qt第二章自动控制系统的数学模型(三)传递函数演示文稿ppt

ci ls isim (ssi)X(s)
[eat ] 1 sa
x (t)L 1 [X (s) ]L 1 i n 1(s cip i) i n 1ciep it
（2） D(s) = 0有重根。设有r个重根p1 ，则
N(s) X(s)(sp1)r(spr1) (spn)
(sc1 p1)r (scp21)r1 (s crp1)in r1(s cipi)
X (s)N D ( (s s) )b 0 s s n m a b 1 1 s s n m 1 1 a b n m 1 s 1 s a n b m
通常m < n，a1 , … , an； b0 , … , bm 均为实数。首先将X(s) 的分母因式分解，则有
X (s)b0s (s m p b 1 1)sm s( 1 p 2) b (s m 1sp n)bm
2.3 传递函数
“三域”模型及其相互关系
微分方程 时域(t)
L(s) L-1(s)
系统
传递函数 复数域(s)
j =s s=j
F() F-1()
频率特性 频域()
例1 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
源自文库
解：
X (s) Lx(t) estdt 0
1 est s
0
1 s
es
e s
0 s
es0)
(
1 s2
e s
1 s2
e s0 )
1 s2
例3 求正弦函数 x(t)s的in拉氏t 变换。
解：e j t c o st j s i n t ,e j t c o st j s i n t ,
sint(ejt ej t)/(2j)
X s ejt ejt estdt 0 2j
s 0
s 0sa
复习拉氏反变换
1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)
x (t) L 1 X (s) 2 1 j jj X (s)e sd t t(t 0)
2.求拉氏反变换的方法
① 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 ② 查表法 ③ 部分分式法（积化和差）
一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即
1 s
es0
1 s
例2 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解： X ( s ) L x ( t ) t e st d t 0
t e st s
0
1 e std t 0s
t e st s
0
1 s
e std t
0
=
t e st s
0
-
1 s2
e st
0
(
s
式中p1 , … , pn是 D(s) = 0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨 论：
（1） D(s) = 0无重根。
X (s ) c 1
c 2
c n
n
c i
(s p 1 ) (s p 2 ) (s p n ) i 1(s p i)
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
X(s) s2 c1 c2 (s3)s(1) s3 s1 s2 1
c1s l i 3(m s3)X (s)s l i 3m s12 s2 1
c2s l i 1(m s1)X (s)s l i 1m s32 x(t)L 1 1 2s 131 2s1 1 1 2(e 3 te t)
例8 求
X(s)s2
c1sl ipm 1[(sp1)rX(s)]
c2sl ipm 1dd[ss(p1)rX(s)]
c321!sl ipm 1dd((2s2))[s(p1)rX(s)]
…
crr 11 !sl ip1m d d((rrs 1 1 ))[s(p1)rX (s)]
ci sl ipm i(spi)X(s) i = r+1, …, n
c 2 s l im 1 d d s s 1 2 X (s ) s (s 3 ) s 2 ( ( s s 3 2 ) ) 2 (2 s 3 )s 1 3 4
1 e(js)tdt e(js)tdt
2j 0
0
1 2j
1 e(js)t
js
1
e(js)t
0 js
0
s2
2
例4 求函数x(t)的拉氏变换。
A x(t)0
0t t0 t 0,t t0
x2(t)
+
x(t)
x1(t)
A
A
t0
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
qt第二章自动控制 系统的数学模型(三)
传递函数
上节回顾：微分方程模型
为什么要建模？ 对哪类系统建模？
线性定常系统模型 符合线性齐次叠加原理
描述了系统的动态特性本质:时域模型
以时间为自变量，各变量之间的依赖关系 各变量变化量的大小（变量的增量） 各变量的变化趋势（变量的导数）
增量化：相对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变 化率 线性化：工作点(x0, y0)附近泰勒级数展开
x (t) L 1 [X (s)]
(rc 1 1 )t! r 1 (rc 2 2 )t! r 2 c r 1 t c r ep 1 t
n
c iep it
i r 1
例7 s2
X(s)s24s3 ，求原函数x(t)。 解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)
X(s)AAet0sA(1et0s) ss s
例5 求 e 的a t 拉氏变换。
解:
X (s)eae t sd t t
1e(a s)t
1
0
as 0 sa
例6 若 Lx(t) 1 ，求x(0)， x()。
解：
sa
s
x(0)lim sX (s)lim 1
s
s sa
x( )lim sX (s)lim s 0
4j 2j
s 1 j
x(t)L 1X(s)4je1jt4je1jt
2j
2j
etcots4sitn
s1
4
X(s)(s1)21(s1)21
例9 求 解：
s2 X(s)s(s1)2(s3)
的原函数x(t)。
X(s)(s c11)2sc21cs3sc43
c1s l im 1s12X(s)s(ss 2 3)s11 2
s3 2s2
的原函数x(t)。
解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j)
X (s) s 3 c 1 c 2
s 1 js 1 j s 1 j s 1 j
c1s li m 1 js 1jX (s)s s1 3js 1 j 4 2 jj
c2s li m 1 js 1jX (s)s s1 3j