基于透视投影模型的表面三维测量的实现

点 , z 轴与光学中心重合 。
将式 (2) 代入式 (1) ,再将 ^zx 和 ^zy 用 u 、v 、z 、zu 和 zv 表示 ,即可得到
I ( u , v) =
( u - fps) zu + ( v - fqs) zv +1 1+ ps2 + qs2 ( uzu + vzv +1 ) 2 + f 2 ( zu2 + zv2)
+ GB) - I2 ( uA + vB) ] + (1- I2) =0
令
U = ( FA + GB) 2 - I2 [ ( uA + vB) 2 + f 2 ( A2 + B2) ] V = ( FA + GB) - I2 ( uA + vB) W = (1- I2)
将以上方程化简为
R2 U +2 RV + W =0
,B
9 I 分别为 9y
x,
y
方向的灰度梯度 ,可直接从
I
( x , y) 图像中求出 ,计算公式为
A
9I 9x
=
I ( xi
,
yj) xi
-
I ( xi -1 xi -1
, yj)
=
ΔI
(
xi tx
,
yj)
B
9I 9y
=
I ( xi , yj) yi -
I ( xi , yj -1 ) yi -1
2007 年第 41 卷 №8
1 f
=
1 u1
+
1 v1
(15)
式中 , u1 为物距 ,即 CCD 透镜焦距 , v1 为像距 。光
敏面上的点 M ( x , y , z) 与目标物体上的点 M0 ( x0 ,
y0 , z0) 在透镜光学系统中成一一对应关系 ,因此 ,根
据上式以及平面方向两个坐标与深度方向的透视投
2
spectivemodelisquitesuitableforthe3 2Dsurfacemeasurement,comparingwiththeorthographicprojectionmodel.
Keywords:perspectiveprojection, 32Drecovery, visionmeasurement, arithmetic
I ( x , y) =
1+ ps^zx + qs^zy
(1)
ps2 + qs2 +1 1+ ^zx2 + ^zy2
但是 ,由于物体成像是基于透视投影的 ,因此根
据光学透视成像约束条件 ,有
x =-
u^z( x , y) f
(2)
y =-
v^z( x , y) f
式中 , u 、v 为图像坐标点 , ( x , y) 为对应的世界坐标
ficiencyofthetraditionalSFSmodel,aperspectiveprojectionmodelwasintroducedandthegraygradsarithmeticthatishigheffi
2
cientandsimplewasadoptedtosettlethenewmodelandanalyzethesourcesoferror.Theexperimentalresultshowsthattheper
本文研究了一种基于透视投影的反射模型[4] , 并利用几何光学及灰度约束方程的求解方法 ———灰 度梯度法[5] 对该模型进行分析求解 。
2 SFS 透视投影模型的推导
SFS问题最早由 Hron 等人[6] 于 1970 年首次提 出 。Horn引入反射图的概念来完善照度方程 ,建立 了物体表面方向与图像亮度之间的函数关系 ,并假 定物体满足朗伯体表面反射条件 ,即 :若将物体表面 高度表示为 z = z ( x , y) ,并设光源矢量 L = ( ps , qs ,
图 1b 。为了对透视投影模型与正交投影模型进行 比较 ,对这两种模型采用灰度梯度算法进行求解 ,其 实验分析数据见表 1, 三维测量结果见图 1 。
SFS模型
表 1 SFS 实验分析数据
平均高度误 最小二乘法拟 拟合球半径误 球半径误 差 Δz (mm) 合球半径 (mm) 差 Δr (mm) 差率 ( %)
基于透视投影的 SFS求解模型更符合实际成像条件 ,
而基于正交投影的传统模型必然会产生较大误差 。
3 透视投影模型求解算法的实现
根据灰度梯度算法的求解过程 ,设二维灰度图
像的灰度矩阵为 I ( x , y) ,聚焦像表面方程为 z = z ( x , y) , ( x , y , z) 处的法向量为 N = ( p , q ,-1 ) ,光
=
ΔI
(
xi ty
,
yj)
(10)
式中 , i , j 为 xi , yj 对应的像素数 , xi = itx , yj = jty ,其
中 tx , ty 分别为 CCD光敏面上纵横像素点的间距 ,
将式 (10) 代入式 (9)源自文库可得
I ( u , v) =
R [ FA + GB] + H
(11)
2007 年第 41 卷 №8
18
基于透视投影模型的表面三维测量的实现 3
彭明仔1,2 王宇华2 马 平1 丘永亮1
1 广东工业大学 2 佛山科学技术学院
摘 要 :将明暗恢复形状 (SFS) 技术应用于表面三维视觉测量 。针对传统 SFS求解模型的不足 ,引入一种基于 透视投影的反射图模型 ,并采用高效 、简便的灰度梯度算法对该模型进行求解和误差分析 。实验结果表明 ,与正交 投影模型相比 ,透视投影模型的三维表面测量效果显著提高 。
关键词 :透视投影 , 三维恢复 , 视觉测量 , 算法
Realizationof3 2DSurfaceMeasurementBasedonPerspectiveProjectionModel
PengMingzi WangYuhua MaPing et al
Abstract: Theshadefromshading (SFS) technologywasappliedtothesurface3 2Dvisionmeasurement.Consideringthede 2
源方向为 S = ( ps , qs ,-1 ) ,其中 p , q 分别为 x , y 方 向的梯度 ,且
p
=
9z 9x
(5)
q
=
9z 9y
