高中数学每日一题含答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x
则 f ( x) f ( 2)的定义域为：（ ）
ABC的面积为S△ABC＝|4－0|×＝2 4.
2
答案：B
10.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到 集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求 自然数a、k的值及集合A、B.
解 析 ： ∵ f（ 1 ） =3×1+1=4 ， f（ 2 ） =3×2+1=7 ， f（ 3 ）= 3×3+1 =10，f（k）=3k+1，
高中数学每日一题
1.平面内的1条直线把平面分成2部分，2条 相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点 的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无 三条共点的直线，可把平面分成多少部分？
思路分析：可通过画图寻找规律，当直线条数n为 3,4,5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从 中发现规律，再归纳出结论．
(1)若ab>0，bc－ad>0，则
(2)若ab>0，
则bc－ad>0；
(3)若bc－ad>0， 的个数是( )
则ab>0，其中正确命题
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于(1)，由不等式的性质得
因为ab>0，bc－ad>0，
故
该命题是真命题．类似可推得命题(2)(3)也是真命题．故
正确命题的个数为三个，因此选D.
解析：设平面被n条直线分成Sn部分，
则当n＝1时，S1 ＝1＋1＝2；
当n＝2时，S2 ＝1＋1＋2＝4；
当n＝3时，S3 ＝1＋1＋2＋3＝7；
当n＝4时，S4 ＝1＋1＋2＋3＋4＝11.
据此猜想，得． Sn＝1＋ nn2＋1＝n2＋2n＋2. 点评： 本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写 出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．
10.(2010年柳州调研)在平面直角坐标系中，
不等式组， xx＋ －yy－ ＋22≥ ≥00 积是 ( )x≤2
表示的平面区域的面
A．4 2 B．4
C．2 2 D．2
思路分析：本题考查简单的线性规划的可行域、三角 形的面积．
解析：由题意，作出已知的
不等式组表示的平面区域，即
△ABC所在区域(如右图所示)，其 中 ， 三 个 顶 点 分 别 为 A(2,4) 、 B(2,0) 、 C(0,2) ． 于 是 ， 三 角 形
c
a <0，
∵α，β为方程x2＋
xb＋
a
＝ac 0的两根，
∴
b a
＝－(α＋β)，
＝ac αβ，由
>0，ac a＜0得，c＜0，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋ b x＋a >0.
∵
b c
＝
b a
×
a c
∴不等式x2＋
bc＝x－＋ac>0＝，－即x12－ 1
c
1， 1ac
c
＝ 1 >0，
5．(2010年山东卷)已知
a＋2i i
＝b＋i(a，b∈R)，
其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1
B．1
C．2 D．3
解析：由 a＋2i ＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等的 i
意义知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，故选B.
答wk.baidu.com：B
6. (2011年厦门高三综合测试)已知a，b，c，d均为实 数，有下列命题：
解析：设实数a为方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的实根，则 a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
∴a∴2＋a2a＋＋a＋3m3m＝＝00 ，， 2a＋2a1＋＝1＝00
∴a＝∴a－答＝案21－，：21，Dmm＝＝111122，，故故选选D. D.
点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本思想方 法．而复数相等是实现复数问题实数化的常用方法．
答案：D
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
解析：由已知条件得a＜0，
∴原不等式可化为x2＋
b a
x＋
所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.
又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.
3.(2010年锦州模拟)在数列{an}中，a1＝tan x，
an＋1
.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
解析：(1)a2＝ a3＝ (2)猜想：an＝ ①当n＝1时，显然成立；
a4=10, （1） a2+3a=3k+1
或 （2） a2+3a=10, a4=3k+1.
∵a∈N，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15， k=5. ∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
11.（09年东北师大附中月考）设f (x) lg 2 x ，
x＋ 1
>0，
∴它的解集
xx>α1或x<1β
.
点评：根据一元二次不等式解集的形式可以确定a＜0及 c＜0，这是解答本题的关键．
8.
8.
9. (2010年福州模拟)如右图所示，要设计一张矩 形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2， 四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽 度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位： cm)，能使矩形广告面积最小？
2．(2010年山东卷)在如右图所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA， E、G、F分别为MB、PB、PC的中 点，且AD＝PD＝2MA.
求证：平面EFG⊥平面PDC；
解析：证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC， 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
，下面用数学归纳法证明之：
②假设n＝k时(k≥1，k∈N*)猜想正确，
猜想也正确． 由①②知对任何n∈N*猜想都正确．
4.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实 根，则实数m满足( )
A．m≤－
1 4
C．m＝－112
B．m≥－ 1
4
D．m＝
1 12
思路分析：因为方程有实根，故可设根为a，代入方程， 利用复数相等的充要条件求解．
则 f ( x) f ( 2)的定义域为：（ ）
ABC的面积为S△ABC＝|4－0|×＝2 4.
