《复变函数》(西安交大 第四版)第六讲

2
2
其中c 为任意实的常数
一般,若已知实部u,则
f (z) ux iuy U(z) f (z) U(z)dz ic
其中c 为任意实的常数
若已知虚部v,则
f (z) vy ivx V (z) f (z) V (z)dz c
其中c 为任意实的常数
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
2
2
f (i) 1 i 代入上式得，(1 i )i 2 ic 1 i 2
c 1 ,即 f (z) (1 i )z2 i
2
22
x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
或令x 0, y 1代入f (z) 1 i( 1 c) 1 i
也可得 c 1
2
2
又解 dv v dx v dy
例1 由下列条件求解析函数f (z) u iv
u x2 xy y2
f (i) 1 i
解 v u 2x y v u 2 y x
y x
x y
dv v dx v dy (2 y x)dx (2x y)dy x y
( x, y)
v( x, y) (2 y x)dx (2 x y)dy c (0,0)
如已知：v( x, y), 也可以求其调和函数u( x, y)
由du
u
dx
u
dy
C R方 程
v
dx
v
dy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
( x, y)
u( x, y) ( x0 , y0 ) (v ydx vxdy) c ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
n1
▪级数的前面n项的和 n sn 1 2 n i ---级数的部分和
i 1
收
敛－
级数
称为
n
收
敛
n1
▪若 部 分 和 数 列{sn }
lim
n
sn
s称为级数的和
不收敛
－级数 n称为发散
n1
例1 解
判别
3i的敛散性。
n1
2
n
n
3i
1
sn j1 2 j 3i(1 2n
),
又
▪ 若z0 D
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
),
称
级
数(1)在z0收
敛,
其
和
为s(
z0
),
lim
n
sn
(
z0
)不
存
在
，
称
级
数(1)在z0发
散
。
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s(z) f1(z) f2(z) fn(z)＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn (z) cn (z z0 )n 得
由解析的概念得：
在D内 满 足C
R方 程 :
ux
vy ,uy
v
的
x
两
个
调和函数u, v, v必为u的共轭调和函数.
现在研究反过来的问题：若u, v是任意选取的在
区域D内的两个调和函数,则u iv在D内就不
一 定 解 析.
如 尽管u x y与v x y都是调和函数 但v x y不是u x y的共轭调和函数.
定理1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“”
已
知lim
n
n
即，
0, N 0, n N , 恒有n
又n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
“”
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１,
lim
n
sn
a
ib
lim
n
n
a
,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
bn an2 bn2
由
定
理2得
收
n
敛
。
n
n
n1
k k ,n n
k 1
k 1
n1
n1
由定理3的证明过程，及不等式 an2 bn2 an bn 有 :
定理4 级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛。
n1
n1
n1
? 若
收
n
敛
n1
n1
n收敛.(例如 :
n1
(1)n i n
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
定义 若二元实变函数 ( x, y)在D内具有二阶连
续 偏 导 数 且 满 足Laplace方 程 :
u 0,
v 0
其中
2 x 2
2 y 2
u u(x, y)，v v(x, y)是D内的调和函数。
定义 设u( x, y)为D内的调和函数, 称使得u iv 在D内构成解析函数的调和函数v( x, y)为u( x, y) 的 共 轭 调 和 函 数.
上面定理说明：
D内解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 即, f (z) u( x, y) iv( x, y)在D内解析 在D内v( x, y)必为u u( x, y)的共轭调和函数.
2
2
其中c 为任意实的常数
又解 f '(z) ux ivx ux iuy
(2x y) i(x 2y)
不
2( x iy) i( x iy)
定
(2 i)(x iy)
积
2 iz
分
f (z) 2 i z2 ic
法
2
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
程可求得它的 虚部v( x, y),从而构成解析 函数
u iv.
(实部u(x, y))
设D一单连通区域, u( x, y)是区域D内的调和
函 数, 则
2u x 2
2u y 2
0
即, u 、u 在D内有连续一阶偏导数 y x
且
( u ) ( u )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
令 z r,
zn
rn
er
n0 n! n0 n!
zn 在复平面上处处绝对收敛。
n0 n!
