2020年陕西省中考数学模拟试卷(3月份)

2020年陕西省中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）9的倒数是( ) A ．9
B ．1
9
C ．9-
D ．19
-
2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235x y xy += B ．236(2)6x x -=- C ．223()3y y y -=-
D ．2623y y y ÷=
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30︒角的三角板的直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1∠的度数为( )
A ．75︒
B ．65︒
C ．45︒
D ．30︒
5．（3分）已知：点(,)A a b ，(1,2)B a b +-均在正比例函数(0)y kx k =≠的图象上，则k 值为( ) A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，4AB =，D ，F 分别是AC ，BC 的中点，等腰直角三角形DEH 的边DE 经过点F ，EH 交BC 于点G ，且2DF EF =，则CG 的长为(
)
A ．23
B ．231-
C ．
52
D ．31+
7．（3分）直线1y x =-+与2y x a =+的交点在第一象限，则a 的取值不可能是( ) A ．
1
2 B ．12-
C ．32-
D ．52
-
8．（3分）如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，4BE =，过点E 作
//EF BC ，分别交BD ，CD 于G ，F 两点．若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN
的长为( )
A ．3
B ．23
C ．13
D ．4
9．（3分）如图，在半径为6的O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，8AB =，6CD =，垂足为E ，则tan OEA ∠的值是( )
A ．
3
4
B 6
C 15
D 215
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为24y x x m =-++，则m 的值是( ) A ．1或7
B ．1-或7
C ．1或7-
D ．1-或7-
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在2-，
6π，2，21
9
，39这5个数中，无理数有 个． 12．（3分）在正六边形中，其较短对角线与较长对角线的比值为 ．
13．（3分）如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(8,4)，反
比例函数(0)k
y k x =>的图象分别交边BC 、AB 于点D 、E ，连结DE ，DEF ∆与DEB ∆关
于直线DE 对称，当点F 恰好落在线段OA 上时，则k 的值是 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD 中，42AB =，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG EF ⊥于点G ，连接DG ，则线段DG 的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程） 15．（5分）计算：01(2020)|13|22sin 60π--+-+-︒． 16．（5分）化简：2
2
()121
x x x x x x --
÷--+ 17．（5分）赵凯想利用一块三角形纸片ABC 裁剪一个菱形ADEF ，要求一个顶点为A ，顶点D 在三角形的AC 边上，点E 在三角形的BC 边上，点F 在三角形的AB 边上，请你利用尺规作图把这个菱形作出来．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，点A 、E 、F 、C 在一直线上，//DE BF ，DE BF =，AE CF =．求
证：//
AB CD．
19．（7分）为了给顾客提供更好的服务，某商场随机对部分顾客进行了关于“商场服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
满意度人数所占百分比
非常满意1210%
满意54m
比较满意n40%
不满意65%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为，表中m的值为；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据统计，该商场平均每天接待顾客约3600名，若将“非常满意”和“满意”作为顾客对商场服务工作
的肯定，请你估计该商场服务工作平均每天得到多少名顾客的肯定．
20．（7分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得 2.4
DE=米，观察者目高
1.6
CD=米，则树()
AB的高度约为多少米（精确到0.1米）．
21．（7分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22．（7分）小明最喜欢吃芝麻馅的汤圆了，一天早晨小明妈妈给小明下了四个大汤圆，一个花生馅，一个水果馅，两个芝麻馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其他一切均相同． （1）求小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率；
（2）请利用树状图或列表法，求小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的概率．
23．（8分）如图，已知O 经过平行四边形ABCD 的顶点A ，B 及对角线的交点M ，交AD 于点E 且圆心〇在AD 边上，45BCD ∠=︒． （1）求证：BC 为O 的切线；