2
答案：B
10.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到 集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求 自然数a、k的值及集合A、B.
解 析 ： ∵ f（ 1 ） =3×1+1=4 ， f（ 2 ） =3×2+1=7 ， f（ 3 ）= 3×3+1 =10，f（k）=3k+1，
高中数学每日一题
1.平面内的1条直线把平面分成2部分，2条 相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点 的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无 三条共点的直线，可把平面分成多少部分？
思路分析：可通过画图寻找规律，当直线条数n为 3,4,5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从 中发现规律，再归纳出结论．
(1)若ab>0，bc－ad>0，则
(2)若ab>0，
则bc－ad>0；
(3)若bc－ad>0， 的个数是( )
则ab>0，其中正确命题
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于(1)，由不等式的性质得
因为ab>0，bc－ad>0，
故
该命题是真命题．类似可推得命题(2)(3)也是真命题．故
正确命题的个数为三个，因此选D.
解析：设平面被n条直线分成Sn部分，
则当n＝1时，S1 ＝1＋1＝2；
当n＝2时，S2 ＝1＋1＋2＝4；
当n＝3时，S3 ＝1＋1＋2＋3＝7；
当n＝4时，S4 ＝1＋1＋2＋3＋4＝11.
据此猜想，得． Sn＝1＋ nn2＋1＝n2＋2n＋2. 点评： 本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写 出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．
10.(2010年柳州调研)在平面直角坐标系中，
不等式组， xx＋ －yy－ ＋22≥ ≥00 积是 ( )x≤2
表示的平面区域的面
A．4 2 B．4
C．2 2 D．2
思路分析：本题考查简单的线性规划的可行域、三角 形的面积．
解析：由题意，作出已知的
不等式组表示的平面区域，即
△ABC所在区域(如右图所示)，其 中 ， 三 个 顶 点 分 别 为 A(2,4) 、 B(2,0) 、 C(0,2) ． 于 是 ， 三 角 形
c
a <0，
∵α，β为方程x2＋
xb＋
a
＝ac 0的两根，
∴
b a
＝－(α＋β)，
＝ac αβ，由
>0，ac a＜0得，c＜0，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋ b x＋a >0.
∵
b c
＝
b a
×
a c
∴不等式x2＋
bc＝x－＋ac>0＝，－即x12－ 1
c
1， 1ac
c
＝ 1 >0，
5．(2010年山东卷)已知
a＋2i i
＝b＋i(a，b∈R)，
其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1
B．1
C．2 D．3
解析：由 a＋2i ＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等的 i
意义知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，故选B.
答wk.baidu.com：B
6. (2011年厦门高三综合测试)已知a，b，c，d均为实 数，有下列命题：
解析：设实数a为方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的实根，则 a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
∴a∴2＋a2a＋＋a＋3m3m＝＝00 ，， 2a＋2a1＋＝1＝00
∴a＝∴a－答＝案21－，：21，Dmm＝＝111122，，故故选选D. D.
点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本思想方 法．而复数相等是实现复数问题实数化的常用方法．
答案：D
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
7. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}， 其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集
解析：由已知条件得a＜0，
∴原不等式可化为x2＋
b a
x＋
所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.
又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.
3.(2010年锦州模拟)在数列{an}中，a1＝tan x，
an＋1
.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
解析：(1)a2＝ a3＝ (2)猜想：an＝ ①当n＝1时，显然成立；
a4=10, （1） a2+3a=3k+1
或 （2） a2+3a=10, a4=3k+1.
∵a∈N，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15， k=5. ∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
11.（09年东北师大附中月考）设f (x) lg 2 x ，
x＋ 1
>0，
∴它的解集
xx>α1或x<1β
.
点评：根据一元二次不等式解集的形式可以确定a＜0及 c＜0，这是解答本题的关键．
8.
8.
9. (2010年福州模拟)如右图所示，要设计一张矩 形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2， 四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽 度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位： cm)，能使矩形广告面积最小？
2．(2010年山东卷)在如右图所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA， E、G、F分别为MB、PB、PC的中 点，且AD＝PD＝2MA.
求证：平面EFG⊥平面PDC；
解析：证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC， 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
，下面用数学归纳法证明之：
②假设n＝k时(k≥1，k∈N*)猜想正确，
猜想也正确． 由①②知对任何n∈N*猜想都正确．
4.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实 根，则实数m满足( )
A．m≤－
1 4
C．m＝－112
B．m≥－ 1
4
D．m＝
1 12
思路分析：因为方程有实根，故可设根为a，代入方程， 利用复数相等的充要条件求解．