高考数学概率与统计知识点

（1） Pi 0 ， i 1， 2，， ;（2） P1 P2 , =1.
②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布
n 次独立重复试验中， 事件 A 发生的次数 是一个随机变量， 其所有可能的取值为 0，1，2，,
n，并且 Pk P(
k)
C
k n
p kq n
k
，其中
0
k
n， q
1
p ，随机变量
的分布列如下：
.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道， 我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，
一般地， 样本
容量越大，这种估计就越精确 .
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布
.
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表
示，几何表示就是相应的条形图 .
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布
.
2
10
16
80
解答过程： A 种型号的总体是 10 ，则样本容量 n= 2 .
例 2．一个总体中有 100 个个体，随机编号 0， 1， 2，, ， 99，依编号顺序平均分成 10 个
5 5 25 ．
的分布列为
1
2
3
1
P
5
8
12
25
25
1
8
12 57
E1
2
3
5
25
25 25 ．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第
i 轮的问题”的事件为
Ai (i
1，2，3) ，则 P (A1)
4 5，
3
2
P ( A2 )
P ( A3 )
5，
5．
4 3 2 101 该选手被淘汰的概率 P 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1 )P(A2 ) P(A3 ) 1 5 5 5 125 ．
[ 考查目的 ] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以 及推理和运算能力 .
[解答提示 ]至少有 3 人出现发热反应的概率为
C53 0.803 0.202 C54 0.804 0.20 C55 0.805 0.94 .
故填 0.94.
离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
的分布列为
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E 200 0.4 250 0.4 300 0.2 240 （元）．
抽样方法与总体分布的估计 抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为
N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，
且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样
.常用抽签法和
.
⑶基本性质： E(a b) aE b ； D(a b) a2 D .
( xn E ) 2 pn , ；
(4)若 ～ B(n， p)，则 E np ; D =npq （这里 q=1-p） ;
如果随机变量 服从几何分布， P (
E k) g(k , p) ，则
1
q
p ， D = p 2 其中 q=1-p.
2
例 2．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为
则指定的某个个体被抽到的概率为
．
5 的样本，
1 .
51
P
.
[解答过程 ] 20 提示 : 100 20
例 3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为
0.80. 现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发
热反应的概率为 __________.（精确到 0.01）
（注：本小题结果可用分数表示）
[ 解答过程 ] 解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第
i 轮的问题”的事件为 Ai (i 1，2，3) ，则
P ( A1 ) 4 P ( A2 ) 3 P( A3) 2
5，
5，
5，
该选手被淘汰的概率
P P(A1 A1 A2 A2 A2 A3 ) P(A1 ) P( A1 )P(A2) P( A1 )P(A2 ) P( A3 )
的
分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率 .
[解答过程 ]（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
4
P A 1 P A 1 0.2 0.9984
用对立事件 A 来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为 0,1, 2 ．
P
0
C127 136
C
2 20
190 ，
11
P
1
m
P( A)
依公式
n 求值 ;
答，即给问题一个明确的答复 .
(2)互斥事件有一个发生的概率： P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B);
特例：对立事件的概率： P(A)＋ P( A )＝ P(A＋ A )＝ 1.
(3)相互独立事件同时发生的概率： P(A· B)＝ P(A)· P(B);
特例：独立重复试验的概率：
10 10
10
，
10
10
10
由 Eε =Eη 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 稳定 .
Dε>Dη，可见乙的技术比较
小结： 期望反映随机变量取值的平均水平； 散的程度 . 例 2.
方差反映随机变量取值的稳定与波动，
集中与离
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数
的分布列为
1
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为
0.8,从中任意取出 4 件进行检验 ,求至少有 1
件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品中 ,其中有 3 件不合格 ,按合同规定该商家从中任取 2 件 .都
进行检验 ,只有 2 件都合格时才接收这批产品 .否则拒收 ,求出该商家检验出不合格产品数
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250
元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件 A ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P( A) ；
是一个取值为正整数的离散型
随机变量，“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生 .
随机变量 的概率分布为：
1
2
3
,
P
p
qp
q2p
,
k
,
qk 1 p
,
例 1．
厂家在产品出厂前 ,需对产品做检验 ,厂家将一批产品发给商家时 ,商家按合同规定也需随机
抽取一定数量的产品做检验 ,以决定是否接收这批产品 .
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1，x2 ，,, ， xi ，,, ， 取每一个值 xi（ i 1，
2， ,, ）的概率 P（ xi ） = Pi ，则称下表 .
x1
x2
,
xi ,
P
P1 P2 ,
Pi
,
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 .