练习： 讨 论
1
1
e
i
n的敛散性。
n1 n
讨论
cos in的敛散性。
en en cos in
2n
n0
2
用收敛必要条件做
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
x
y
由C R方 程
凑
(2 y x)dx (2x y)dy 全
2 ydx 2xdy xdx ydy
微
x2 y2
分
2dxy d( )
22
法
v( x, y) x2 2xy y2 c
2
2
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
u x
dy
v
dv(
x,
y)
(x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
v u v u 满足C R方程. x y y x
u iv在D内解析.
定理 设u( x, y)在单连通D内调和函数, 则()式所确定的v( x, y), 使得 f (z) u iv在D内解析.
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称 ( x, y)为D内的调和函数.
定理 若f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 u u( x, y)，v v( x, y)是D内的调和函数。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
由C R方程 u v u v x y y x
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
n1 n
例3
讨论
z
n
的敛散性。
n0 n!
解
（ f (z) u iv ( x y) i( x y)在z平面上 处处不解析ux 1 v y uy 1 vx )
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足C R 方程，即v必须是u的共轭调和函数.由此，
已知一个解析 函数的实部u( x, y),利用C R方 (虚部v(x, y))
cn(z z0 )n (2)
n0
当z0 0 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令z z0 (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cn k k0
研 究 级 数(3)并 不 失 一 般 性 。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
⑴ 若 级 数 cnzn在z z0 ( 0)收 敛, 则 对 满 足 n0
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2, fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1) n1
---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和 n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z) k 1 ---级数的部分和
y
(x,y) 0x x
0x xdx 0y(2x y)dy c
x2
y2
2xy c
2
2
曲线积分法
其中c 为任意实的常数
故 f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
2
2
( x iy)2 i ( x iy)2 ic (1 1 i)z2 ic
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义 设复数列：{n }(n 1,2, ), 其中n＝an ibn ,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒有n ，
那么称为复数列{n }当n 时的极限，
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
(x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x, y), 求其共轭调和函数v( x, y)
由dv
v x
dx
v y
C R方 程
dy
uydx
uxdy
然后两端积分得，v
( x, y)
( x0 , y0 ) (uydx uxdy) c
两个实数项级数的收敛问题。
性质
级
数
n1
收敛的
n
必
要条件:
lim
n
n
0.
推论
如果
lim
n
n
0, 则
发散
n
n1
定理3
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n .
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由n比1 较 判 定n1法
an an2 bn2 ,
an和 bn均 绝 对 收 敛 ，
n1
n1
2
2
其中c 为任意实的常数
又解 v 2x y v 2xy y2 ( x)
y
2
v u
v 2 y '( x)
x y
2y x
偏
x
积
'(x) x
(x) x2 c
2
分
法
y2 x2 v( x, y) 2xy c
22
f (z) ( x2 y2 xy) i( 1 x2 2xy 1 y2 c)
)
定义
若
n
收
敛
，
则
称
为
n
绝
对
收
敛
；
n1
n1
若
n
发
散
，
而
收
n
敛
，
则
称
为
n
n1
n1
n1
条 件 收 敛.
例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
(1)
1 (1
i)
(8i)n (2)
n1 n
n
n0 n!
(1)n (3) (
n1 n
i 2n
)
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
z z0 的z, 级 数 必 绝 对 收 敛.
⑵若级数在z z0发散,则对满足z z0 的z, 级数必发散.
证明
(1)
n
0
cn
z0n收敛,
则
lim
n
cn
z0n
已
知 lim n
an
0, N 0,
n
a,
lim
n
bn
N ,恒有
b an
即，
a
2
，bn
b
2
又n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } {an ibn }(n 1,2, , ),
n 1 2 n ---无穷级数
从而有
2u x 2
2v yx
2u y 2
2v xy
由解析函数高阶导数定理 u( x, y),v( x, y)
具有任意阶的连续导数. 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v 2v x2 y2 0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: