合肥工业大学工程力学练习册答案—章重点

五 轴向拉伸与压缩
试求图示各杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴
N 1= 10kN
N 2= -15kN N 3= -18kN
一根中部对称开槽的直杆如图所示。

试求横截面1-1和
2-2
解： 1．轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 P N -= 2．应力 6
3
11111110
42010
14----⨯⨯⨯-=-==A P A N σPa 175-=MPa ()6
3
22222
210
4102010
14----⨯⨯-⨯-=-==A P A N σPa 350-=MPa
一桅杆起重机如图所示。

起重杆AB 的横截面是外径为
18 mm 的圆环，钢丝绳CB 的横截面面积为10 mm 2。

试求起重杆和钢丝绳横截面上的应力。

解： 1．轴力
取节点B 为研究对象，受力如图所示，
0=∑X ： 045cos 30cos =++ P N N AB BC
0=∑Y ： 030sin 45
sin =--
AB N P
由此解得： 83.2-=AB N kN ， 04.1=BC N kN 2．应力
起重杆横截面上的应力为 ()
6223
1018204
1083.2-⨯-⨯⨯-=
=πσA
N AB AB
Pa 4.47-=MPa 钢丝绳横截面上的应力为
63
10
101004.1-⨯⨯==A N BC BC σPa 104
=MPa 铜和钢的弹性模量分
1001=GPa 和2102=E GPa 。

若杆的总伸长为126.0=l ∆ mm ，
试求杆横截面上的应力和载荷P 。

解：
1．横截面上的应力 由题意有 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=∆+∆=∆221
1221121E l E l A E Pl A E Pl l l l σ 由此得到杆横截面上的应力为
9
9
221110210400
10100600126
.0⨯+⨯=+∆=E l E l l σPa 9.15=MPa
2．载荷
62610404
109.15-⨯⨯⨯⨯==π
σA P N 20=kN
200=E GPa
解：
1．最大正应力
在BC 段的任一横截面上，即
127.3M P a
Pa 10204
1040623
min max =⨯⨯⨯==-σA N 2．杆的总伸长
mm 57.0m 1020108001040104001020010404 44
4
62362393
2221
22
2
121=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
+
=+=+=----π
π
ππ∆∆∆d l d l E P d E
Pl d E
Pl EA Pl EA Pl
l l l BC AB BC AB BC
AB BC AB
AB 和AC 组成如图所示。

杆AC 的长度为杆AB
200=A mm 2。

两杆材料相同，许用应力160][=σMPa ，试求结构的许可载荷。

解： 由
0=∑X ： 030sin 45sin =- AC AB
N N
可以得到： AB AB AC N N N >=2，即AC 杆比AB 杆危险，故 32N 1020010160][6
6
=⨯⨯⨯==-A N AC σkN 2162
1
==AC AB N N kN
由
0=∑Y ： 030cos
45cos =-+P N N
AC AB
可求得结构的许可荷载为 P 7.43=kN
AB 各段内的轴力。

解：
为一次超静定问题。

设支座反力分别为A R 和B R ，如图所示。

由截面法求得各段轴力分别为
A AC R N =， P R N
B CD +=， B DB R N = ① 静力平衡方程为
0=∑Y ： 02=---B A
R P P R
②
变形协调方程为
0=∆+∆+∆=∆DB CD AC l l l l ③
物理方程为
EA a N l AC AC =
∆， EA a N l CD CD 2=∆， EA
a
N l DB DB =∆ ④ 由①②③④联立解得：P R A 47=，P R B 45
-=
故各段的轴力为：P N AC 47=，4P N CD -=，P N DB 4
5
-=。

横梁AB 可视为刚体。

杆1、2和3的横截面
A 。

各杆材料相同，其许用应力为][σ。

试求许可载荷。

解：
为一次超静定问题。

由对称性可知，BF AD N N =，BF AD l l ∆=∆。

静力平衡条件：
0=∑
Y ： 0=-++P N N N BF CE AD ①
变形协调条件：
CE AD l l ∆=∆
即 EA
l
N EA l N CE AD 2⋅=
即 CE AD N N 2= ②
由①②解得：P N N N CE BF AD 5
2
2===
由AD 、
BF 杆强度条件A
P BF AD 5
2==σσ≤][σ，可得该结构的
许可载荷为
P ≤A ][2
5σ
与许用拉应力的比值为3]
[]
[=+-σσ。

