宇宙学 (北京大学 俞允强教授)
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1. 物质 M (引力源)粗分两大类 实物 m (非相对论气体)：Pm << ρm 辐射 r (极相对论气体) ；pr = ρr/3 ρM = ρm + ρr
2. 近期宇宙是实物为主 ρm >> ρr
在这时期，动力学方程化为
ρm R3 = const.
3. 习惯把 ρλ 叫真空能． 若它也算物质，则总密度
结果
Ωm0 + Ωλ = 1.02 ± 0.02 Ωm0 = 0.29 ± 0.07 Ωλ = 0.71 ± 0.07 H0 = 72 ± 5 km/s/Mpc
七．宇宙年龄问题
把 R = 0 (即ρ→∞)定义为时间零点 记t=0
今天的宇宙时 t0 = 宇宙年龄 解出
R = R (t; H0, Ωm0, Ωλ ) 1 = R (t0; H0, Ωm0, Ωλ )
球状星团：很古老，其年龄可测
τ0 = ( 15 ± 3) Gyr.
• 理论检验：(1998年前)
λ= 0 model H0 = 50 – 80 km/s/Mpc Ωm0 = 0.2 - 1.0
理论年龄，to = 8 – 17 Gyr 注意点：
一. 理论与实测相洽（元矛盾）
二. Ωm0 = 1, to = 6.5 h-1 太小（冲击 inflation)
Ωm02
G对Z作展开，
H0 dL = Z +
1 - q0 2
Z2+……
其中
q0 ≡ -
.R.R
R. 2
= Ωm0
2
- Ωλ
是减速因子
理论面对实测：
1. Z ≤ 0.2, dL与Z有很好的正比关系 2. 定 H0 值的困难 3. SNIa 定 H0 4. Z > 0.2 观测到对线性的偏离 5. 1998年 Perlmutter 的结果 6. 微波背景各向异性观测的支持
• 牛顿引力完全不适用的领域： 黑洞，引力波，宇宙． 现在都已有不少支持性证据， 但都尚没有判定性证据．
结论：
1. 广义相对论作为宇宙学的理论基础， 现在已没什么可使人怀疑的理由．
2. 但是也还没有不容怀疑它的强烈证 据．
三．宇宙常数的由来
Einstein 意识到，引力场方程一般形 式应为 Gμν – λ gμν = - 8 π G T μν λ：一个须由实验测定的常数
人们因此称λ为宇宙常数．
其大小须由宇宙学观测来定．
近30年宇宙学的主流做法：
1. 沿用 λ = 0 的广义相对论． 2.当发现理论与事实不符，
把它看称 λ ≠ 0 的迹象． 3.若引用 λ ≠ 0 后依然不符，
须考虑是否广义相对论错了．
因自1999年起已有了 λ = 0 的 可靠证据，
下面将用 λ ≠ 0 的非标准广义 相对论来做宇宙学．
r
t0 收到的光来自 t1 时的光源. 膨胀使源在退行，使 T0 > T1.
红移定义： Z ≡ ν1 - ν0
ν0
易证：
(Z › 1 为红移)
1 + Z = ν1 ν0 Z
= T0 T1 t1
= R (t0) R(t1) r
何谓距离？
实测的叫光度距离(记dL),定义来自
L
B = 4πd 2 L
若时空为Minkowskian,它是真的距离．
ρ = ρM + ρλ = ρm + ρλ 因 ρλ>ρM，也可叫真空为主。
五 ．三个输入参量
动力学方程组的解依赖三个参量： k, ρλ, ρm0.
它们只能来自实测，即 R = R (t; k, ρλ, ρm0)
为实用方便，引用
.
H0
=
(Leabharlann Baidu
R R
)
ρc ≡
3H20
8πG
定义ΩM0 ≡
ρm0 ρC
Ωλ ≡
宇宙时空为Riemannian,这dL不是距离． 但它是可观测量．
不难导出：
dL = r (1 + z) 已指出：
r 被 z 决定． 于是理论上可导出
z ▬ dL 关系． 它能与实测比较．
(R0 ≡ 1)
关系式形如 H0 DL = G (Z; Ωm0, Ωλ )
采用 λ= 0 的模型：
H0 DL = G (Z; Ωm0, 0 ) = 2Ωm0Z + (2Ωm0 - 4) (√Ωm0Z + 1 - 1)
Einstein 认为应取 λ = 0. 引力场方程不再含未定因素． 就是标准的广义相对论．
• 从牛顿近似看：
▽2φ = 4 π G (ρ + 2 ρλ)
ρλ
def.
