第03章 条件概率与事件独立

第三章 条件概率与事件独立
第一节 条件概率
一、问题提出
问题：设A ={甲厂产品}，A ={乙厂产品}，B ={合格品}，
%70)(=A P ，甲厂合格率%951=p ,求)(AB P . 解：665.095.07.0)()
()()()()()()(1=⨯===
=p A P A m AB m S m A m S m AB m AB P
其中
)
()()
(/)()(/)()
()(A P AB P S m A m S m AB m A m AB m =
=
表示在甲厂中考察的合格率.
二、条件概率
1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，F B A ∈,，0)(>A P .称比值)
()(A P AB P
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，记作)|(A B P .即
)
()()|(A P AB P A B P =
注：①)(AB P 与)|(A B P 的区别；
② )|(A B P 一般常用在“在…时,在…下”的情况中； 而)(AB P 则用在A 、B 同时发生的情况中。

2、乘法公式
)|()()(A B P A P AB P =, [0)(>A P ]
3、推广的乘法公式
)|()|()()(AB C P A B P A P ABC P =;[0)(>AB P ] )|()|()()(1112121-=n n n A A A P A A P A P A A A P .
[0)(121>-n A A A P ]
例1 五个开关有一个可开灯，试开三次，A ＝{灯亮},求)(A P .
解：设i A ＝{第i 次试开灯亮},3,2,1=i .那么321211A A A A A A A ++=,则
)|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++=
5
33
14
35
44
15
45
1=
⨯⨯+⨯+=
.
三、性质
令)|()(A B P B Q =,F B ∈，显然R →F :Q ,F A ∈,0)(>A P . (1) F B ∈∀,0)|()(≥=A B P B Q ;
(2)1)|()(==A S P S Q ; 证明：1)
()()
()()|()(==
=
=A P A P A P AS P A S P S Q .
(3)F ∈∀i B 两两互斥,N ∈i ,)|()|(1
1
A B P A B P i i i i ∞=∞=∑=∑.即
)()(1
1
i i i i B Q B Q ∞=∞=∑=∑.
证明：)|()
()()
()()()
()|(1
1
1
1
1
A B P A P AB P A P AB P A P AB P A B P i i i i i i i i i i ∞
=∞
=∞
=∞
=∞
=∑=∑
=∑=
∑=
∑.
由(1)(2)(3)可知，),,(Q S F 也是一个概率空间. 这样概率具有的性质，条件概率同样具有.如
(4) F ∈∀21,B B ,若21B B ⊂，则
)|()|()|(1212A B P A B P A B B P -=-.
(5) F ∈∀B )|(1)|(A B P A B P -=.
(6) F ∈∀21,B B ，则
)|()|()|()|(212121A B B P A B P A B P A B B P -+= .
例2 设4
1)(=
A P ，31)|(=
A B P ，2
1)|(=
B A P ，求)(B A P .
解：12
1314
1)|()()(=⨯==A B P A P AB P ,6
12
/112/1)|()()(=
=
=
B A P AB P B P ,
3
112
16141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P .
例3 设3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)|(B A B P . 解：2.05.07.0)()()(=-=-=B A P A P AB P
)
()]([)|(B A P B A B P B A B P =
4
15
.06.07.02.0)
()()()
(=-+=
-+=
B A P B P A P AB P .
例4 设3正2次共5个产品，不放回依次取两个，设=A {两正},B ={两次}，C ={一正一次}，D ={第二次取次品}.求各事件的概率. 解：设i A ＝{第i 次取正品},2,1=i .那么
1034253)|()()()(12121=⨯=
==A A P A P A A P A P , 10
14
152)|()()()(12121=⨯=
==A A P A P A A P B P ,
)|()()|()()()()(1211212121A A P A P A A P A P A A P A A P C P +=+=
5
34
35
24
25
3=
⨯
+
⨯
=
.
)|()()|()()()()(1211212121A A P A P A A P A P A A P A A P D P +=+=
5
34
35
24
25
3=
⨯
+
⨯
=
.
第二节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
设),,(P S F 为一概率空间，F ∈i A 为完备事件组，且0)(>i A P ， 则: F ∈∀B ，有∑
=
i
i i A B P A P B P )|()()(.
证明：因S A i
i =∑,有∑
=
=i
i B A BS B ,于是
∑
∑
=
=
i
i i i
i A B P A P B A P B P )|()()()(.
二、贝叶斯公式
设),,(P S F 为一概率空间，F ∈i A 为完备事件组，F ∈B ,且0)(>i A P ，
0)(>B P ,则：
∑
=
k
k k i i i A B P A P A B P A P B A P )
|()()
|()()|(.
注：(1)F ∈i A 常当作可导致事件B 发生的“原因”；
(2))(i A P ──作为预先知道的先验概率；
(3))|(B A P i ──用于在B 发生时判断各种原因的可能性的大小，称为后验概率。