各杆横截面面积均为Ａ。

试求该结
构的最大许可载荷Ｆ。

解：
B 点受力如图(a )所示，由平衡条件可得：2F N =
由对称性可知，AD 、BD 、AC 、BC 四杆受拉，拉力为2F
，由
拉杆强度条件 A
F 2
=
+σ≤][+σ
可得 F ≤A ][2+σ ①
D 点受力如图(b )所示，由平衡条件可得：F N N -=-=2' CD 杆受压，压力为F ，由压杆强度条件
A
F
=
-σ≤][3][+-=σσ 可得 F ≤A ][3+σ ②
由①①可得结构的最大许可载荷为A F ][2+=σ。

某圆轴作用有四个外力偶矩11=m m kN ⋅，6.02=m m kN ⋅，
2.043==m m m kN ⋅。

(1) 试作轴扭矩图；
(2) 若1m 、
m 位置互换，扭矩图有何变化？
解：
(2)
AC
，主动轮A 传递外扭矩11=m m kN ⋅，从
动轮B 、C 分别传递外扭矩为4.02=m m kN ⋅，6.03=m m kN ⋅，已知轴的直径4=d cm ，各轮间距50=l cm ，剪切弹性模量80=G GPa
，试求：
(1(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A 与轮C 之间的
解：
1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为m kN 0.1⋅； 当主动轮A 位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为m kN 6.0⋅，因此，将主动轮A 布置在两从动轮B 和C 中间较为合理。

2．47.7MPa Pa 10416106.0633
t
max =⨯⨯⨯==-πτW T AC
854
.0r a d 0149.010432
10801050106.08
4923p
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--πϕGI l T AC AC 或 2
2t
p max d GW l
T GI l T d G l AC AC AC ===τϕ
一空心圆轴的外径90=D mm ，内径60=d mm ，试计算该轴的
t W ；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量t W ，计算结果说明了什么？ 解：
1．空心圆轴的抗扭截面模量
(
)()()34
4
44
44
4t mm 10
5.1190
166090
162
32⨯=⨯-=-=-=
πππD
d D
D d
D W
2．实心圆轴的抗扭截面模量
设实心圆轴的直径为d '，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即
()
22
24
4
d D d -=
'π
π
，可得
mm 1.6760902222=-=-='d D d 故实心圆轴的抗扭截面模量为 343t mm 109.516
⨯='=
'd W π
3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心
圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。

阶梯形圆轴直径分别为41=d cm ，72=d cm ，轴上装有三个皮
带轮，如图所示。

已知由轮3输入的功率为303=P kW ，轮1输出的功率为131=P kW ，轴作匀速转动，转速200=n r /min ，材料的许用剪应力60][=τMPa ，剪切弹性模量80=G GPa ，许用扭转角2][=θm / ，试校核轴的强度和刚度。

解：
62.0200
13
55.91=⨯
=m m kN ⋅ 43.12003055.93=⨯=m m kN ⋅
()()][MPa 3.49Pa 10416
1062.06
33
t max τπτ<=⨯⨯⨯==-AC AC AC W T
()][m 77.1m rad 031.010432
10801062.08
493
p θθ<==⨯⨯⨯⨯⨯==- AC
AC AC I G T
()()][MPa 2.21Pa 107161043.16
33
t max τπτ<=⨯⨯⨯==-DB DB DB W T
()
][m 43.0m rad 008.010732
10801043.18
493
p θπ
θ<==⨯⨯⨯
⨯⨯==- DB
DB DB
I G T
T (kN ·m)
有一外径100=D mm ，内径80=d mm 的空心圆轴与
801=mm 的实心圆轴用键相连。

轴的两端作用外力偶矩
6=m m kN ⋅，轴的许用剪应力80][1=τMPa ；键的尺寸为301010⨯⨯mm 3，键的许用剪应力100][2=τMPa ，许用挤压应力
[解：
1．校核轴的强度 空心轴：
()()
12
443
344max 10
8010010210010632322--⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=ππτd D D m Pa 8.51=MPa 1][τ< 实心轴： 9
33
3
1max 10
801061616
-⨯⨯⨯⨯=
=
'ππ
τD m
Pa 7.59=MPa 1][τ<
∴ 轴满足强度条件。

2．求所需键的个数
3
3
1108010
622-⨯⨯⨯=
=D m F N 150=kN 由6
103010-⨯⨯⋅=n F τ≤2][τ可得：n ≥51010010301010150663
=⨯⨯⨯⨯⨯-
由6bs 10305-⨯⨯⨯=n F σ≤][bs σ可得：n ≥6.310
28010150101506
63
=⨯⨯⨯⨯- ∴ 所需键的个数n ≥5。