λ
8πG
• 若尺度R内牛顿引力符合事实，则: ρλ << R 内平均密度．
• 事实是：R越大， R内平均密度越小．
所以，如λ ≠ 0. 只在研究宇宙尺度时 它才会有可观测效应．
靠的测量值．最近WMAP作出了重要贡 献．它使动力学走向了成熟． * 动力学是研究宇宙演化的基础.
－完－ 谢谢
这样，宇宙动力学方程中将含 一个待定参量 λ．
四.宇宙动力学
接受上述基本假设。 宇宙动力学理论框架全定了
• 模型宇宙的时空度规 它必能写成：
[ ] Ds2 = -dt2 + R2(t)
dr2
+ r2dθ2 + r2sin2θdφ2
1 - kr2
注意几点：
1. r. θ. Φ. 是随动坐标。
2. k = 常数，三维子空间的曲率因子
• 理论检验： (new data)
采用： H0 = 70 Ωm0 = 0.3 Ωλ = 0.7
理论年龄 to = 14 Gyr 它兼顾了：
1. to 的实测 2. Inflation 的预言
3. 参量的新数据
简单的小结
＊当宇宙学原理得到证实．宇宙动力学理 论框架是确定而可信的．
＊动力学任何结果还依赖三个观测参量． ＊长期来理论的不确定性来自参量没有可
•观测表明：
宇宙表观上是以星系为“分子”的 气体．星系的空间分布不是无序 的．
80年代才有巡天资料统计，表明： 偏离均匀程度随 R 增大而减小． （符合有长程力气体均匀性的定义）
•微波背景各向同性 是宇宙学原理最强 烈最直接的证据．
总之 今天已有有力证据表明， 以宇宙学原理为基础的模型是
真实宇宙的好的零级近似．
ρλ ρC
Hubble常数 临界密度
由动力学方程：
于是用
H0,
k
HΩ02m0,
= Ωm0 + Ωλ Ωλ 代 k, ρλ,
–1 ρm0即：
R = R (t; H0, Ωm0, Ωλ )
须先测定 H0, Ωm0, Ωλ
才能有确切的理论结果。
1998年前
H0 = 50 – 80 km/s/Mpc Ωm0 ≥ 0.2 Ωλ ＜ 0.9 近年重大进展：
3. R = R(t)，膨胀宇宙的尺度因子 可取今天 R0 = 1
•动力学方程
把宇宙学原理用于实物
[ ] Tμ = ν
-ρm Pm Pm
Pm
引力场方程具体化为
.. R=-
4πG
(ρ + 3 P) R
3
. R2 + k =
8πG
ρR2
3
三个方程中只有两个独立， 它们构成宇宙动力学的理论框架。
注意若干细节
• gμν 满足的场方程是
Gμν = - 8 π G Tμν
Gμν 是由
Δ gμν Δx2
.
Δ2 gμν Δxα Δxβ
确定的二阶张量．
组成的
牛顿近似下： 2φ= - 1 - g00 , 方程还原为： ▽2φ = 4 π Gρ
广义相对论的可信度
• 在后牛顿近似下，理论与事实的相符 已有精确的证据．
H0 = 70 km/s/Mpc Ωm0 = 0.3 Ωλ = 0.7
使确切的理论预言有了可能．
六．红移－距离关系
星系光谱红移是 doppler红移吗？ 是！ 它是源的运动引起的． 不是！Pre-GR 的 doppler 公式不适
用． 一般叫引力红移．
图景 t0
t0+ T0
t0 +T 1 t0
0
宇宙学
俞允强
第一讲 宇宙膨胀的动力学
一.宇宙学原理
模型：真实客体的简化 • 次要的复杂性须先抛弃
———否则无法系统研究 • 主要的特征须抓住
———否则失去研究价值
模型宇宙（真实宇宙的简化）: 物质是充满全空间的，永远均
匀的，各向同性的。
———宇宙学原理
是否把真实宇宙的主要 特征抓住了？
• 它最初是Einstein的工作假设． 长时间为别人所沿用．
即 t0 取决于 H0, Ωm0, Ωλ
具体化：
H0 t0 = F (Ωm0, Ωλ)
∫= 1
dx
0 √1 – Ωm0 (1 – 1/x) + Ωλ(x2 - 1)
注意：
H0 增加 Ωm0 增加 Ωλ 增加
t0 减少 t0 减少 t0 增加
• 如何测宇宙年龄
τ0 t
0 t1
t0
找古老天体 τ0 = t0 - t1 ≈ t0
二．宇宙服从广义相对论
引力是决定宇宙动力学的唯一 作用力．这里的引力应由广 义相对论描述． ———又一基本假设
什么是广义相对论
• 它是运动物体产生引力的一般理论． 牛顿引力定律是它的静场、弱场近似．
• 引力导致时空的几何弯曲． 时空度规 gμν(ds2 = gμν dxμ dxν) 是牛顿 引力势φ的推广．
2. 近期宇宙是实物为主 ρm >> ρr
在这时期，动力学方程化为
ρm R3 = const.
