近世代数课件全211图形的对称变换群群的应用

D
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B
A
A
D
2：
2 Pi
Pi 2
C
D
B
C
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B
A
D
C
3：
2 Pi
Pi
C
D
A
B
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B
A
C
B
4：
2 Pi
3 Pi
----
2
C
D
D
A
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B
A
C
D
5：
C
D
B
A
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B
A
A
B
6：
C
D
D
C
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B
A
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A
7：
C
D
C
B
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B
C
B
8：
Βιβλιοθήκη Baidu
A
C
D
A
D
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定理1
正n边形的对称变换群阶为2n. 这种群称
为2n 元二面体群. 记为Dn
0 2
1, 123L
1
n2
123L n,
, L ,n1
123L
n n1 ,
0 2 n (3 n 1)L , L
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D6
D6 {
2
1
N 1
(12) (35) 11 22
25 4 2 5 23 8
10
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1
2
（1）
g 对应式（1）中同一循环置换
中的珠子有相同的颜色.
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例如，设 g 1236 45 D6
1 2 3 4 5 6
1
a1 a1 a2 a3 a3 a2
，则
g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)
g( 1)
a1
a1
a2
a3
a3
a2
g( 2)
a1
a2
a2
a3
a3
a2
2
1
6
5
4
3
2
a1 a2 a2 a3 a3 a2
故 2 不是 g的不动点.
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下面我们来进一步计算不动点数 fg
fg | , g
而满足 g 的 ，对应于 g
的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，
因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有
显然，正三角形的每一对称变换都导致正三 角形的三个顶点的唯一一个置换. 反之， 由 正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正 三角形的唯一一个对称变换，从而可用
S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
表示正三角形的对称变换群.
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其中(1)为恒等变换, (1 2), (1 3), (2 3) 分
2
a1
1 a1
6 a2
5 a3
4 a3
3 a2
1
故 1是 g 的一个不动点.
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反之，若对应 g 的循环置换分解式中某个
循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如
2
1
2
3
4
5
6
a1 a2 a2 a3 a3 a2
，则
g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)
作业：
用黑白两种颜色
(1) 15
25
的珠子，串成有5个珠 子的项链。问有多少种
(12345)
51
2
不同类型的项链？
1
(13524) 51 (14253) 51
2
5 (15432) 51 (25) (34) 11 22 23
(13) (45) 11 22
(15) (24) 11 22
3
4
(14) (23) 11 22
组成，则称 是一个 11 22 L nn 型置换，
其中 1 1 2 2 L n n n.
例： S5 中 (123) (123)(4)(5) 是一个1231 型置换 (12345) 是一个 51 型置换 (12)(34) (12)(34)(5)是一个1122 型置换
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n种选择.
而 g 所含的循环置换个数为
1 2 L m
所以满足条件 g 的项链颜色有
n L
12
m
种选择
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故
fg
n
1
L
2
m
将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为
N 1
n L
12
m
Dm
D g m
其中和式是对 Dm 中每一个置换求和.
进一步表示为
二面体群中的置换类型
二面体群 Dn 是一个n次置换群
0 (1), k 123L nk , k 1,L , n 1
0 2 n (3 n 1)L , L
k
的类型是
n d
d
型，其中 d
n1
(
n,
k)
k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
当n是偶数时，有两种类型：
122
n 2
1
n
型和 2 2 型
1222 型置换有3个，每一个元素的不动点数为 fg 34
23 型置换有4个，每一个元素的不动点数为 fg 33
32
.
型置换有2个，每一个元素的不动点数为
fg
32
61 型置换有2个，每一个元素的不动点数为 fg 3
所以 N 1 36 334 433 232 23 92
12
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N 1
c , L , 1 2,
m
L
12
m
n
c , L , 其中
Dm 1 1 2 m
2L
m
1 2, m 为同一类型的群元素个数，
和式是对所有可能的不同置换类型求和.
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例
用3种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？
解 D6 {
2
1
(1), (123456),
A a1, a2,L , an 为n种颜色的集合.
则每一个映射 : X A 代表一个有标号
的项链.
令 | : X A ，它是全部有
标号项链的集合，显然有
nm
，是全部有标号项链的数目.
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现在考虑二面体群 Dm 对集合 的作用：
设
1 2 L k L m
g i1
i2
g
2
1 1
g1
，所以 g1g2 g1 g2 .
im
g
1
cm
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其直观意义是， g Dm 对 的作用就是
对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而 g Dm使
g 1 2 1 与 2 是同一类型的
1 与 2 属于同一轨道.
因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同
L
ik L
Dm im
1
c1
2L c2 L
kL m
ck L
c
m
，其中 ck A
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定义 g 对 的作用为
g
g 1
c1
g 2
c2
L L
g
m
cm
i1 c1
i2 c2
L L
则 e
g g g1g2
1
1
2
1 1
g2 g1
g1 g2
g1 g 2 1
别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,
(1 2 3), (1 3 2)分别表示关于正三角形的中
心按逆时针方向旋转120度、240度的旋转变
换.
1
l4 l2
l1 l3
l3
2
1
O
O
l2
2
3
l1
3
4
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例 2 正方形的对称变换群. 正方形的四个顶点分别可用1、 2、 3、
4来表示. 于是正方形的每一对称变换可用一 个4次置换来表示. 显然， 不同的对称变换 所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对 应了置换的乘积. 这说明，正方形的对称变换 群可用一置换群来表示.
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合， 5 我们称为是本质相同的，我们要考
虑的是无论怎么旋转、翻转都不能
使它们重合的项链类型数。
1 8
7 6
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设X={1，2，…m}, 代表m颗珠子的集合， 它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子 标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.
这是四次对称群的一个子群.
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平面上正方形ABCD的对称变换群 S(K)={(1), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)} {1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8}
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B
A
1：
2 Pi
C
类型项链数目就是 Dm 对 作用下的轨道数目
，可用Burnside引理求解.
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下一个关键问题是：g Dm 如何求 g 在
上的不动点数 fg ，这与 g的置换类型有关.
设 g 是一个 11 2 2 L m m 型置换.
g 的循环置换分解式可表为
g 14L2 43 14L2 43 L
(1), (123456),
(135)(246),
3
6
(14)(25)(36),
(153)(264),
(165432),
4
5
(26)(35), (13)(46), (15)(24),
(16)(25)(34), (12)(36)(45), (14)(23)(56)}
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二、置换类型
一个n次置换 ，如果其循环置换分解式 是由1 个1-循环，2 个2-循环，L , n 个n-循环
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三、项链问题
问题的提法： 用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链， 问可做成多少种不同类型的项链？
这里所说的不同类型的项链，指两个 项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。
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数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
(135)(246),
3
6
(14)(25)(36),
(153)(264),
(165432),
4
5
(26)(35), (13)(46), (15)(24),
(16)(25)(34), (12)(36)(45), (14)(23)(56)}
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按类型计算每一个群元素的不动点数：
16 型置换有1个，每一个元素的不动点数为 fg 36
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容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180
度，270度，360度的旋转， 这对应于置换
(1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换
(1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素.
近世代数
第二章 群论 §11 图形的对称变换群、群的应用
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一、图形的对称变换群 定义1: 使图形不变形地变到与它重合的变 换称为这个图形的对称变换. 定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘 法构成群，称为这个图形的对称变换群.
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例 1 正三角形的对称变换群. 设正三角形的三个顶点分别为1、 2、 3.