如图所示，两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。

已知轴的传递扭
5030=D cm ，轴的
40][1=τd 解： 116
31max d π1][τ，可得
d ≥36
3
3110
40105016][16⨯⨯⨯⨯=πτπm m 185=mm 2．求螺栓的直径
每个螺栓所受到的力为 23
1030610502121-⨯⨯⨯=
=D m F N 8.27=kN 由螺栓的剪切强度条件：2
1
2144d F
d Q ππτ==≤2][τ，可得 1d ≥6
3
210
60108.274][4⨯⨯⨯⨯=πτπF m 24=mm 由螺栓的挤压强度条件：1bs bs bs td F
A P ==σ≤][bs σ，可得
1d ≥6
23
bs 10120102108.27][⨯⨯⨯⨯=
-σt F
m 12=mm ∴ 1d ≥24mm 。

1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。

并讨
设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位解：
(a ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： 2
P R R B A =
= 由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
求得： 21P Q =
， 41Pl M = 22P Q -=， 4
2Pl
M =
可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为P ，弯矩不变。

(b ) 以整个梁为研究对象，求得支反力： l m R A -
=，l
m
R B = 由截面法，分别以1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
求得： l m Q -
=1，21m
M -= l m Q -=2，2
2m
M =
可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为m ，剪力不变。

(a )
(a 3)(a 2)(a 1)
解：
1．求支反力，图(a )，
0=∑C
M ： 0310126=⨯--⋅A
R ， kN 7=A R
0=∑Y ： 010=-+B A
R R
， kN 3=B R
2．列内力方程，图(a )和(1a )，
⎩
⎨⎧<<-<<=63 kN 330 kN
7)(x x x Q
⎩
⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63
30 m k N )6(3m k N 12
7)(x x x x x M
3．作内力图，图
(2a )，(a )。

(b )
(b 1)
Q
(b 2)
M
(b 3)
解：
1．求支反力，图(b )，
0=∑B
M ： 02
212=⋅+-⋅l
ql ql l R A
， 0=A R
0=∑Y ： 0=-⋅-+ql l q R R
B A ， ql R B 2=
2．列内力方程，图(b )和(1b )，
23 0 )(l x
l l
x ql qx x Q <<<≤⎩⎨⎧-=
⎩⎨⎧≤≤≤≤---=23
0 )23(2)(2l x l l
x x l ql qx x M
3．作内力图，图(2b )，(3b )。

M
Q
(b )
q (m /kN )为的等截面钢筋混
矩的绝对值相等，应将起吊点A 、B 放在何处（即?=a ）？
解：
作梁的计算简图及其M 图。

由max
max
-
+
=M M ，
即 2222222
qa l q a l ql =⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
即 042
2
=-+l la a 求得 l l a 207.02
1
2=-=。

(a
)
=
=M
=
Q
八（2）弯曲应力
250 mm，截面尺寸为m m
25
m m
8.0⨯
=
⨯b
h的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为
60的圆弧。

已知弹性模量GP a
210
=
E。

试求钢尺横截面上的最大正应力。

解：
根据题意
(b)
Q
=
=
+
+ M
=+
θ
ρl
=，
z
EI M
=
ρ
1
可以得到
l
E E I M z θρ⋅== 故钢尺横截面上的最大正应力为
M P a
352 Pa 2108.010*********
2
3
3
9
max max =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅
⋅==--π
θσh
l E I My z
1-1截面上a 、b 两点的正应
解： 1．求1-1截面上的剪力和弯矩
0=∑
B M ： 0182.2=⨯-⨯A R ， kN 11
40
=A R
∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：kN 114011=-Q ，m kN 11
40
11⋅=-M
2．求1-1截面上a 、b 两点的应力
4612
3m 1009.2112
1015075--⨯=⨯⨯=
z I MPa 03.6Pa 1009.21104021501011406
3
311=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==---z a a I y M σ MPa
0.38Pa 1009.21107510240215040751011406
393*11=⨯⨯⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=
=----z
z
a bI S Q τMPa 93.12Pa 10
09.211021*********
3311-=⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯==---z b b I y M
σ 0=τ
一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受载荷如图所示。

木料的许
10][=σMPa 。

现需要在梁的截面Ｃ上中性轴处钻一直径
为d 的圆孔，问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d （不考虑圆孔处应力集中的影响）可达多少？
解：
C 截面为危险截面。