（2）连接ME ，若31ME =-，求O 的半径．
24．（10分）综合与探究：
如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点H ，连接AH 、CH ，当||AH CH -值最大时，求点H 坐标； （3）若抛物线上存在一点(,)P m n ，0mn >，当ABC ABp S S ∆∆=时，求点P 坐标；
（4）若点M 是BAC ∠平分线上的一点，点N 是平面内一点，若以A 、B 、M 、N 为顶点
的四边形是矩形，请直接写出点N 坐标．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，直线1l ，2l ，3l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处． 问题探究
（2）如图2，在ABC ∆中，内角ABC ∠的平分线BE 和外角ACF ∠的平分线CE ，相交于点
E ，连接AE ，若40BEC ∠=︒，请求出EAC ∠的度数．
问题解决
（3）如图3，某地在市政工程施工中需要对一直角区域(90)AOB ∠=︒内部进行围挡，直角区域AOB ∠内部有一棵大树（点)P ，工作人员经过测量得到点P 到OA 的距离PC 为10米，点P 到OB 的距离PD 为20米，为了保护大树及节约材料，设计要求围挡牌要经过大树位置（点)P 并且所用材料最少，即围挡区域EOF ∆周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的EOF ∆周长的最小值，并说明理由．
2020年陕西省中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）9的倒数是( ) A ．9
B ．1
9
C ．9-
D ．19
-
【解答】解：1
919⨯=，
9∴的倒数是1
9，
故选：B ．
2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C 所示的图形． 故选：C ．
3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235x y xy += B ．236(2)6x x -=- C ．223()3y y y -=-
D ．2623y y y ÷=
【解答】解：（A ）原式23x y =+，故A 错误； （B ）原式68x =-，故B 错误； （C ）原式33y =-，故C 错误； 故选：D ．
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30︒角的三角板的直角边和含45︒角的三角板
的一条直角边在同一条直线上，则1∠的度数为( )
A ．75︒
B ．65︒
C ．45︒
D ．30︒
【解答】解：90ACB DFE ∠=∠=︒，
180ACB DFE ∴∠+∠=︒， //AC DF ∴， 245A ∴∠=∠=︒，
12453075D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故选：A ．
5．（3分）已知：点(,)A a b ，(1,2)B a b +-均在正比例函数(0)y kx k =≠的图象上，则k 值为( ) A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
【解答】解：由已知得：2(1)b ka b k a =⎧⎨-=+⎩
，
解得：2k =-． 故选：B ．
6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，4AB =，D ，F 分别是AC ，BC 的中点，等腰直角三角形DEH 的边DE 经过点F ，EH 交BC 于点G ，且2DF EF =，则CG 的长为(
)
A ．23
B ．231
C ．
52
D 31+
【解答】解：Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，4AB =，D ，F 分别是AC ，BC 的中点，
//DF AB ∴，343BC AB =1
22
DF AB =
=，CF BF =， 1
232
CF BC ∴==
2DF EF =， 1EF ∴=，
等腰直角三角形DEH 的边DE 经过点F ，
DE BC ∴⊥，
EGF ∴∆是等腰直角三角形， 1GF EF ∴==，
231CG CF GF ∴=-=，
故选：B ．
7．（3分）直线1y x =-+与2y x a =+的交点在第一象限，则a 的取值不可能是( ) A ．
1
2 B ．12-
C ．32-
D ．52
-
【解答】解：解方程组1
2y x y x a =-+⎧⎨=+⎩，
可得1(1)31(2)3x a y a ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
直线1y x =-+与2y x a =+的交点在第一象限， ∴00x y >⎧⎨>⎩，即1
(1)03
1(2)03
a a ⎧->⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，
解得21a -<<，
a ∴的取值不可能是5
2-，
故选：D ．
8．（3分）如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，4BE =，过点E 作
//EF BC ，分别交BD ，CD 于G ，F 两点．若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN
的长为( )
A ．3
B ．23
C 13
D ．4
【解答】解：解法一：如图1，过M 作MK CD ⊥于K ，过N 作NP CD ⊥于P ，过M 作
MH PN ⊥于H ，
则////MK EF NP ，
90MKP MHP HPK ∠=∠=∠=︒，
∴四边形M HPK 是矩形，
MK PH ∴=，MH KP =，
//NP EF ，N 是EC 的中点，
∴
1CP CN PF EN ==，1
2
NP CN EF EC ==， 11222PF FC BE ∴=
==，1
32
NP EF ==， 同理得：1FK DK ==， 四边形ABCD 为正方形，
45BDC ∴∠=︒，