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
1 4 2 4 3 3 101
5 5 5 5 5 5 125 ．
P( （Ⅱ） 的可能值为 1，2，3 ，
1 1) P( A1 )
5，
42 8 P ( 2) P ( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
5 5 25 ，
4 3 12 P( 3) P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
和事件
第二步，判断事件的运算 积事件
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件 .
第三步，运用公式
等可能事件 :
m P( A)
n
互斥事件： P( A B ) P( A) P ( B )
独立事件： P ( A B ) P( A) P (B )
n 次独立重复试验： Pn (k ) Cnk p k (1
（Ⅱ）求 的分布列及期望 E ．
[解答过程 ]（Ⅰ）由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”．
知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
2
P( A) (1 0.4) 0.216 ， P( A) 1 P( A) 1 0.216 0.784 ． （Ⅱ） 的可能取值为 200 元， 250 元， 300 元． P( 200) P( 1) 0.4 ， P( 250) P( 2) P( 3) 0.2 0.2 0.4 ， P( 300) 1 P( 200) P( 250) 1 0.4 0.4 0.2 ．
例 12．
某项选拔共有三轮考核， 每轮设有一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被
淘汰 . 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
4 32 5 、 5 、 5 ,且各轮问题能
否正确回答互不影响 .
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率 ;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为
，求随机变量 的分布列与数学期望 .
随机数表法 .
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出 的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机
械抽样） .
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各
部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样
（Ⅱ）同解法一．
（3）离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
Байду номын сангаас
(1)离散型随机变量的数学期望： E x1 p1 x2 p2 , ；期望反映随机变量取值的平均水平
.
⑵离散型随机变量的方差： D ( x1 E ) 2 p1 ( x2 E ) 2 p2 ,
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度
即期望； 二是要
解答过程：工人甲生产出次品数 ε 的期望和方差分别为：
E 0 6 1 1 2 3 0.7
10
10
10
，
26
21
23
D (0 0.7)
(1 0.7)
(2 0.7)
0.891
10
10
10
；
工人乙生产出次品数 η 的期望和方差分别为：
E
5
3
2
0
1
2
0.7 D
( 0 0.7) 2 5 (1 0.7) 2 3 ( 2 0.7) 2 2 0.664
p )n k
求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复
.
例1． 在五个数字 1，2，3，4，5 中，。
例2． 若 随 机 取 出 三 个 数 字 ， 则 剩 下 两 个 数 字 都 是 奇 数 的 概 率 是 （结果用数值表示） ．
P
C13
C
3 5
[解答过程 ]0.3 提示 :
33
54
. 10
0
1
,
P
C
0 n
p0
qn
C
1 n
p1q n
1
,
k
,
C
k n
p
k
q
n
k
n
C
n n
pn
q
0
称 这 样 随 机 变 量 服 从 二 项 分 布 ， 记 作 ~ B( n , p) ， 其 中 n 、 p 为 参 数 ， 并 记 ：
C
k n
pk
qn
k
b( k ; n , p) .
（2） 几何分布
在独立重复试验中， 某事件第一次发生时所作的试验的次数
C3C17
2
51
C20 190 ，
P
2
C
2 3
3
C
2 20
190
0
1
2
136
P
190
136 51
33
E0
1
2
190 190 190 10 ．
记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件
136 27 P 1 PB 1
190 95 ．
51
3
190
190
B，则商家拒收这批产品的概率
27
所以商家拒收这批产品的概率为 95 ．
Pn(k)＝
C
k n
p
k
(1
p)n k .其中 P 为事件
A 在一次试验中发生的
概率，此式为二项式 [(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项 .
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合” ：
求概率的步骤是：
等可能事件 互斥事件
第一步，确定事件性质
独立事件 n 次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种 .
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，
这样的变量叫做随机变量， 常用希腊字母 ξ 、η
等表示 .
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量
.
2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质
.
总体密度曲线： 当样本容量无限增大， 分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限
接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线 .
典型例题 例 1.某工厂生产 A、 B、 C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为
2：3： 5.现用分层抽
样方法抽出一个容量为 n 的样本， 样本中 A 种型号产品有 16 件 .那么此样本的容量 n=
高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识 :
card ( A) m (1)等可能性事件 (古典概型 )的概率： P(A)＝ card (I ) ＝ n ;
等可能事件概率的计算步骤：
计算一次试验的基本事件总数 n ;
设所求事件 A，并计算事件 A 包含的基本事件的个数 m ;
例 1．甲、乙两名工人加工同一种零件， 两人每天加工的零件数相等， 所得次品数分别为
ε、
η， ε 和 η的分布列如下：
ε
0
1
2
η0
1
2
P
6
1
3
P
5
3
2
10
10
10
10
10
10
则比较两名工人的技术水平的高低为
.
思路： 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，
看出次品数的波动情况，即方差值的大小 .