证明：∑
=
=
k
k k i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P )
|()()
|()()
()()|(.
贝叶斯公式在实际中有着广泛应用。

例1 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，每个车间的产量分别占总产量的25％，35％和40％，而各车间的次品率分别为5％，4％和2％，试求该厂产品的次品率。

解：设i A 依次为甲、乙、丙三个车间的产品,B 为次品,)(i A P 依次为25％，35％和40％, )|(i A B P 依次为5％，4％和2％，那么
%45.302.040.004.035.005.025.0)|()()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑
=i i i A B P A P B P .
例2 例1中如果进一步问:在抽到次品后,此次品是甲车间生产的概率是多少? 解：362.00345
.005.025.0)
()
|()()
()()|(1111=⨯=
=
=
B P A B P A P B P B A P B A P .
例3 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

解：设=i A {第二次取i 个新球}，.3,2,1,0=i =B {第三次取到3个新球},
3
12
339)(C C C A P i
i i -=
，3
120
339)|(C C C A B P i
i i +-=
，.3,2,1,0=i
∑
∑
=+--===
=
3
1
312
33
9312
3393
1
146.0)|()()(i i
i i i
i i i C C C C C C A B P A P B P .
例4 用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。

A 表示“被检验者患有肝癌”，B 表示“判断被检验者患有肝癌”，且95.0)|(=A B P ，90.0)|(=A B P ，0004.0)(=A P ，试求)|(B A P ，即若有一人被判断患有肝癌，求此入真正患有肝癌的概率。

若
5.0)(=A P 呢？
解：①)
|()()|()()
|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=
.
0038.010.09996.095.00004.095
.00004.0=⨯+⨯⨯=
② 若5.0)(=A P ,则
90.010
.05.095.05.095.05.0)
|()()|()()
|()()|(=⨯+⨯⨯=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P .
例5 在医疗诊断中，为了诊断病人究竞患了疾病1A ,2A ,… 中的哪一种，对病人进行观察和检查，确定了某个指标B(譬如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等等)，想用这类指标来帮助诊断。

用贝叶斯公式来可以计算有关概率。

首先必须确定先验概率)(i A P ，这实际上是确定人患各种疾病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；
其次是要确定)|(i A B P ，这里主要靠医学知识。

有了它们，利用贝叶斯公式可算出)|(B A P i 。

显然，对应于较大)|(B A P i 的“病因”i A 应多加考虑。

在实际工作中，检查的指标B 一般有多个，综合所有的先验概率，当然会对诊断有很大帮助。

在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法相当有价值。

第三节 事件的相互独立性
一、两个事件的相互独立性
1、设),,(P S F 为一概率空间，F ∈B A ,，若)()()(B P A P AB P =，则称B A ,相互独立。

显然,B A ,相互独立⇒A B ,相互独立。

2、性质
(1)F ∈∀A ，S 、φ与A 独立.
(2)F ∈B A ,,0)(>A P ,则B A ,独立⇔)|()(A B P B P =. 证明：因0)(>A P ，B A ,独立
⇔)()()(B P A P AB P = ⇔)|()(A B P B P =
)|()()(A B P A P AB P =
(3)下列各组事件的独立性是等价的：
①B A ,；②B A ,；③B A ,；④B A ,.
证明：①⇒② )()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=
)()()](1)[(B P A P B P A P =-=；本证明中以下用B A ,简单表示B A ,独立. ②⇒④ B A ,⇒A B ,⇒A B ,⇒B A ,； ④⇒③B A ,⇒B A ,⇒B A ,；
③⇒① B A ,⇒A B ,⇒A B ,⇒A B ,⇒B A ,
例1 设F ∈B A ,,0)(>A P ,0)(>A P ,B A ,独立,则 )|()|()(A B P A B P B P ==.
证明：因B A ,独立，则B A ,也独立，又0)(>A P ,0)(>A P ,则 )|()|()(A B P A B P B P ==.
例2 设F ∈B A ,,)|()|(A B P A B P =,则B A ,独立. 证明：显然0)(>A P ,0)(>A P ,那么 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += )|()|()]()([A B P A B P A P A P =+=, 所以B A ,独立.
二、多个事件的相互独立性
1、定义：),,(P S F 为一概率空间，F ∈n A A A ,,,21 ，若子事件组
∀
s
k k k A A A ,,,21 ,恒有 )()()()(2
1
2
1
s
s
k k k k k k A P A P A P A A A P =成立)2(n s ≤≤，
则 称事件组n A A A ,,,21 相互独立。

