流体力学各无量纲数定义

雷诺数：
对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。

这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。

这个尺寸一般是根据习惯定义的。

比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。

对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。

对于表面流动，通常使用长度。

管内流场
对于在管内的流动,雷诺数定义为:
式中:
是平均流速(国际单位: m/s)
管直径(一般为特征长度) (m)
流体动力黏度 (Pa·s或N·s/m²)
运动黏度 (ρ) (m²/s)
流体密度(kg/m³)
体积流量 (m³/s)
横截面积(m²)
假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（ρ）、速度的开方（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比
假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则雷诺数与管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关
平板流
对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体
对于流体中的物体的雷诺数,经常用Re p表示。

用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

流体中的球
对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。

在这种情况下，层流只存在于Re=或者以下。

在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

搅拌槽
对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。

速度是ND,N是转速(周/秒)。

雷诺数表达为:
当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。

[1]
过渡流雷诺数
对于流过平板的边界层，实验可以确认，当流过一定长度后,层流变得不稳定
形成湍流。

对于不同的尺度和不同的流体，这种不稳定性都会发生。

一般来
说，当, 这里x是从平板的前边缘开始的距离,流速是边界
层以外的自由流场速度。

一般管道流雷诺数＜2100为层流(又可称作黏滞流动、线流)状态，大于4000
为湍流(又可称作紊流、扰流)状态，2100～4000为过渡流状态。

层流：流体沿着管轴以平行方向流动，因为流体很平稳，所以可看作层层相
叠，各层间不互相干扰。

流体在管内速度分布为抛物体的形状，面向切面的
则是抛物线分布。

因为是个别有其方向和速率流动，所以流动摩擦损失较小。

湍流：此则是管内流体流动状态为各分子互相激烈碰撞，非直线流动而是漩
涡状，流动摩擦损失较大。

管道中的摩擦阻力
穆迪图说明达西摩擦因子f和雷诺数和相对粗糙度的关系
在管道中完全成形（fully developed）流体的压降可以用穆迪图来说明，穆迪图绘制出在不同相对粗糙度下，达西摩擦因子f和雷诺数及相对粗糙度
的关系，图中随着雷诺数的增加，管流由层流变为过渡流及湍流，管流的特性和流体为层流、过渡流或湍流有明显关系。

流动相似性
两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。

当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立:
带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。

这样工
程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟
的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。

实际应用中也许会需
要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福禄数。

雷诺数的一般值
精子 ~ 1×10−4
大脑中的血液流～1×102
主动脉中的血流~ 1×103
湍流临界值 ~ ××104(对于管内流)到106(边界层)
棒球(职业棒球投手投掷) ~ 2×105
游泳(人) ~ 4×106
蓝鲸 ~ 3×108
大型邮轮 ~ 5×109
雷诺数的推导
雷诺数可以从无因次化的非可压纳维－斯托克斯方程推导得来:
上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。

无量纲化上式，需要
把方程变成一个独立于物理单位的方程。

我们可以把上式乘以系
数:
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。

我们设:
无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:
这里:
最后,为了阅读方便把撇去掉:
这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的
流场是相似的。

韦伯数(Weber number)的计算公式为
其中为流体密度，为特征流速，为特征长度，为流体的表面张力系数。

韦伯数代表惯性力和表面张力效应之比，韦伯数愈小代表表面张力愈重要，譬如毛细管现象、肥皂泡、表面张力波等小尺度的问题。

一般而言，大尺度的问题，韦伯数远大于，表面张力的作用便可以忽略。

阿基米德数是一个因希腊科学家阿基米德而得名的流体力学无因次数，可用来判别因密度差异造成的流体运动，其形式如下：
其中：
g为重力加速度 m/s²),
ρl为流体的密度，单位为
ρ 为物体的密度，单位为
为动黏滞系数，单位为
L 为物体特征长度，单位为m
阿基米德数也可表示为格拉斯霍夫数和雷诺数平方的比值，也是浮力及惯性力的比值：
[1]
在分析液体潜在的混合对流现象时，阿基米德数可用来比较自由对流及强制对流的相对强度，若Ar >> 1，对流现象中以自由对流为主，若Ar << 1，则以强制对流为主。

阿特伍德数是一个流体力学中的无因次量，和研究密度分层流中的流体动力不稳定性（hydrodynamic instabilities）有关。

定义为二流体密度的比值：
其中 = 较重流体的密度
= 较轻流体的密度
应用
不论在研究和重力、惯性力有关的瑞利泰勒不稳定性或是和激波有关的Richtmyer-Meshkov 不稳定性（Richtmyer–Meshkov instability），阿特伍德数都是其中的重要参数。

