D微分方程习题课

y


1 2
sin
2x

(1

2
)
cos
2x,
x


2
故所求解为
y

1 2
sin
2x

(1


2
)
cos
2x
,
x


2
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例2.
且满足方程
f (x) sin x 0x(x t) f (t) dt
求 f (x) .
提示:
f
x
r
2u x2

f
(r
)
x2 r2

f (r) 1
r

x2 r3

利用对称性, 原方程可化为
即
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( 欧拉方程 )
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解初值问题:
则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
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4(2)； 8
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解答提示
P327 题2 求以
为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
故特征方程为
因此微分方程为
P327 题3 求下列微分方程的通解
(6) yy y2 1 0, (7) y 2y 5y sin 2x .
(x)

sin
x

x
x
0
f
(t) dt

0xt
f
(t)
dt,
则
f
(x)

cos
x

x
0
f
(t)dt

x
f
(x)

x
f
(x)
f (x) sin x f (x)
问题化为解初值问题: f (x) f (x) sin x f (0) 0 , f (0) 1
最后求得
故通解为 y C1 cos x C2 sin x x 利用 y x0 0, y x0 0, 得
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处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2x C2 cos 2x
定解问题的解:
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次
• 常系数情形 非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x) 令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
内具有连续二阶导
数, 且
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程
d2 x d y2

(
y

sin
x)(d d
x)3 y

0
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
的解.
(03考研)
解: (1) 由反函数的导数公式知
上式两端对 x 求导, 得:
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例1. 求微分方程

y
y
x,
y 4 y 0 ,
x


2
x


2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i ,
y y x y x0 0 , y x0 0
设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
y ay2 0

y x0 0 ,
y x0 1
提示: 令
则方程变为
积分得

1 p

ax
C1,
利用
p
x0 y
x0

1
得
C1
1
再解
dy dx
1 1 ax
,
并利用
y
x0

0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解

y
x0
0,
则求解过程中得
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2

f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2

f
(x, dy) dx
令 p (x) dy dx
d p f (x, p) dx
•
d2y dx2

f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
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B
1, 2
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故
y

1 sin 2
x, 从而得①的通解:
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y

C1e x

C2ex

1 sin 2
x
由初始条件 y(0) 0, y(0) 3 , 得
2
C1 1, C2 1
故所求初值问题的解为
y ex ex 1 sin x 2
提示: (6) 令
则方程变为
ypdp p2 1 0 , dy
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(7) y 2y 5y sin 2x
特征根:
齐次方程通解: Y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x )
令非齐次方程特解为
代入方程可得
A
1 17
,
B

4 17
原方程通解为 y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x )
思考
若 (7) 中非齐次项改为
特解设法有何变化 ?
提示:
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故 y* Acos 2x B sin 2x D
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P327 题4(2) 求解
问开方时正负号如何确定?
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P327 题8 设函数
在r>0
内满足拉普拉斯方程
2u x2
源自文库

2u y2

2u z2
0,
二阶可导, 且
试将方程化为以 r 为自变
量的常微分方程 , 并求 f (r) .
提示: u f (r) x
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思考: 设 (x) ex x 0 x( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
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y
d d
x y

d2 x d y2
(
y)2

0

d2 x d y2


y d x dy
( y)2


y ( y)3
代入原微分方程得
y y sin x
①
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1ex C2ex
设①的特解为 y Acos x B sin x, 代入①得 A＝0,