数字信号处理-时域离散随机信号处理丁玉美第3章

号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。因此它是一个单输入系
统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构， 或者说是
一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉冲相应表
示成下式：
N 1
y(n) w(m)x(Fra Baidu bibliotek m) m0
(3.2.1)
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第三章 自适应数字滤波器
…
x1j
w1
x2j
均方误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展
开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只
有一个权系数w1,则E［e2j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个 权系数w1w2,则E［ej2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系
数以上的情况，则属于超抛物面性质。
N
y j wi xij
(3.2.2)
i 1
这里wi也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于
自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形
式：
y j X Tj W W T X j
(3.2.3)
式中
W [w1, w2,, wN ]T, X j [x1j , x2 j ,, xNj ]T
第三章 自适应数字滤波器
第三章 自适应数字滤波器
3.1 引言 3.2 自适应横向滤波器 3.3 自适应格型滤波器 3.4 最小二乘自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用
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第三章 自适应数字滤波器
3.1 引 言
自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则 的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机 信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是 平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际 中， 常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因此 实现最佳滤波是困难的。
误差信号表示为
ej d j y j d j X Tj W d j W T X j (3.2.4)
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第三章 自适应数字滤波器 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差
误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最
小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为
E[e2j ] E[(d j y j )2 ]
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第三章 自适应数字滤波器
3.2 自适应横向滤波器
自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输入信 号，y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，或者称为参考信号、 训练信号，e(n)是误差信号。 其中
e(n)=d(n)-y(n) 自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算 法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 这里 暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况进行 选取， 能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应 滤波器的一项有创意的工作。如果真正的d(n)可以获得， 我们 将不需要做任何自适应滤波器。
w2
xNj wN
yj
－
＋
ej
dj
图 3.2.2 自适应线性组合器
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第三章 自适应数字滤波器
x(n)
z－ 1
x(n－ 1) z－ 1
x(n－ 2)
…
w1
w2
w3
wN－ 1
y(n)
z－ 1
x(n－N)
wN e(n)
d(n)
＋ －
图 3.2.3 自适应FIR滤波器
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第三章 自适应数字滤波器
这 里 w(n) 称 为 滤 波 器 单 位 脉 冲 响 应 ， 令 ： i=m+1,wi=w(i-1), xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以写成
E[d
2 j
]
2E[(d
j
X
T j
]W
W
T E[ X
j
X
T j
]W
(3.2.5)
令
Rdx
E[d j X
j]
E[d
j
X
T j
]W
W TE[X
j
X
T j
]W
(3.2.6)
x1
j
x1
j
x1 j x2 j
x1 j xNj
Rxx
E[ X
j
X
T j
]
E
x1 j x1 j
x1 j x2 j
x1 j xNj
(1)是对称矩阵，即 RxTx Rxx ;
(2) 是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：
V T RxxV E[V T XX TV ] E[( X TV )2 ] 0
自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信 号的自相关值。
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第三章 自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时，
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第三章 自适应数字滤波器
自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某 种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的 先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都 能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。 常常将这种输入统 计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称 为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。 由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等人 提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展 很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡， 雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪 声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。
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第三章 自适应数字滤波器
x(n) H(z)
e(n)
y(n)
－
＋
d(n)
图 3.2.1 自适应滤波器原理图
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第三章 自适应数字滤波器 3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR
1. 自适应滤波器的矩阵表示式
图 3.2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器， 图
中N个权系数w1,w2,…,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固定 的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,…,xNj的线性组合，因此称它 为线性组合器。这里的x1j,x2j,…,xNj可以理解为是从N个不同的信 号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统， 也可以是同一个信
xNj x1 j
xNj x2 j
xNj xNj
(3.2.7)
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第三章 自适应数字滤波器
将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到
E[e2j
]
E[d
2 j
]
2RdTxW
W
T
RxxW
(3.2.8)
Rdx称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个N维列矩阵；Rxx是输入信
号的自相关矩阵，