()()m kN 10250100022
1102501000562
3⋅⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=--C M m kN 31.4⋅-=
()
433433mm 160340
mm 1216012160160d d I z -=⨯-⨯=
mm 80mm 2
160
max ==y
由()
101603
401233max
max max -⨯-==d y M I y M C z
C σ≤][σ，可得
d ≤mm ]
[10
403160312
max 3σ-⨯-y M C mm 115mm 10
10104010801031.431603
6
123
33
=⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯-=-- 许用拉应力40][=l σMPa ，许用压应力160][=y σMPa 。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载
荷不变，但将T 形横截面倒置成为⊥
1．作M 图，求C z I
mm 5.1573020030200100
3020021530200=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=C y
4
7232
3mm 1001.6 5.573020012
200305.57302001230200⨯=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=C z I 2．强度校核 B 截面：][24.1MPa Pa 105.7210203
3l z B Bl C I σσσ<=⨯⨯⨯==-上
][.2M P a 25Pa 105.157102033y z B By C I σσσ<=⨯⨯⨯==-下
C 截面：][12.1MPa Pa 105.72101033y z C Cy C I σσσ<=⨯⨯⨯==-上
][26.2M P a Pa 105.157101033l z C Cl C
I σσσ<=⨯⨯⨯==-下
3．若倒置成⊥形时，][MPa 2.52l B Bl σσσ>==上，∴不合理。

若图示梁的160][=σMPa ，100][=τMPa ，试选用工字钢型号。

解：
1．求支反力，作剪力、弯矩图。

kN 22max =Q ，m kN 2.16max ⋅=M 2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由z
W M
max max =σ≤][σ，得到
z W ≥36
3
max cm 25.10110
160102.16][=⨯⨯=σM 查表选14号工字钢，其
3cm 102=z W ，m m 5.5=b ，cm 0.12*
=z
z S I
3． 剪应力强度条件校核
][M P a 3.33Pa 100.12105.51022233
*
max max ττ<=⨯⨯⨯⨯==--z z S I b Q 满足剪应力强度条件。

∴ 选择14号工字钢。

为改善载荷分布，在主梁AB 上安置辅助梁CD 。

设主梁和辅助
W 和W ，材料相同。

试求a 的合理长度。

M CD
解：
1．作主梁AB 和辅助梁CD 的弯矩图 2．求主梁和辅助梁中的最大正应力
主 梁： ()()()()
111m a x m a x 4 4 W a l P W a l P W M AB AB -=-==σ
辅助梁： ()()2
22
m a x
m a x 44W Pa
W Pa W M CD CD ==
=
σ 3．求a 的合理长度
最合理情况为
()()max max CD AB σσ=
即： ()2
144W Pa
W a l P =- 由此求得： l W W W a 2
12
+=
度q 解： 1 2 对截面由max σA 2=qa 对截面由max σC (9-q
一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。

已知5=P kN ，5.1=a
m ，10][=σMPa 。

试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比b h ，以及锯成此梁所需木料的最小直径d 。

解：
1．作弯矩图 2．求高宽比 ()
2226
1
61b d b bh W z -== 由
0d d =b
W z
，求得 3
d
b =，d h 3
2=
∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为：2=b h
，此时，3
93d W z =
3．确定所需材料的最小直径
由3
max max 39d Pa
W M z ==σ≤][σ，得到
d ≥m 0.227m 10105
.110539][3936
3
3=⨯⨯⨯⨯=σPa
h ≥m 208.0m 1010410
409][49363
3=⨯⨯⨯⨯=σP 由剪应力强度条件2max max 495.15
.1h P
bh P A Q ===τ≤][τ，可得 h ≥m 173.0m 10
3410409][496
3
=⨯⨯⨯⨯=τP ∴ h ≥m 208.0，32h b =
≥m 139.0
九 弯曲变形
解： (a ) 四个
当0=x 时，
01=y ，01=θ； 当a x =时，
21y y =，21θθ=。

(b ) 六个
当a x =时，
021==y y ，21θθ=； 当b a x +=时， 032==y y ， 32θθ=。

(c ) 六个
当0=x 时，
01=y ，01=θ； 当a x =时， 21y y =； 当b a x +=时， 032==y y ， 32θθ=。

(d ) 二个
当0=x 时，0=y ，
当l x =时，1
11
12A E qll l y -=∆-=
（注：1E 和1A 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积）
θ、θ及f 、f 。

