2020年秋人教版八年级数学上册第11章专题突破：尺规作图讲义

人教版八年级数学上册第11章
尺规作图（讲义）
➢课前预习
1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，其中“尺”指没有刻度的直尺，
作用是作线；“规”指_________，作用是_______和_______．
2.读一读，背一背常见的几何语言，并在旁边画一画：
①连接AB；
②延长线段AB到点C，使BC=AB；
③延长线段AB交线段CD的延长线于点E；
④过点A作AB∥CD；
⑤过点A作AB⊥CD于点E．
➢知识点睛
1.基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；
③作已知角的角平分线．
书写作法时注意：________________，________________．
2.应用作图：
①______________________，设计作图方案；
②调用__________________完成图形．
➢精讲精练
1.作一条线段等于已知线段．
已知：如图，线段a．
求作：线段AB，使AB=a．
作法：（1）作射线AP；
（2）以_________为圆心，_______为半径作弧，交射线AP于点B．
___________即为所求．
），作一条线段，使它等于2a-b．
2.已知线段a，b（a b
a
b
3.作一个角等于已知角．
已知：如图，∠ABC．
求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．
A
作法：（1）作射线EF ；
（2）以________为圆心，_______为半径作弧，交BA
于点M ，交BC 于点N ；
（3）以____为圆心，____为半径作弧，交EF 于点P ； （4）____________，__________作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． ∠DEF ______________．
证明：如图，连接________，________．
在___________和___________中，
__________________
__________________
__________________⎧⎪
⎨⎪⎩
（已作）（已作）（已作） ∴____________________（） ∴____________________
4. 作一个已知角的倍角．
5. 过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：如图，A 是直线MN 外一点． 求作：直线AB ，使AB ∥MN ．
N
M
A
6.已知两边及夹角作三角形．
已知：如图，线段m，n，∠α．
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．
α
n m
7.作已知角的角平分线．
已知：如图，∠AOB．
求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．
A
O
B
作法：（1）________________，__________________作弧，
交OA于点M，交OB于点N；
（2）分别以______，______为圆心，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；
（3）_________________________．
______________________________．
8.作已知角的四等分线．
已知：如图，∠AOB．
求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．
A
O
B
9.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉，
要求音乐喷泉M在广场的两个入口P，Q的连线上（P，Q的位置如图所示），且到广场两边AB，AC的距离相等．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
10.请画出草图，解决下列问题：
（1）在△ABC中，点D是AC边的中点，连接BD，若AB=5，BC=3，则△ABD和△BCD的周长的差是____________．
（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________．
（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE_____BD+CE（选填“>”、“<”或“=”）．
（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过点E作ED∥AC 交BC于D，过D作DF∥CE交AB于F，则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________．
（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分 ABC交AC于点D，CE ⊥BD交BD延长线于点E，则∠ECD=_______．
（6）若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．
【参考答案】
➢课前预习
1.圆规、度量、截取
2.略
➢知识点睛
1.点线取名称，作弧说心径
2.①画出草图
②基本作图
➢精讲精练
1.点A a长线段AB图略
2. 略
3. 作法：（1）作射线EF ；
（2）以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BA 于点
M ，交BC 于点N ；
（3）以点E 为圆心，BM 长为半径作弧，交EF 于点P ； （4）以点P 为圆心，MN 长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ．
DEF ∠即为所求．
证明：连接MN ，DP ． 在BMN △和EDP △中
BM ED
BN EP MN DP =⎧⎪
=⎨⎪=⎩（已作）（已作）（已作）
SSS BMN EDP DEF ABC
≅∠=∠∴△△（）∴ 4. 略
5. 略
6. 略
7. （1）以点O 为圆心
任意长为半径
（2）点M
点N
大于1
2
MN 长 AOB ∠内部
（3）作射线OP 射线OP 即为所求 8. 略 9. 略 10. （1）2 （2）2AED EDB ∠=∠ （3）=
（4）EDF BDF ∠=∠（5）15°
（6）50°或130°
尺规作图（随堂测试）
1. 已知两角及其夹边作三角形．
已知：∠α，∠β，线段m ．
求作：△ABC ，使∠A =∠α，AB =m ，∠B =∠β（不写作法，保留作图痕迹）．
α
m
β
2.已知：在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DG∥AB交AC
于G，E为AB上任一点（不与A，B重合），过点E作EF∥AD交BC于F，则∠BEF与∠ADG的数量关系是____________________．
【参考答案】
1.略
2.∠BEF=∠ADG
尺规作图（习题）
➢巩固练习
3.下列作图语言描述正确的是（）
A．延长线段AB至点C，使AB=AC
B．过∠AOB内部一点P，作∠AOB的平分线
C．以点O为圆心，AC长为半径作弧
D ．在射线OA 上截取OB =a ，BC =b ，则有OC =a +b 4. 已知边长作等边三角形．
已知：线段a ．
求作：等边△ABC ，使△ABC 的三边长均为a ．
作法：（1）作线段_____________；
（2）分别以______，______为圆心，_______为半径作
弧，两弧交于________； （3）连接________，_________． ____________________．
5. 按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图，∠ABC ． 求作：∠DEF ，使∠DEF =
∠ABC ．
6. 已知∠AOB =45°，点P 在边OA 上．请以点P 为顶点，射线P A 为一边作∠
APC =∠O （作出所有可能的图形）．
a
3
2
A
C
B
7. 如图，分别过A ，B 两个加油站的公路l 1，l 2相交于点O ，现准备在∠AOB
内建一个油库，要求油库的位置点P 满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l 1，l 2的距离相等．请用尺规作图作出点P （保留作图痕迹）．
8. 请画出草图，并根据图形完成下列各题：
（1）在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BF ∥AD
交CA 的延长线于点F ，则AF 和AB 的数量关系是_________________
．
（2）在△ABC中，点D是BC上的一点，过D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则∠EDF与∠A的数量关系是__________________．
（3）已知，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠ABC=______．
（4）已知，在锐角△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠EBC=20°，则∠ADC=
_______．
➢思考小结
阅读材料：
尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有次数限制．他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑．在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活．他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度．另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题．
尺规作图三大难题：
①化圆为方问题
求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的面积相等；
②三等分角问题
求一角，使其角度是一已知角度的三分之一；
③倍立方问题
求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍．
【参考答案】
1. C
2.作法：（1）作线段AB使AB=a；
（2）分别以点A，点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）连接AC，BC．
△ABC即为所求．
3.略
4.略（有两种情况）。