显然, n A A A ,,,21 独立⇔s
k k k A A A ,,,2
1
独立.
例如: F ∈C B A ,,独立,即要求有
① )()()()(C P B P A P ABC P =, ② )()()(B P A P AB P =, ③ )()()(C P B P BC P =, ④ )()()(A P C P CA P =.
注意: 由①一般推不出②③④. 例如: 令}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,
}4,3,2,1{=A ,}7,6,5,1{=B ,}8,7,4,1{=C ，那么
)()()(2
121218
1}1{)(C P B P A P P ABC P =⨯⨯===,
但 )()(2
12
18
1}1{)(B P A P P AB P ⨯
≠
==.
2、性质
设F ∈n A A A ,,,21 相互独立.
(1) ,S n A A A ,,,21 独立；,φn A A A ,,,21 独立.
(2) 若0)(121>-n A A A P ,则)|()(121-=n n n A A A A P A P .
(3) 将n A A A ,,,21 中任意的s
k k k A A A ,,,2
1
换成s
k k k A A A ,,,21 后还独立.
(4)将n A A A ,,,21 分成r 组，每组经过事件运算后为一事件
),,2,1(r i B i =,则r B B B ,,,21 相互独立.
例3 设F ∈D C B A ,,,独立，则AB 与CD 独立、B A 与D C -独立. 证明：① )()()()()()()])([(CD P AB P D P C P B P A P CD AB P ==,
所以AB 与CD 独立.
② 因D C B A ,,,独立⇒D C B A ,,,独立⇒D C B A , 独立
⇒D C B A , 独立⇒D C B A -, 独立.
(5)[]∏=--
=n
i i
n A P A A A P 1
21)(11)( .
证明：[]∏∏
====--
=-
=-=n
i i
n
i i n
i i n
i i A P A P A P A P 1
1
1
1
)(11)(1)(1)( .
（}{i A 独立）
例4 设一门高射炮击中飞机的概率为0.6，欲以99％的把握击中飞机，问至少需配置几门炮?
解：[]n
n
i i n
i i A P A P )6.01(1)(11)(99.01
1
--=--==∏== ⇒026.5≥n ，
取6=n ．
例5 设一人管理3台机床，i A ={第i 台机床无故障},3,2,1=i 独立，)(i A P 依次为0.9,0.8,85.B ={有机床有故障}，C ={有机床无人管而停工}，求:
(1)388.085.08.09.01)(1)()(1
1
=⨯⨯-=-==∏==n
i i n
i i A P A P B P ．
(2))
()()()()(133221133221A A P A A P A A P A A A A A A P C P ++==
059.0)(2321=-A A A P ．
例6 如图,i A ={第i 个开关闭合}独立，
p A P i =)(,5,,2,1 =i ，B ={LR 线路通},
求)(B P .
解:① )})({()|(52413A A A A P A B P = 2
415241)]([)()(A A P A A P A A P ==
2
2
2
4141)2()]()()([p p A A P A P A P -=-+= ②)()|(54213A A A A P A B P =
4
2
542154212)()()(p p A A A A P A A P A A P -=-+=.
③5
43233332522)|()()|()()(p p p p A B P A P A B P A P B P +-+=+=
说明：(1)与(2)如果都有n 2个开关,那么:
并串联电路(1)的概率为n
p p n P )2()(2
1-=， 串并联电路(2)的概率为n n
p
p n P 222)(-=.
由于
0)
2(2)
2(2)
()(2
212→--=
--=
n
n n
n n
p p
p p p
p n P n P ,有,n 充分大时, )()(12n P n P <.
可见：并串联电路 比 串并联电路 更可靠.
事实上：)()(12n P n P <,1>n .
证明：用数学归纳法证明：n
n
p p n P n P +-<⇔<)2(2)()(12,1>n . 2=n 时, 2)1(22244)2(22
2
2
>-+=+-=+-p p p p p 成立, 1
1
)
2(2--+-<n n p
p ⇒)2()2()2(21
p p
p p n n -+-<--⇒
222)2(21
-+-+-<-p p p
p n n n ⇒n
n p p +-<)2(2,
因此结论对n 成立, 故)()(12n P n P <,1>n . 其中要证明n
n
n p p p p
≤-+--2221
即 n
n p p p
+≤+-11
.
1=n 时显然.假设1-n 成立,
1
21--+≤+n n p p p
⇒n
n p p p
p
+≤+-2
1
⇒n
n
n
n p p p p p p p p +≤--+≤-+-+≤+-1)1(11212
2
1
,
因此结论对n 成立. 即n
n p p p +≤+-11
.
例7 甲乙丙三人同时射击飞机，设i C ={第i 人击中飞机}独立，i A ={飞机被i 人
击中},3,2,1=i ，
)(i C P 依次为0.4,0.5,0.7.B ={飞机被击落}，)|(i A B P 依次为0.2,0.6,1，求)(B P .
解: )()(3213213211C C C C C C C C C P A P ++=
36.0)()()())()()()()()(321321321=++=C P C P C P C P C P C P C P C P C P ；
)()(3213213212C C C C C C C C C P A P ++=
41.0)()()())()()()()()(321321321=++=C P C P C P C P C P C P C P C P C P ；
14.0)()()()()(3213213====C P C P C P C C C P A P ；
458.0)|()()(3
1
==
∑
=i i i A B P A P B P .
例8 同例7，但3/1)(=i C P ，求)(i A P i=0,1,2,3.
解:278313232)()()()()(0
3
033
3213210=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C C P C P C P C C C P A P ；
943132)()()(3)(1
2133211=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C P C P C P A P ；
923132)()()(3)(2
1
2
33212=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C P C P C P A P
271313231)()()()()(3
03333213213=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C C P C P C P C C C P A P .
第四节 二项概率公式
一、n 重贝努利试验
1、贝努利试验──只有两个可能结果的试验.
例如：掷硬币试验，A ={正},A ={反}.
},,,{S A A φ=F , p A P =)(,p A P -=1)(,10<<p .
2、n 重贝努利试验──n 个完全相同的且相互独立的贝努利试验.
二、二项概率公式
设p A P =)(,事件A 在n 重贝努利试验中恰好发生k 次的概率为)(k P n ， 则 k
n k
k
n n p p C k P --=)
1()(，n k ,,1,0 =，10<<p 。