解： AB 段(2
0l
x ≤
≤)： ()qlx x M y EI 2
11
-=='' 121
41
C qlx y EI +-=' 113112
1
D x C qlx EIy ++-=
BC 段(2
32l
x l ≤≤)：
()⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--==''x l ql x l q x M y EI 234123212
2
22
32
23812361C x l ql x l q y EI +⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 223
4
2232324123241D x l C x l ql x l q EIy +⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--
= BC 段：2
3
2238236⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x l EI ql x l EI q θ
3
4223242324⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x l EI ql x l EI q y
由此可得到：
4853
01EI ql x A ===θθ， EI ql l x B 2432
1===θθ， 244
1EI
ql y f x A -===， EI
ql y f l
x D 38442
===。

设梁的抗弯刚
解：
(a )
1．当P 单独作用时，查表得
EI Pl AP 162
-=θ
EI
Pl f CP 483
-=
2．当0m 单独作用时，查表得
EI l
m Am 600-=θ
EI
l m f Cm 162
00-=
3．当P 和0m 共同作用时，
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+=EI l m EI Pl Am AP A 616020θθθ
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+=EI l m EI Pl f f f Cm CP C 16482030
(b )
1．当q 单独作用时，查表得
EI qa Bq Cq 243==θθ， EI
qa a f Bq Cq 244
=⋅=θ
2．当P 单独作用时，查表得
EI qa EI a qa EI a qa CP Bm CP 65233
2210-=⋅-⋅-=+=θθθ EI
qa EI a qa a EI qa f a f CP Bm CP 32334
3310-=⋅-⋅-=-⋅-=θ 3． 当q 和P 共同作用时，
EI qa EI qa EI qa CP Cq C 241965243
33-=-=+=θθθ EI
qa EI qa EI qa f f f CP Cq C 8532244
44-=-=+=
知一钢轴的飞轮重20=P kN ，而轴承B 处允许转角 5.0][=B θ，试确定轴所需要的直径d (已知200=E GPa )。

解：
1．作轴的受力简图
2．由刚度条件确定轴的直径 由 64
334
d
E
Pab EI
b
Pa B πθ=⋅=
≤180][π
θ⋅B 可得 d ≥
mm 112m 5
.0180
1020032
1102064][180
3644
9
34
=⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
π
πθπ
πB
E
Pab
由①式求得：最
解：
(a )
A 点：m N 16080240⋅=-=A T
M P a 9.101Pa 1020160
1616933t =⨯⨯⨯===-ππτd T W T A A A
B 点：m N 80⋅-=B T
50.9M P a Pa 102080
16169
33t -=⨯⨯⨯-===-ππτd T W T B B B (b )
A 点：m kN 340
2202123802⋅=⨯⨯-⨯=
A M kN 340
220380-=⨯-=A Q
4512
3m 1081210200120--⨯=⨯⨯=
z I 8.33M P a Pa 10
8105010340
5
3
3=⨯⨯⨯⨯==--z A A A I y
M σ M P a
63.0 Pa 10810120107550120103405
393*
-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==---z zA
A A bI S Q τ
B 点：m kN 1001100⋅-=⨯-=B M kN 100=B Q
()()
62.5M P a Pa 10
81050101005
3
3=⨯⨯-⨯⨯-==--z B B B I y M σ 4.7M P
a Pa 10810120107550120101005
39
3*
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---z zB B B bI S Q τ
试用解析法求图示各单元体斜截面上的应力（图中应力单
(a )(b )解：
(a ) MPa 50-=x σ，MPa 100=y σ，0=xy τ， 150=α M P a
5.120300cos 2
100
50210050150-=---++-= σ M P a
0.650300sin 2
100
50 150=+--=
τ (b )
MPa 40-=x σ，0=y σ，MPa 20=xy τ， 60=α M P a
3.27120sin 20120cos 2
40204060-=---++-= σ M P a
3.27120cos 20120sin 2
40 60-=+--=
τ (c ) MPa 30=x σ，MPa 50=y σ，MPa 20-=xy τ， 30=α
()M P a
3.5260sin 2060cos 2
50
302503030=---++=
σ ()M P a
7.1860cos 2060sin 2
50
30 30-=-+-= τ
锅炉内径1=D m ，壁厚10=t mm ，内受蒸汽压力3=p MPa ，
试求：
(1) 壁内主应力1σ、2σ以及最大剪应力max τ； (2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。

