第03章 条件概率与事件独立
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 条件概率与事件独立
第一节 条件概率
一、问题提出
问题：设A ={甲厂产品}，A ={乙厂产品}，B ={合格品}，
%70)(=A P ，甲厂合格率%951=p ,求)(AB P . 解：665.095.07.0)()
()()()()()()(1=⨯===
=p A P A m AB m S m A m S m AB m AB P
其中
)
()()
(/)()(/)()
()(A P AB P S m A m S m AB m A m AB m =
=
表示在甲厂中考察的合格率.
二、条件概率
1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，F B A ∈,，0)(>A P .称比值)
()(A P AB P
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，记作)|(A B P .即
)
()()|(A P AB P A B P =
注：①)(AB P 与)|(A B P 的区别；
② )|(A B P 一般常用在“在…时,在…下”的情况中； 而)(AB P 则用在A 、B 同时发生的情况中。
2、乘法公式
)|()()(A B P A P AB P =, [0)(>A P ]
3、推广的乘法公式
)|()|()()(AB C P A B P A P ABC P =;[0)(>AB P ] )|()|()()(1112121-=n n n A A A P A A P A P A A A P .
[0)(121>-n A A A P ]
例1 五个开关有一个可开灯，试开三次，A ＝{灯亮},求)(A P .
解：设i A ＝{第i 次试开灯亮},3,2,1=i .那么321211A A A A A A A ++=,则
)|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++=
5
33
14
35
44
15
45
1=
⨯⨯+⨯+=
.
三、性质
令)|()(A B P B Q =,F B ∈，显然R →F :Q ,F A ∈,0)(>A P . (1) F B ∈∀,0)|()(≥=A B P B Q ;
(2)1)|()(==A S P S Q ; 证明：1)
()()
()()|()(==
=
=A P A P A P AS P A S P S Q .
(3)F ∈∀i B 两两互斥,N ∈i ,)|()|(1
1
A B P A B P i i i i ∞=∞=∑=∑.即
)()(1
1
i i i i B Q B Q ∞=∞=∑=∑.
证明：)|()
()()
()()()
()|(1
1
1
1
1
A B P A P AB P A P AB P A P AB P A B P i i i i i i i i i i ∞
=∞
=∞
=∞
=∞
=∑=∑
=∑=
∑=
∑.
由(1)(2)(3)可知，),,(Q S F 也是一个概率空间. 这样概率具有的性质，条件概率同样具有.如
(4) F ∈∀21,B B ,若21B B ⊂，则
)|()|()|(1212A B P A B P A B B P -=-.
(5) F ∈∀B )|(1)|(A B P A B P -=.
(6) F ∈∀21,B B ，则
)|()|()|()|(212121A B B P A B P A B P A B B P -+= .
例2 设4
1)(=
A P ，31)|(=
A B P ，2
1)|(=
B A P ，求)(B A P .
解：12
1314
1)|()()(=⨯==A B P A P AB P ,6
12
/112/1)|()()(=
=
=
B A P AB P B P ,
3
112
16141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P .
例3 设3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)|(B A B P . 解：2.05.07.0)()()(=-=-=B A P A P AB P
)
()]([)|(B A P B A B P B A B P =
4
15
.06.07.02.0)
()()()
(=-+=
-+=
B A P B P A P AB P .
例4 设3正2次共5个产品，不放回依次取两个，设=A {两正},B ={两次}，C ={一正一次}，D ={第二次取次品}.求各事件的概率. 解：设i A ＝{第i 次取正品},2,1=i .那么
1034253)|()()()(12121=⨯=
==A A P A P A A P A P , 10
14
152)|()()()(12121=⨯=
==A A P A P A A P B P ,
)|()()|()()()()(1211212121A A P A P A A P A P A A P A A P C P +=+=
5
34
35
24
25
3=
⨯
+
⨯
=
.
)|()()|()()()()(1211212121A A P A P A A P A P A A P A A P D P +=+=
5
34
35
24
25
3=
⨯
+
⨯
=
.
第二节 全概率公式与贝叶斯公式