初中数学方案设计型问题

初中数学方案设计型问题

知识点1、用方程或不等式解决方案设计型问题

此类问题属于利用方程、不等式或综合利用方程和不等式解决方案设计型问题。解决这类问题时，首先要弄清题意，根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围，然后再结合实际问题确定方案设计的种数。

例1. （黑龙江省哈尔滨市）青青商场经销甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）很多于750元，且不超过760元，请你协助该商场设计相对应的进货方案。

（3）在五一黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品实行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

不超过300元不优惠

超过300元且不超过400元售价打九折

超过400元售价打八折

按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？

解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，则乙种商品为（100-x）件，根据题意，得

。

解得，则乙种商品为（件）。

所以该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件。

（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据题意，得

解得，因为a的值是整数，所以或49或50，即该商场共有三种进

货方案，分别为：（方案一）购进甲种商品48件，乙种商品52件；（方案二）购进甲种商品49件，乙种商品51件；（方案三）购进甲种商品50件，乙种商品50件。（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，所以甲种商品的件

数为。

第二天只购买乙种商品有以下两种情况：

①购买打九折的乙种商品件数为；

②购买打八折的乙种商品件数为；

所以这两天他一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）。答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品共18件或19件。

知识点2、用函数解决方案设计型问题

例2. 某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具，批发价分别为12元/件、8元/件。若该店零售的A、B两种文具的日销量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系（如图所示）。

（1）求y与x的函数表达式；

（2）该店老板计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不低于296元，若按A种文具日销量4件和B种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？

（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数表达式，并说明A、B 两种文具零售价分别为多少时，每天的销售利润最大。

解：（1）设，则根据图，有

解得

所以y与x之间的函数表达式为。

（2）当件时，（元），

则A种文具每件获利（元）。

设这次购进A种文具a件，则购进B种文具（100-a）件，依题意，有

解得，因为a为整数，所以或49或50，即他有三种进货方案：（方

案一）购进A种文具48件，B种文具52件；（方案二）购进A种文具49件，B种文具51件；（方案三）购进A、B两种文具各50件。

（3）依题意，得

。

所以当A种文具零售价为16元/件、B种文具零售价为14元/件时，零售店每天的销售利润最大。

知识点3、相关图形方案设计型问题

例3. （四川省资阳市）一座建于若干年前的水库大坝横断面如图所示，其中背水面的整个坡面为长90米、宽5米的矩形，现需将其整修并实行美化，方案如

下：①将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分为9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花。

（1）求整修后背水坡面的面积；

（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，

则。

因为米，由勾股定理，得AE=4米。

设整修后的斜坡为AB′，

由整修后坡度为1：，

得。

所以∠AB′E=，故AB′=2AE=8（米）。

故整修后背水坡面面积为（平方米）。

（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，

则每一区域的面积为80平方米，

因为要依次相间地种植花草，有两种方案：

第一种是种花5块，种草4块，则需要的费用为：

（元）；

第二种是种花4块，种草5块，则需要的费用为：

（元）；

所以应选择种草5块，种花4块，这样共需要花费16000元。

知识点4、动手操作方案设计型问题

例4. （江苏省无锡市）（1）如图所示，已知在△ABC中，∠A=，∠B，

请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等的两个角的度数）。

（2）已知△ABC，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系。

解：（1）如图（1）、（2），共有两种不同的分割方法。

（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于点D，在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图，则∠ADB，∠CBD=，∠A=。

此时若满足条件，只能∠A=∠ABD，

即，

化简，得。

所以，