解：
(1) MPa 1501021000
321=⨯⨯==
t pD σ MPa 7510
41000
342=⨯⨯==t pD σ
03=σ
MPa 7523
1max =-=σστ
(2)
60=α
120cos 221
21260σσσσσ-++=
MPa 3.131120cos 2
150
75215075=-++=
MPa 5.32120sin 2
150
75120sin 2
1
260-=
-=
-= σστ 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa ），试用解析
法求：
(1) 主应力大小和主平面位置；
(2) 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； (3) 最大剪应力。

(a )
(a ) MPa 50=x σ，0=y σ，MPa 20=xy τ
()
⎩
⎨⎧-=+⎪⎭⎫
⎝⎛±=+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-±+=⎭⎬⎫MPa
0.70.5720250250 2222
2
2
min max xy y x y
x τσσσσσσ
∴ MPa 0.571=σ，02=σ，MPa 0.73-=σ
5
4
5020222tg 0-=⨯-=--=y x xy σστα， 7.703.190或-=α
()M P a
322
7572
3
1max =--=
-=
σστ
(b ) MPa 40-=x σ，MPa 20-=y σ，MPa 40-=xy τ
()⎩
⎨⎧-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±--=
⎭⎬⎫MPa 2.712.114022*********
2
min max σσ ∴ MPa 2.111=σ，02=σ，MPa 2.713-=σ ()420404022tg 0-=+--⨯-=α， 38520-=或α
()M P a
2.412
2.712.11max =--=τ
（应力单位为MPa ）。

解：
(a )
M P a 5021==σσ，MPa 503-=σ ()M P a
502
50502
3
1max =--=-=σστ (b )
()()⎩
⎨⎧-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--±-+=⎭⎬⎫M P a 2.422.524022*********
2
min max σσ M P a 2.521=σ，MPa 502=σ，MPa 2.423-=σ ()M P a
2.472
2.422.52max =--
=
τ
两种应力状态如图所示，试按第四强度理论比较两者的危险程
度。

解：
对图(a )
2
2
3122τσσσσ+⎪⎭
⎫ ⎝⎛±=⎭⎬⎫，02=σ
()()()[]
222132322214r 32
1
τσσσσσσσσ+=-+-+-=
对图(b )
σσ=1 ，τσ=2，τσ-=3（假设σ≥τ，σ≤τ同理） 224r 3τσσ+=
由于两者的相当应力相同，故两者的危险程度相同。

缩，其最大压应力为
23
max 22121222a P a a a Pa a a P =⨯⨯⨯
+⨯='σ ∴
8max
='σ
σ应力是原来的8倍。

]
[MPa 3.322.359.21max
y y
y I Ma A P σσ<=-=-= ∴ 框架立柱满足强度条件。

)为k N 40=P ，
许用应力MP a 120][=σ。

()
Pa 101522105.36
3
-⨯⨯⨯
][σ>
%5%87.0%100<=
=
138
9.
N=
259
kN
h，
=
60
m m
MPa，弹性模量
l ≥
m 76.1m 10200102105.0321030326
9
3p
=⨯⨯⨯⨯⨯=
-πσμπE
b
故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。

图示托架中，AB 杆的直径cm 4=d ，长度cm 80=l ，两端
材料为A3钢。

(1) 试根据AB 杆的失稳来求托架的临界载荷cr P ；
(2) 若已知实际载荷kN 70=P ，AB 杆的规定稳定安全系数
2=st n ，问此托架是否安
全？ 解：
(1) 47sin =θ 对CD 杆，
0=∑
C M ：
()0300600600sin =+⨯-⨯P N θ
67N P = 对
AB
杆
，
其
柔
度
8040
800444
6424=⨯==
=
=
d l d d l
i
l
ππμλ查表得：MPa 304=a ，MPa 12.1=b ，1001=λ，
6.6112
.1235
3042=-=-=b a s σλ
故12λλλ<<，AB 杆为中柔度杆。

M P a 4.2148012.1304cr =⨯-=-=λσb a
kN 4.269N 1044
104.214426cr cr =⨯⨯⨯⨯==-π
σA N
kN 8.11867
cr cr ==
N P (2) kN 7.158707676=⨯==P N 27.17
.1584.269cr =<===st n N N n
某钢材的MPa 230p =σ，MPa 274=s σ，GPa 200=E ，
λ22.1cr 。

试计算1λ和2λ值，并绘出临界应力总图（1500≤≤λ)。

解：
6.9210230102006
9
p 21=⨯⨯==πσπλE 5.5222
.1274
33822
.13382=-=-=s σλ
临界应力总图。