2020年高考数学(文) 不等式选讲(解析版)

专题 不等式选讲

解答题

1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知()|1||1|f x x ax =+--．

(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．

【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪

=-<<⎨⎪⎩

≤≥x f x x x x

故不等式()1f x >的解集为1{|}2

x x >．

(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为2

0x a <<，所以21≥a

，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．

2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．

【解析】(1)当1=a 时，24,1,

()2,12,26, 2.+-⎧⎪

=-<⎨⎪-+>⎩

≤≤x x f x x x x

可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．

而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；

(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

【解析】(1)1

3,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧

-<-⎪⎪

⎪

=+-<⎨⎪

⎪⎪⎩

≤≥

()y f x =的图像如图所示．

(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．

4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)

若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求2

2

2

x y z ++的最小值． D ．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．

因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当

122x y z ==时，不等式取等号，此时244

333

x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．

5．已知函数2

()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．

(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．

【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2

|1||1|40x x x x -+++--≤．①

当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；

当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；

当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112

x -<≤

．

所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时

()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得

11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．

6．已知0a >，0b >，33

2a b +=，证明：

(1)5

5

()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．

【解析】（1）5

5

6

5

5

6

()()a b a b a ab a b b ++=+++3

32

33

4

4

()2()a b a b ab a b =+-++

2224()ab a b =+-4≥

（2）∵3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤3

3()24

a b +=+， 所以3

()8a b +≤，因此2a b +≤． 7．已知函数()|1||2|f x x x =+--．

(1)求不等式()1f x ≥的解集；

(2)若不等式2

()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

【解析】（1）3,

1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪

=--⎨⎪>⎩

≤≤，

当1x <-时，()f x 1≥无解；

当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}

x x 1≥． （2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而

x x x x x x x x +---+--+2

2

12+1+2≤x ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭2

355=--+244≤

且当32x =

时，2

512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝

⎦．

8．已知a ，b ，c ，d 为实数，且2

2

4a b +=，2

2

16c d +=，

证明8ac bd +≤．

【解析】证明：由柯西不等式可得：22222

()()()ac bd a b c d +++≤，

因为2222

4,16,a b c d +=+= 所以2

()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤.

9．已知函数()|1||23|f x x x =+--．

（I ）在图中画出()y f x =的图像；