M KD ∴∆是等腰直角三角形，
1MK DK ∴==，312NH NP HP =-=-=，
213MH ∴=+=，
在Rt MNH ∆中，由勾股定理得：22222313MN NH MH =+=+= 解法二：如图2，连接FM 、EM 、CM ， 四边形ABCD 为正方形，
90ABC BCD ADC ∴∠=∠=∠=︒，BC CD =，
//EF BC ，
90GFD BCD ∴∠=∠=︒，EF BC =，
EF BC DC ∴==，
1452
BDC ADC ∠=∠=︒， GFD ∴∆是等腰直角三角形， M 是DG 的中点，
FM DM MG ∴==，FM DG ⊥，
45GFM CDM ∴∠=∠=︒，
EMF CMD ∴∆≅∆，
EM CM ∴=，
过M 作MH CD ⊥于H ，
由勾股定理得：BD ==
EC ==
45EBG ∠=︒，
EBG ∴∆是等腰直角三角形，
4EG BE ∴==，
BG ∴=
DM ∴=1MH DH ∴==，
615CH ∴=-=，
CM EM ∴===
222CE EM CM =+，
90EMC ∴∠=︒， N 是EC 的中点，
1
2
MN EC ∴== 故选C ．
方法三：连EM ，延长EM 于H ，使EM MH =，连DH ，CH ，可证EGM HDM ∆≅，再
证EBC HDC ∆≅∆，利用中位线可证112131322
MN EC =
=⨯=． 故选：C ．
9．（3分）如图，在半径为6的O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，8AB =，6CD =，垂足为E ，则tan OEA ∠的值是( )
A ．34
B 6
C 15
D 215 【解答】解：作OM AB ⊥于M ，ON CD ⊥于N ，连接OA 、OD ，如图，
142AM BM AB ∴===，132
DN CN CD ===， 在Rt AOM ∆中，226425OM =-=
在Rt ODN ∆中，226333ON =-=
CD AB ⊥，
∴四边形OMEN 为矩形，
33ME ON ∴==
在Rt OEM ∆中，25215tan 33OM OEM ME ∠===．
故选：D ．
10．（3分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单
位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为24y x x m =-++，则m 的值是( )
A ．1或7
B ．1-或7
C ．1或7-
D ．1-或7-
【解答】解：一条抛物线的函数表达式为24y x x m =-++，
∴这条抛物线的顶点为(2,4)m +，
∴关于x 轴对称的抛物线的顶点(2,4)m --，
它们的顶点相距6个单位长度．
|4(4)|6m m ∴+---=，
286m ∴+=±，
当286m +=时，1m =-，
当286m +=-时，7m =-，
m ∴的值是1-或7-．
故选：D ．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在2-，
6π2219395个数中，无理数有 3 个． 【解答】解：无理数有6π239，共有3个， 故答案为：3．
12．（3分）在正六边形中，其较短对角线与较长对角线的比值为 32 ．
【解答】解：设正六边形的一边为a ，那么最长的对角线为正六边形半径的2倍，也就是正六边形边长的2倍，为2a ；
最短对角线为连接隔一点的相邻两点的线段，它和最长的对角线，正六边形的边构成一个直3a ．
32，
故答案为：3
:2．
13．（3分）如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(8,4)，反
比例函数(0)k y k x
=>的图象分别交边BC 、AB 于点D 、E ，连结DE ，DEF ∆与DEB ∆关于直线DE 对称，当点F 恰好落在线段OA 上时，则k 的值是 12 ．
【解答】解：过点D 作DG OA ⊥，垂足为G ，如图所示．
由题意知(4k D ，4)，(8,)8
k E ，4DG =． 又DEF ∆与DEB ∆关于直线DE 对称，点F 在边OA 上， DF DB ∴=，90B DFE ∠=∠=︒，
90DGF FAE ∠=∠=︒，90DFG EFA ∠+∠=︒， 又90EFA FEA ∠+∠=︒，
GDF EFA ∴∠=∠，
DGF FAE ∴∆∆∽，
∴DG AF DF EF =，即48448
AF k k =--， 解得：2AF =，
222EF EA AF =+，
即222(4)()288
k k -=+， 解得：12k =．
故答案为：12．
14．（3分）如图，在正方形ABCD 中，42AB =，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，
F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，
过点A 作AG EF ⊥于点G ，连接DG ，则线段DG 的最小值为 252- ．
【解答】解：连接AC ，BD 交于O ， 过点E 、F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分， EF ∴过点O ，
AG EF ⊥，
90AGO ∴∠=︒，
∴点G 在以AO 为直径的半圆弧上，
设AO 的中点为M ，
连接DM 交半圆弧于G ，
则此时，DG 最小，
四边形ABCD 是正方形，42AB =
8AC ∴=，AC BD ⊥，
142
AO OD AC ∴===， 122AM OM AO ∴==
=， 2225DM OM OD ∴=+
252DG ∴=-．
故答案为：52．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：01(2020)|13|22sin 60π--+-+-︒．
【解答】解：原式1313122=+-+-⨯ 12
=． 16．（5分）化简：22()121x x x x x x --
÷--+ 【解答】解：原式2(1)2112
x x x x x x x ---+=-- 2
(2)(1)12
x x x x x --=-- (1)x x =-
2x x =-．
