二项式定理及应用

例6、(3 2 1)n的展开式中，有且只有5个有理项，
则自然数n的最小值等于
(B )
（A）11 （B）12
1
(3 2 1)n (1 23 )n
（C）13
（D）14
1
1
1
1
1 Cn1 23 Cn2 (23 )2 Cnr (23 )r Cnn (23 )n
r
Tr1 Cnr 2 3
r 0,1,, n
其中a0 1
a1 a2 a3 a4 a5 35 1
例4：设a b20的展开式中的第4r项的系数与第r 2项的
系数相等，求r的值。
解：T4r C240r1a b 214r 4r1
Tr2 C2r01a19rbr1
C 4r 1 20
C r1 20
,
r
0,1,2,20
则 4r 1 r 1或4r 1＋r 1＝20
（1）求数列的公差d
(2)比较f (1)与3的大小，并说明理由 2
解： f (1) a1 a2 a3 an n2
f (1) a1 a2 a3 an1 an n
即nd n 2
d 2
例10、已知f (x) a1x a2x2 a3x3 an xn 且a1, a2, a3,, an组成等差数列（n为正偶数） 又f (1) n2，f (1) n
(2)二项式系数最大的项 二项式系数最大的项为中间两项
T6 C151x6 y5 ,T7 C161x5 y6
（3）项的系数绝对值最大的项
项的系数绝对值最大的项,也是中间两项，Ｔ６，Ｔ７同（2)
(4)项的系数最大的项 T7 C161x5 y6
（5）项的系数最小的项 T6 C151x6 y5
练习:在 x 2 n 的展开式中第5项的系数是第4项系数的2倍.
S n 2n n 2n1 2
2 求Cn1 2Cn2 4Cn3 2n1Cnn的值
解：S＝Cn1 2Cn2 4Cn3 2n1Cnn
2S＝2Cn1 22 Cn2 23Cn3 2n Cnn ＝C0n 2Cn1 22 Cn2 23Cn3 2n Cnn Cn0
Baidu Nhomakorabea求展开式中系数最大的项
解T5 Cn4 x n4 24,其系数为: 24Cn4,
T4 Cn3 x n3 23,其系数为: 23Cn3, 由24 Cn4 2 23Cn3 , n 7
假设Tr1的系数最大,
Tr1 C7r x 7r 2r ,Tr C7r1 x 8r 2r1,Tr2 C7r1 x 6r 2r1
1990 7284 2 1990 8 (7K 2)8 7M 28 28 (23)2 4 82 4 (7 1)2 4 7N 4
19908 7M 7N 4
例10、已知f (x) a1x a2 x2 a3x3 an xn 且a1, a2, a3,, an组成等差数列（n为正偶数） 又f (1) n2，f (1) n
两式作差,得： 2(a1 a3 a99 ) 5100 1
a1
a3
a99
5100 1 2
例3：若2x 15 a0 a1x a2 x2 a5x5
求 a1 a2 a3 a4 a5
解：a1 a2 a3 a4 a5 为2x＋15的各项系数之和
a0 a1 a2 a3 a4 a5
(1 2)n 1
S 1 2n 1 S n 1
2
2
例8、 22000 除以17的余数是 1
22000 (24 )500 16500 (17 1)500 17 K (1)500 17 K 1
例9、 19908 除以7所得的余数为 （ B ） (A) 5 (B) 4 (C) 2 (D) 1
二项式系数的增减性与最大值
先增后减
n
当n是偶数时，中间的一项
C
2 n
取得最大值
n－1
n1
当n是奇数时，中间的两项 Cn 2 ＝Cn2 取得最大值
a b0 1
a b1 a b a b 2 a2 2ab b2
a b3 a b4 a b5 a b6
例1：写出x y11的展开式中，
（1）通项Tr1 Tr1 (1)r C1r1x11r yr
5
T6 C75 x 2 25 672x
例2、设
（1 2x）100 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a100 (x 1)100 则a1 a3 a5 a99
解：令x 0 1 a0 a1 a2 a3 a99 a100
令x 2 5100 a0 a1 a2 a3 a99 a100
则CC77rr
2r 2r
C7r1 2r1 C7r1 2r1
7!2r
7 r!r!
7!2r
7 r!r!
8 6
7!2 r 1
r!r 1!
7!2 r 1
r!r 1!
2 r
1
7
8 r
1
r
r
2
1
r r 0
16 5.3 3 13 4.3 3 r 7, r
N
r
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
性质1
Cnm
C nm n
对称性
性质2：Cnm1
Cnm
C m1 n
Cn0＋Cn1＋Cn2＋ Cnn 2n
Cn0＋Cn2＋Cn4＋
Cn1＋Cn3＋Cn5＋ 2n1
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
r 0,3,6,9,12 则n r 12
例71求Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn的值.
解：设
S 0Cn0 1Cn1 2Cn2 3Cn3 n 1 Cnn1 nCnn
逆序相加
S nCn0 n 1Cn1 n 2Cn2 n 3Cn3 1Cnn1 0Cnn
2S n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 2n
r 2 舍去r＝4
3
例5、计算（1）1.009 5 (2)0.998 6 (精确到0.001)
解：(1)1.009 5 (1 0.009 )5 1 C51 0.009 C52 0.0092 1 0.045 8104 1.046
(2)0.998 6 (1 0.002 )6 1 C61 0.002 C62 0.0022 1 0.012 0.988