证明：(1)设)
(i A
＝{第k 次试验中事件A 发生}，那么p A P i =)()
(.由于
)()
()
1()
()
2()1(n k k A
A
A
A
A P +
k
n k n k k p p A
P A P A
P A P A
P -+-==)
1()()()()()()
()
1()
()
2()
1(
(2) 那么k
n k
k n n p p C k P --=)1()(.
注：(1) 1)(1
=∑=n
k n k P ；
(2)=
}{至少出现一次A P )0(1)(1n n
k n P k P -=∑
=； (3)=
}{至少出现两次
A P )1()0(1)(2
n n n
k n P P k P --=∑
=.
例1甲乙两人比赛,6.0}{==甲胜P p ,4.0}{=乙胜P ,求在五局三胜制下甲获胜的概率P .
解:已知5=n ,6.0=p } :3 {获胜甲以k A i =,显然
3
3
30)1()(p p C A P -=,
p p p C A P ⋅-=1
2231)1()(， p p p C A P ⋅-=2
2
2
43)1()(,
所以 68256.0)()()(321=++=A P A P A P P .
例2 设p A P =)(,求在m n +重贝努利试验中事件A 在发生n 次之前A 发生了的
m 次的概率P .
解：m
n m m n m
n n m n m n n m n p p C p p C p p p C P )1()
1()1(1111
11-=-=⋅-=-+--+---+.。