根据朗伯体表面的特性和基于透视投影的反射
方程 ,可得到图像亮度方程为
I ( u , v) =
1+
( u - fps) p + ( v - fqs) q +1 ps2 + qs2 ( up + vq +1 ) 2 + f 2
对 SFS 问 题 的 典 型 求 解 方 法 主 要 有 最 小 化 法[2] 、演化方法 、局部分析法 、线性化方法等 。传统 的求解方法一般都是假设物体的表面反射为朗伯体
3 广东省教育厅自然科学基金资助项目 (项目编号 :04J019) 收稿日期 :2006 年 11 月
表面反射 ,并基于正交投影求得一个近似的非线性 反射图方程[3] ,再通过各种数值方法求解该方程 ,最 后得到方程的解 。
( uRA + vRB +1 ) 2 + f 2 R2 ( A2 + B2)
在式 (9) 中 , 只有 R 是未知数 。利用式 (10) 、
(11) 可求出 p , q 值 ,整理式 (11) 可得
R2{ ( FA + GB) 2 - I2 [ ( uA + vB) 2 + f 2 ( A2 + B2) ]} +2 R [ ( FA
(3)
令 z ( u , v) = z ( x , y) ,如果用 ln[ z ( u , v) ]代替
z ( u , v)( 且 z ( u , v) >0 ) ,则可得到
I ( u , v) =
( u - fps) pu + ( v - fqs) q +1
(4)
1+ ps2 + qs2 ( up + vq +1 ) 2 + f 2 ( p2 + q2)
则原方程变形为
I ( u , v) =
Fp + Gq + H
(8)
( up + vq +1 ) 2 + f 2 ( p2 + q2)
同时再令
p
=
9z 9x
=
9z 9I
×99
I x
=
RA
(9)
q
=
9z 9y
=
9z 9I
×9 I 9y
=
RB
式中
,
R
=
9 9
z为
I
z
对灰度的梯度
,待求的中间变量
A
9I 9x
(12)
求解可得
R=
-
V±
V 2 U
UW
(13)
在求解该模型前 ,需要对图像进行灰度平滑 、滤
波等预处理 ,目的是减小噪声对计算结果的影响 。
将求解出的 R 代入式 (9) 即可求得表面各点的梯度
值 ,然后即可计算光敏面的高度 z ,计算公式为
z ( xi , yj) = [ z ( xi -1 , yj) + pi -1 , j ×tx + z ( xi , yj -1 )
参考文献
1 赵则祥 , 赵卓贤. 在圆柱度仪上测量圆柱体位置误差的 理论研究. 计量学报 ,1987,8 (4) :322 ～327
2 赵则祥 , 赵卓贤. 用均方逼近法评定圆柱面的形状误差. 计量学报 ,1989,10 (2) :138 ～143
3 赵则祥 , 李学新 , 张济洲 , 高作昆. 圆柱度仪测量圆柱体 锥度及跳动的研究. 工具技术 ,2006,40 (6) :63 ～65
1 引言
明暗恢复形状 (ShadeFromShading,SFS ) 技术的 基本原理是通过分析物体的单幅二维图像的灰度信 息 ,来获取物体表面几何形状的三维信息[1] 。该技 术是计算机视觉研究的一个重要方向 ,将其运用于 工业产品的三维测量领域 ,可为三维视觉测量提供 一个有效的解决方法 。
4 李惠芬 , 蒋向前 , 张 玉 , 张 镭. 直角坐标系下计算圆 柱度误差的一种实用算法. 仪器仪表学报 ,2002,23 (4) : 424～426
5 张易知. 虚拟仪器的设计与实现. 西安 : 西安电子科技 大学出版社 ,2002 第一作者 :赵则祥 ,教授 ,中原工学院机电学院 ,450007
( p2 + q2)
+ I0
(6)
设 I0 为背景光的灰度 ,若不加任何其它约束 , 上式为一个病态方程 ,存在无数个解 ,为求解该方
程 ,可作如下变换 :
令
F = ( u - fps) / 1+ ps2 + qs2
G = ( v - fps) / 1+ ps2 + qs2
(7)
H =1 / 1+ ps2 + qs2
郑州市中原西路 41 号
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28
工具技术
-1 ) ,表面法矢 N = ( ^zx , ^zy , -1 ) ,则可得
+ pi , j -1 ×ty ]/ 2
(14)
求得光敏面高度后 ,该点在世界坐标系下的深
度可通过透镜成像公式求得 ,即
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影关系 ,可求得目标物体的实际高度坐标为
z0
=
fz z+f
(16)
该算法的特点是 :思路简单清晰 ,不需要正则化
过程 ,也不需要关于遮挡边界或奇异点的先验信息 , 因此抗噪性较好 ;计算时间少 ,只需一次迭代 ,易于 实现 ,可提高图像的恢复效率 。
4 算法实现与结果分析
本实验对直径 22mm 半圆球的灰度图像 (图 1a) 进行了精度评价 。基于透视投影模型的重建结果见
面 (见图 9) ,并且还可以用鼠标拖动所显示的图形 从不同角度进行观察 。
CWGraph控件还可用于各测量截面轮廓的 FFT 分析 ,本文不再赘述 。
4 结语
在圆柱体直径和形位误差测量与评定程序的编 制中 ,需要设置多个参数和编制图形显示程序 ,编程 工作量较大 ,将虚拟仪器控件应用于圆柱体直径和 形位误差图形显示程序的编制 ,不仅可节省大量编 程时间 ,而且可使程序界面更加美观 ,可以直接观察 误差的分布 ,找出误差来源 ;并且可用鼠标拖动显示 的图形旋转 ,以便从不同角度观察显示的图形 。
定义 : p =
zu z
=
9ln z 9u
,q =
zv z
=
9ln z 9v
。求解
z( u,
v) 的问题可简化为先求解 ln[ z ( u , v) ], 然后再通过
z ( u , v) =e ln[ z ( u , v) ]求解得到 z ( u , v) 。
由于物体图像是基于透视小孔成像模型的 ,所以