17．（5分）赵凯想利用一块三角形纸片ABC 裁剪一个菱形ADEF ，要求一个顶点为A ，顶点D 在三角形的AC 边上，点E 在三角形的BC 边上，点F 在三角形的AB 边上，请你利用尺规作图把这个菱形作出来．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示：
先作BAC ∠的平分线交BC 边于点E ，再作线段AE 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点F
连接DE、EF，
易证()
∆≅∆，则FA DA
EAD EAF SAS
=
而由线段的垂直平分线的性质可得DA DE
=
=、FA FE
∴===
FA DA DE FE
∴四边形ADEF为菱形
则菱形ADEF即为所求作的菱形．
18．（5分）如图，点A、E、F、C在一直线上，//
DE BF，DE BF
=．求
=，AE CF
证：//
AB CD．
【解答】证明：//
DE BF
DEF BFE
∴∠=∠
=
AE CF
AF CE
∴=，且DE BF
∠=∠
=，DEF BFE
∴∆≅∆
()
AFB CED SAS
∴∠=∠
A C
∴
AB CD
//
19．（7分）为了给顾客提供更好的服务，某商场随机对部分顾客进行了关于“商场服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
满意度人数所占百分比
非常满意1210%
满意54m
比较满意n40%
不满意65%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为120，表中m的值为；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据统计，该商场平均每天接待顾客约3600名，若将“非常满意”和“满意”作为顾客对商场服务工作
的肯定，请你估计该商场服务工作平均每天得到多少名顾客的肯定．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为：1210%120
÷=，
m=÷⨯=，
54120100%45%
故答案为：120，45%；
（2）比较满意的人数为：12040%48
⨯=，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）3600(10%45%)
⨯+
360055%
=⨯
=（名)，
1980
答：该商场服务工作平均每天得到1980名顾客的肯定．
20．（7分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得 2.4
DE=米，观察者目高
1.6
CD=米，则树()
AB的高度约为多少米（精确到0.1米）．
【解答】解：CED AEB ∠=∠，CD DB ⊥，AB BD ⊥，
CED AEB ∴∆∆∽， ∴CD DE AB BE
=， 1.6CD =米， 2.4DE =米，8.4BE =米， ∴1.6 2.48.4
AB =， 1.68.4 5.62.4AB ⨯∴=
=米． 故答案为：5.6米．
21．（7分）春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3
件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购
进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x 元、y 元，
2327032230x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得，3070x y =⎧⎨=⎩
， 即甲、乙两种商品每件的进价分别是30元、70元；
（2）设购买甲种商品a 件，获利为w 元，
(4030)(9070)(100)102000w a a a =-+--=-+，
4(100)a a -，
解得，80a ，
∴当80a =时，w 取得最大值，此时1200w =，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润是1200元．
22．（7分）小明最喜欢吃芝麻馅的汤圆了，一天早晨小明妈妈给小明下了四个大汤圆，一
个花生馅，一个水果馅，两个芝麻馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其他一切均相同．
（1）求小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率；
（2）请利用树状图或列表法，求小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的概率．
【解答】解：（1）小明吃第一个汤圆，可能的结果有4种，其中是芝麻馅的结果有2种， ∴小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率2142==； （2）分别用A ，B ，C 表示花生馅，水果馅，芝麻馅的大汤圆，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的有2种情况，
∴小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的概率为21126
=． 23．（8分）如图，已知O 经过平行四边形ABCD 的顶点A ，B 及对角线的交点M ，交AD 于点E 且圆心〇在AD 边上，45BCD ∠=︒．
（1）求证：BC 为O 的切线；
（2）连接ME ，若31ME =-，求O 的半径．
【解答】（1）证明：连接OB ，
四边形ABCD 是平行四边形，
45BAD BCD ∴∠=∠=︒，
290BOD BAD ∴∠=∠=︒，
//AD BC ，
180DOB OBC ∴∠+∠=︒，
90OBC ∴∠=︒，
OB BC ∴⊥，
BC ∴为O 切线；
（2）解：连接OM ，
四边形ABCD 是平行四边形，
BM DM ∴=，
90BOD ∠=︒，
OM BM ∴=，
OB OM =，
OB OM BM ∴==，
60OBM ∴∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，
连接EM ，过M 作MF AE ⊥于F ，
OM DM =，
30MOF MDF ∴∠=∠=︒，
设OM OE r ==， 12FM r ∴=，3OF r =， 3EF r r ∴=-， 222EF FM EM +=，
22231()()(31)2
r r r ∴-+=-， 解得：1r =（负值舍去），
O ∴的半径为1．
24．（10分）综合与探究：
如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点H ，连接AH 、CH ，当||AH CH -值最大时，求点H 坐标；
（3）若抛物线上存在一点(,)P m n ，0mn >，当ABC ABp S S ∆∆=时，求点P 坐标；
（4）若点M 是BAC ∠平分线上的一点，点N 是平面内一点，若以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N 坐标．
【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，
∴点C 坐标为(0,4)-，把(3,0)A -、(4,0)B 坐标代入24y ax bx =+-得 093401644a b a b =--⎧⎨=+-⎩
解得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线解析式为：211433
y x x =--． （2）抛物线的对称轴为：12x =
， 由三角形任意两边之差小于第三边，可知抛物线对称轴上存在一点H ，连接AH 、CH ，当||AH CH -值最大时，点H 为AC 直线与对称轴的交点， 由(3,0)A -、(0,4)C -易得直线AC 解析式为：
443
y x =--， 当12x =时，143
y =-， 故点H 的坐标为：1(2，14)3-． （3）抛物线上存在一点(,)P m n ，0mn >，当ABC ABp S S ∆∆=时，
∴点(,)P m n 只能位于第一象限，(0,4)C -
4n ∴=
∴由2114433
x x =--解得197x +=或197x -=（舍) 故点P 坐标为197(+，4)． （4）若以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，则点M 和点N 的位置有两种如图所示点M 和点M ’点N 和点N ’
易得3OA =，4OC =，5AC =，
点M 是BAC ∠平分线上的一点，作QF AC ⊥，则OQ QF =，111222
OA OC OA OQ AC QF ⨯=⨯+⨯ 1.5OQ QF ∴==，
∴在直角三角形AOQ 和直角三角形ABM 中，
OQ BM AO AB =， ∴1.537
BM =， 3.5BM ∴=，
∴点(3, 3.5)N --
同理在直角三角形AEN ’和直角三角形ABN ’中，可解得点N ’ 8(5-，14)5
． 故点N 的坐标为(3, 3.5)--或8(5-，14)5
． 25．（12分）问题提出
（1）如图1，直线1l ，2l ，3l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到
三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处．
问题探究
（2）如图2，在ABC ∆中，内角ABC ∠的平分线BE 和外角ACF ∠的平分线CE ，相交于点E ，连接AE ，若40BEC ∠=︒，请求出EAC ∠的度数． 问题解决
（3）如图3，某地在市政工程施工中需要对一直角区域(90)AOB ∠=︒内部进行围挡，直角区域AOB ∠内部有一棵大树（点)P ，工作人员经过测量得到点P 到OA 的距离PC 为10米，点P 到OB 的距离PD 为20米，为了保护大树及节约材料，设计要求围挡牌要经过大树位置（点)P 并且所用材料最少，即围挡区域EOF ∆周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的EOF ∆周长的最小值，并说明理由．
【解答】解：作直线1l 、2l 、3l 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相
交于点1P 、2P 、3P ，内角平分线相交于点4P ，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条
公路的距离分别相等．
故答案为：4；
（2）解：ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于点E ，
12CBE ABC ∴∠=∠，12
ECD ACD ∠=∠， 由三角形的外角性质得，ACD ABC BAC ∠=∠+∠， ECD BEC CBE ∠=∠+∠， ∴
1122ACD BEC ABC ∠=∠+∠， ∴11()22
ABC BAC BEC ABC ∠+∠=∠+∠， 整理得，2BAC BEC ∠=∠，
40BEC ∠=︒，
24080BAC ∴∠=⨯︒=︒，
过点E 作EH BA ⊥交延长线于H ，作EG AC ⊥于G ，作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，
EF EH ∴=， CE 平分ACD ∠，
EG EF ∴=，
EH EG ∴=，
AE ∴是CAF ∠的平分线， 11(180)(18080)5022
CAE BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒； （3）如图，设AOB ∠、AEF ∠、BFE ∠的角平分线交于点Q ， 作QN OB ⊥于N ，QM OA ⊥于M ，QH EF ⊥于H ．连接QP ．
则QN QH QM y ===，FH FN =，EH EM =，
OEF ∴∆的周长：22OE OF EF OF FN OE EM ON OM QN QM QN y ++=+++=+=+==，
PDOC 是矩形，且20PD =，10PC =， 10ND y ∴=-，20CM y =-，
222(10)(20)QP y y ∴=-+-
PQ QH ，
222(10)(20)y y y ∴-+-
2605000y y ∴-+，
2(30)400y ∴-，
50y ∴或10y （舍)，
2100y ∴，当且仅当P 、H 重合时取等号．
即OEF
的周长的最小值为100．。