3. 习惯把 ρλ 叫真空能． 若它也算物质，则总密度
结果
Ωm0 + Ωλ = 1.02 ± 0.02 Ωm0 = 0.29 ± 0.07 Ωλ = 0.71 ± 0.07 H0 = 72 ± 5 km/s/Mpc
七．宇宙年龄问题
把 R = 0 (即ρ→∞)定义为时间零点 记t=0
今天的宇宙时 t0 = 宇宙年龄 解出
R = R (t; H0, Ωm0, Ωλ ) 1 = R (t0; H0, Ωm0, Ωλ )
球状星团：很古老，其年龄可测
τ0 = ( 15 ± 3) Gyr.
• 理论检验：(1998年前)
λ= 0 model H0 = 50 – 80 km/s/Mpc Ωm0 = 0.2 - 1.0
理论年龄，to = 8 – 17 Gyr 注意点：
一. 理论与实测相洽（元矛盾）
二. Ωm0 = 1, to = 6.5 h-1 太小（冲击 inflation)
Ωm02
G对Z作展开，
H0 dL = Z +
1 - q0 2
Z2+……
其中
q0 ≡ -
.R.R
R. 2
= Ωm0
2
- Ωλ
是减速因子
理论面对实测：
1. Z ≤ 0.2, dL与Z有很好的正比关系 2. 定 H0 值的困难 3. SNIa 定 H0 4. Z > 0.2 观测到对线性的偏离 5. 1998年 Perlmutter 的结果 6. 微波背景各向异性观测的支持
• 牛顿引力完全不适用的领域： 黑洞，引力波，宇宙． 现在都已有不少支持性证据， 但都尚没有判定性证据．
结论：
1. 广义相对论作为宇宙学的理论基础， 现在已没什么可使人怀疑的理由．
2. 但是也还没有不容怀疑它的强烈证 据．
三．宇宙常数的由来
Einstein 意识到，引力场方程一般形 式应为 Gμν – λ gμν = - 8 π G T μν λ：一个须由实验测定的常数
人们因此称λ为宇宙常数．
其大小须由宇宙学观测来定．
近30年宇宙学的主流做法：
1. 沿用 λ = 0 的广义相对论． 2.当发现理论与事实不符，
把它看称 λ ≠ 0 的迹象． 3.若引用 λ ≠ 0 后依然不符，
须考虑是否广义相对论错了．
因自1999年起已有了 λ = 0 的 可靠证据，
下面将用 λ ≠ 0 的非标准广义 相对论来做宇宙学．
r
t0 收到的光来自 t1 时的光源. 膨胀使源在退行，使 T0 > T1.
红移定义： Z ≡ ν1 - ν0
ν0
易证：
(Z › 1 为红移)
1 + Z = ν1 ν0 Z
= T0 T1 t1
= R (t0) R(t1) r
何谓距离？
实测的叫光度距离(记dL),定义来自
L
B = 4πd 2 L
若时空为Minkowskian,它是真的距离．
ρ = ρM + ρλ = ρm + ρλ 因 ρλ>ρM，也可叫真空为主。
五 ．三个输入参量
动力学方程组的解依赖三个参量： k, ρλ, ρm0.
它们只能来自实测，即 R = R (t; k, ρλ, ρm0)
为实用方便，引用
.
H0
=
(Leabharlann Baidu
R R
)
ρc ≡
3H20
8πG
定义ΩM0 ≡
ρm0 ρC
Ωλ ≡
宇宙时空为Riemannian,这dL不是距离． 但它是可观测量．
不难导出：
dL = r (1 + z) 已指出：
r 被 z 决定． 于是理论上可导出
z ▬ dL 关系． 它能与实测比较．
(R0 ≡ 1)
关系式形如 H0 DL = G (Z; Ωm0, Ωλ )
采用 λ= 0 的模型：
H0 DL = G (Z; Ωm0, 0 ) = 2Ωm0Z + (2Ωm0 - 4) (√Ωm0Z + 1 - 1)
Einstein 认为应取 λ = 0. 引力场方程不再含未定因素． 就是标准的广义相对论．
• 从牛顿近似看：
▽2φ = 4 π G (ρ + 2 ρλ)
ρλ
def.
λ
8πG
• 若尺度R内牛顿引力符合事实，则: ρλ << R 内平均密度．
• 事实是：R越大， R内平均密度越小．
所以，如λ ≠ 0. 只在研究宇宙尺度时 它才会有可观测效应．
靠的测量值．最近WMAP作出了重要贡 献．它使动力学走向了成熟． * 动力学是研究宇宙演化的基础.
