 2 g g
（3）总压——不考虑重力作用时，动压与静压之和也称为总压，即有
p0 p
式中 p 为静压，而 流速为
式中
2
（6-14）
2 2 2 ，称为拉普拉斯算子。 （ 6-14 ）式就是著名的纳维—斯托克斯 x 2 y 2 z 2
（Navier-Stokes）方程，简称 N-S 方程。 2、对欧拉运动微分方程的积分 对于理想流体运动微分方程式（6-13） ，将三个方程分别乘 dx, dy, dz 后，对应项相加， 可得到 (1) 对于等式左边第一项，分别乘 dx, dy, dz 再相加后，得到
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(u
u u u v v v dx v dy w dz ) (u dx v dy w dz ) x y z x y z w w w (u dx v dy w dz ) x y z dx dy dz V2 d ( ) x y z 2 u v w
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度差的关系为
V 2 gh
（3-25）
例 3-2 中需要用两个管来测量管道中的流速，一根直管测量压强，一根折管测量总压， 应用起来很不方便。将这两个测压管合在一起，构成一个如图 3-16 所示的测速管，这就是 皮托管。 皮托管是广泛用于测量流场各点流速的仪器，是一个弯成 90º ，顶端开有小孔 A，侧表 面开有若干小孔 B 的套管。测量时将小孔 A 对准来流方向，则 A 点为驻点，A 点测量的是 总压（相当于折管） ；由于皮托管直径很小，对流场的扰动可以忽略，则 B 点的速度可以认 为就是来流速度 V，B 点测量的就是静压（相当于直管） ，两管的液面差为 h。将伯努利方程 用于 A，B 两点，得到
p(x,y,z) dz
dy dx A(x,y,z)
p(x+dx,y,z)
x z
图 6-5 平行六面体微团
（1） 作用在微元上的表面力 设 A 点处的压强为 p，由于 dx，dy，dz 都很小，可以认为在包含 A 点的三个微元体的 边界面上，压强均为 p，则由数学中的泰勒展开，对应的三个边界面上的压强分别为：
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
有
V 2 gy 0 g (h y ) 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度的关系为
V 2 gh
（3-24）
例3-2 设水流以速度 V 在封闭管道中匀速流动如图 3-15 所示， 试求水流速度 V 与两管 （直管与折管）中液面高度差∆h 的关系。 ∆h h1
（6-20）
对于等式（6-19）左侧第二项，积分条件要求密度仅仅为压强的函数，即 ( p) ， 这类流体称为正压性流体。则有
dp
P
（6-21）
式中 P 称为压力函数。 对于等式（6-19）右侧第二项，已经是全微分形式了，则有
d(
无旋流动： 或 沿一条流线，此时
V2 V2 ) 2 2
Xdx Ydy Zdz F dl
式中
（6-15）
F Xi Yj Zk ， dl i dx j dy k dz
(2) 对于等式左边第二项，分别乘 dx, dy, dz 相加后为
1 p p p dp ( dx dy dz ) x y z
这就是在重力场作用下不可压缩理想流体做不定常流动的伯努利方程。对于定常流动， 由于
V 0 t
则方程变为
gz
p
V2 C 2
（6-29）
或者
z
p V2 C g 2 g
（6-30）
这就是著名的伯努利方程，是由瑞士科学家伯努利(Daniel Bernoulli)于 1738 年首先提出的。 其中特别注意， 对于无旋流动， 流场中任意两点间伯努利方程都是成立的； 而对于有旋流动， 则必须在一条流线上才满足。 式中
（6-19）
为了得到积分形式的便于应用的关系式，下面对此式进一步进行分析。 对于等式（6-19）左边第一项，积分条件要求质量力有势，设质量力势函数为 W，即有 函数 W 满足
X
则有
W W W ,Y ,Z x y z
F dl Xdx Ydy Zdz dW F dl W
(3) 对于等式右边第一项，分别乘 dx, dy, dz 相加后为
（6-16）
u v w V dx dy dz dl t t t t
式中 V ui vj wk 。 (4) 对于等式右边第二、三、四项，分别乘 dx, dy, dz 相加后，有
（6-17）
p du u u u u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y u v w y dt t x y z p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
1 V 2 2
1 V 2 称为动压，二者之和为总压。如果知道总压 p0 和静压 p，则 2
2( p0 p) 2p
V
（3-23）
如果流体以速度 V 绕流一个固定的物体如图 3-13 所示，在 1 点处压强（静压）为 p， 速度为 V；在 2 点处速度为 0，为驻点，压强（总压）为 p0 ，则有
V2 ——代表单位重量流体速度为 V 时的动能（速度水头） 2g
p ——测压管高度，代表单位重量流体相对于大气压强的压能（压力水头） g
z ——位置高度，代表单位重量流体相对于某一基准面的位置势能（位置水头）
理想流体的伯努利方程表明，在如图 3-12 所示的同一条流线上的任意两点 1, 2 之间， 应满足
（6-22）
对于等式（6-19）右侧第三项，此项为 0 的条件如下：
x y z 0
dx dy dz u v w
（6-23）
（6-24）
综合以上讨论，在满足（6-23）或（6-24）条件下，即在无旋流动或沿一条流线上，将 （6-20） ， （6-21）和（6-22）代入（6-19） ，得到
V2 V P W dl C 2 t
进一步设质量力只有重力作用，则
（6-25）
W gz
再设流体为不可压缩流体，则
（6-26）
则由（6-25）式得到
dp
P
p
（6-27）
V2 p 1 V z dl C 2 g g g t
（6-28）
（6-18）
式中 V u v w ，这一部分的推导比较繁琐，省略，请读者自行完成。
2 2 2 2
综上所述，结合（6-15）至（6-18） ，最后得到
dx dy dz dp V V2 F dl dl d ( ) x y z t 2 u v w
h
V • 1
图 3-14
y • 2
用折管测河流流速
解：设折管插入水中深度为 y，并取水平线上的 1, 2 两点，如图 3-14 所示。 （1）1, 2 两点位于相同的水平线上，势能相同， z1 z2 ； （2）1 点处流速为 V，静压强为 p1 gy ； （3）2 点处流速为 0（驻点） ，静压强为 p2 g (h y) ； 则由伯努利方程