几种异方差检验方法的比较

几种异方差检验方法的比较

上海师范大学商学院 龚秀芳

摘 要：经典线性回归模型的一个重要假设就是回归方程的随机扰动项具有相同的方差，也称同方差性。但在大多数经济现象中，回归方程的扰动项的方差随观察值的不同而变化，这种模型称为异方差模型。如果对异方差模型进行OLS 估计，就会产生严重的后果，因此，选取适当的异方差的检验方法是极其重要的。本文对帕克检验、格莱舍尔检验、戈德菲尔德-匡特检验作随机模拟，并对这几种方法略作比较。

关键词：异方差模型；异方差检验；随机模拟。

一、异方差模型

经典线性回归模型可以表示为

u x b x b x b b y k k +++++= 33221 （1-1） 假设有n 组观察值),,2,1(),,,,,(32n i x x x y ik i i i =，则（1-1）可表示为

i ik k i i i u x b x b x b b y +++++= 33221 （1-2） 在经典线性回归模型中，假设随机误差项u 是一个随机变量，且服从数学期望为零，方

差为一常数的正态分布，即i u ~N （0，2u σ）。这一假设称为随机误差项u 的同方差性假设。

另外还假设不同观察值的随机误差项之间是不相关的，而且随机误差项与x 项不趋于共同变化。但在实际的经济问题中，上述假设不一定满足。比如，当自变量x 变化较大时（如在一些横截面数据中），u 的方差可能随x 的变化而变化；而当i u 和1+i u 之间存在一定的顺序关系时（如在时间序列中），i u 可能与j u 并不独立（j ≠i ）。

当同方差（homosce dasticity ）或等方差（equal variance ）性假定不满足，也就是说， 随机误差项i u 的方差不等于一个常数，即

）常数（）（）（n i u E u Var i i i ,,2,122 =≠==σ （1-3）

则称随机误差项u 具有异方差（heteroscedasticity ）或非同方差（unequal variance ）性。在模型（1-3）中，除随机误差项具有异方差性外，其它基本假设都能满足，则称这种模型为异方差的线性回归模型，简称异方差模型。

现在假定同方差性不满足，允许随机误差项方差随观察值而异，但其他假定不变。此时，若仍用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares ， 简称OLS ）处理这种异方差模型，可能会产生以下的后果：

1、 参数的OLS 估计量不具有最小方差性

2、 降低估计与预测的精度

因此，有必要选取适当的异方差的检验方法对数据进行异方差检验。

二、随机模拟验证

常用的检验异方差的方法有图示法、斯皮尔曼（Spearman ）的秩相关系数检验法、帕克（Park ）检验法、格莱舍尔（Glejser ）检验法、戈德菲尔德-匡特（Goldfeld-Quandt ）检验法等。对于这些方法，如何根据实际情况选择最好的检验方法是值得研究的。本节选用三种不同的异方差形式，用随机模拟方法产生异方差数据，然后再用帕克检验、格莱舍尔检验、G-Q 检验对这些异方差数据进行检验，以观察三种检验方法哪种更有效。

取自变量x 为

x =[4.36 4.50 4.5 4.51 4.55 4.62 4.68 4.73 4.75 4.8 4.92 4.95 5.1

5.23 5.36 5.38 5.39 5.51 5.65 5.84 5.86 5.92

6.23 6.59 6.91 6.96

7.67

8.48 9.21 9.24 10.99]'

共有31个观察值。另外，相对于每个x 有一因变量y 。假设x 与y 之间的关系为如下模型： i i i u x y ++-=8.02.0 （2-1）

其中，i u 是异方差的。本小节讨论三种情形：),0(~i i x N u 、

),0(~2i i x N u 和)ln ,0(~i i x N u 。在每种情形下，分别用帕克检验、格莱舍尔检验、G-Q 检验作1000次的随机模拟。模拟的方法如下：

首先根据模型（2-1），利用正态随机函数产生具有异方差性的数据i y ，31,,2,1 =i ，然后对()i i y x ,利用最小二乘法计算出残差i e ，继而再利用各种检验方法检验数据中有无异方差性。在显著性水平05.0=α时，如果在1000次的检验中，得出异方差结论的次数占总次数的比重较大，则说明此种检验方法较好。

1、 帕克检验（Park test ）/*

假定2

ln i e 对i x ln 的回归模型为：[1]

i i i x b b e γ++=ln ln 212 （2-2）

对回归模型（2-2）作显著性检验。检验的原假设为0H ：02=b ，即认为（2-1）中的i u 是等方差性的；备择假设1H ：02≠b ，即认为i u 是异方差性的。 检验统计量[2] 2

ˆ2b s b t = （2-3） 其中，k =2，()∑∑∑-==2222

ˆ2ˆ2i i i

b x n e x s s 。当0H 成立时，)(~2k n t t -α。 如果)(2k n t t ->α，则拒绝原假设，认为2b 显著不为零，即认为原模型中存在异方

差；若)(2

k n t t -<α，则接受原假设，即认为2b 显著为零，即认为原模型中不存在异方差。

2、格莱舍尔检验（Glezser test ）

假定

i h

ji i x e γδδ++=10 （2-4） 检验的原假设0H ：01=δ，即认为不存在异方差；备择假设1H ：01≠δ，即认为存在异方差。

当h 分别取1、1/2、 -1时，就有[3]

i ji i x e γδδ++=10 （2-5） i ji i x e γδδ++=10 （2-6）