－完－ 谢谢
这样，宇宙动力学方程中将含 一个待定参量 λ．
四.宇宙动力学
接受上述基本假设。 宇宙动力学理论框架全定了
• 模型宇宙的时空度规 它必能写成：
[ ] Ds2 = -dt2 + R2(t)
dr2
+ r2dθ2 + r2sin2θdφ2
1 - kr2
注意几点：
1. r. θ. Φ. 是随动坐标。
2. k = 常数，三维子空间的曲率因子
• 理论检验： (new data)
采用： H0 = 70 Ωm0 = 0.3 Ωλ = 0.7
理论年龄 to = 14 Gyr 它兼顾了：
1. to 的实测 2. Inflation 的预言
3. 参量的新数据
简单的小结
＊当宇宙学原理得到证实．宇宙动力学理 论框架是确定而可信的．
＊动力学任何结果还依赖三个观测参量． ＊长期来理论的不确定性来自参量没有可
•观测表明：
宇宙表观上是以星系为“分子”的 气体．星系的空间分布不是无序 的．
80年代才有巡天资料统计，表明： 偏离均匀程度随 R 增大而减小． （符合有长程力气体均匀性的定义）
•微波背景各向同性 是宇宙学原理最强 烈最直接的证据．
总之 今天已有有力证据表明， 以宇宙学原理为基础的模型是
真实宇宙的好的零级近似．
ρλ ρC
Hubble常数 临界密度
由动力学方程：
于是用
H0,
k
HΩ02m0,
= Ωm0 + Ωλ Ωλ 代 k, ρλ,
–1 ρm0即：
R = R (t; H0, Ωm0, Ωλ )
须先测定 H0, Ωm0, Ωλ
才能有确切的理论结果。
1998年前
H0 = 50 – 80 km/s/Mpc Ωm0 ≥ 0.2 Ωλ ＜ 0.9 近年重大进展：
3. R = R(t)，膨胀宇宙的尺度因子 可取今天 R0 = 1
•动力学方程
把宇宙学原理用于实物
[ ] Tμ = ν
-ρm Pm Pm
Pm
引力场方程具体化为
.. R=-
4πG
(ρ + 3 P) R
3
. R2 + k =
8πG
ρR2
3
三个方程中只有两个独立， 它们构成宇宙动力学的理论框架。
注意若干细节
• gμν 满足的场方程是
Gμν = - 8 π G Tμν
Gμν 是由
Δ gμν Δx2
.
Δ2 gμν Δxα Δxβ
确定的二阶张量．
组成的
牛顿近似下： 2φ= - 1 - g00 , 方程还原为： ▽2φ = 4 π Gρ
广义相对论的可信度
• 在后牛顿近似下，理论与事实的相符 已有精确的证据．
H0 = 70 km/s/Mpc Ωm0 = 0.3 Ωλ = 0.7
使确切的理论预言有了可能．
六．红移－距离关系
星系光谱红移是 doppler红移吗？ 是！ 它是源的运动引起的． 不是！Pre-GR 的 doppler 公式不适
用． 一般叫引力红移．
图景 t0
t0+ T0
t0 +T 1 t0
0
宇宙学
俞允强
第一讲 宇宙膨胀的动力学
一.宇宙学原理
模型：真实客体的简化 • 次要的复杂性须先抛弃
———否则无法系统研究 • 主要的特征须抓住
———否则失去研究价值
模型宇宙（真实宇宙的简化）: 物质是充满全空间的，永远均
匀的，各向同性的。
———宇宙学原理
是否把真实宇宙的主要 特征抓住了？
• 它最初是Einstein的工作假设． 长时间为别人所沿用．
即 t0 取决于 H0, Ωm0, Ωλ
具体化：
H0 t0 = F (Ωm0, Ωλ)
∫= 1
dx
0 √1 – Ωm0 (1 – 1/x) + Ωλ(x2 - 1)
注意：
H0 增加 Ωm0 增加 Ωλ 增加
t0 减少 t0 减少 t0 增加
• 如何测宇宙年龄
τ0 t
0 t1
t0
找古老天体 τ0 = t0 - t1 ≈ t0
二．宇宙服从广义相对论
引力是决定宇宙动力学的唯一 作用力．这里的引力应由广 义相对论描述． ———又一基本假设
什么是广义相对论
• 它是运动物体产生引力的一般理论． 牛顿引力定律是它的静场、弱场近似．
• 引力导致时空的几何弯曲． 时空度规 gμν(ds2 = gμν dxμ dxν) 是牛顿 引力势φ的推广．