在瑞利泰勒不稳定性中，较重流体泡泡穿透较轻流体的距离是时间的函数[1]，其中g是重力加速度而t是时间。

参考资料
1.^ Glimm, J., Grove, J. W., Li, ., Oh, W., and Sharp, D. H., A critical analysis of
Rayleigh–Taylor growth rates, J. Comput. Phys., 169, 652-677 (2001).
毕奥数是热传学中的无因次数，以法国物理学家让-巴蒂斯特·毕奥的名字命名。

热量传递中，毕奥数指传热阻力与对流阻力之比，决定固体温度的一致性，计算式为：
其中，
为膜系数或传热系数或热对流系数
为特征长度
为固体的热导率
质量传递中，毕奥数指扩散阻力与反应阻力之比，决定固体浓度的一致性，计算式为：
其中，
为膜传质系数
为特征长度
为固体的质量扩散率
Damköhler数（Da）为一无量纲标量，用于描述同一系统中化学反应相比其它现象的相对时间尺度，其命名是为纪念德国化学家Gerhard Damköhler(1908–1944)。

根据系统的不同，Damköhler数有不同的定义。

对于一个n阶反应来说，Da通常定义为：
其物理意义为无量纲反应时间，其中：
k：化学动力学常数
C0：初始浓度
n：反应阶数
t：时间
对于连续或半连续反应器中，Damköhler数的通常定义为：
或
在连续反应器中，Da为
其中为残留时间或空间时间。

在包含界面传质的反应系统中，Damköhler数(Da II)的定义为：化学反
应速率与传质速率之比，即：
其中：
：总传质系数
：界面面积
底波拉数是流变学中的一个无量纲量，用来描述材料在特定条件下的流动性。

底波拉数最早是由以色列理工学院的教授马库斯·莱纳（英语：Markus Reiner）所提出，其名称是因为圣经士师记5:5中，士师底波拉的歌中的一句
“
The mountains flowed before the Lord
”
底波拉数是假设在时间足够的条件下，即使是最坚硬的物体（例如山）也会流动。

因此流动特性不是一个材料本身的固有属性，而是一种相对属性，此相对属性和二个有本质上完全不同的特征时间有关。

底波拉数定义为驰豫时间及观测时间尺度的比值。

驰豫时间表示一材料反应施力或形变时所需要的时间，观测时间尺度是指探索材料反应的实验（或电脑模拟）的时间尺度。

底波拉数中整合了材料的弹性及粘滞度。

若底波拉数越小，材料特性越接近流体，其运动越接近牛顿粘性流。

若底波拉数越大，材料特性主要以弹性为主，底波拉数非常高时，材料特性接近固体[1][2]。

其方程式为：
其中
t c是指应力的驰豫时间（有时称为马克士威驰豫时间）
t p是指观测的时间尺度
欧拉数是流体力学的一个无量纲量，表示局部压强损失和单位体积动能之间的比例，常用来描述一流场损失的特性，一个理想的无滞性流其欧拉数为1。

欧拉数的定义如下
表示
为流体的密度。

为压强差。

为流体的特征速度。

福禄数（Froude number,Fr）为流体力学中无量纲的标量，为惯性力和重力效应之比，公式如下：
式中U为流体速度，L为物体特征长度，g为重力加速度。

明渠流和波浪力学中都常用到福禄数。

在明渠流中，长度L为水深h。

在波浪力学中，福禄数代表平均流速与重力波（Gravity wave）的波速之比。

当Fr > 1，表示惯性力对流动之影响较重力为大，称为超临界流（Supercritical flow），为水深小，流速急湍的流况。

当Fr < 1为亚临界流（Subcritical flow），为流速缓慢，水深大的流况。

当Fr = 1为临界流（Critical flow）。

格拉晓夫数（Grashof number,Gr）为一无量纲的标量，常用在流体力学及热传导中。

格拉晓夫数可以视为流体浮力与粘性力的比值，是研究自然对流时重要的参数。

格拉晓夫数的命名是源自德国工程师Franz Grashof。

（垂直表面）
（pipe）
（bluff bodies）
其中下标的L及D表示格拉晓夫数参考长度的来源。

g = 重力加速度
β = volumetric thermal expansion coefficient（若是理想流体，可近似为绝对温度T 的倒数1/T）
T s = 表面温度
T∞ = 环境温度
L = 长度
D = 直径
ν = 动粘度
Kc数（Keulegan–Carpenter number）是一个无量纲数，用来描述一个在振荡流场中的物体，所受到的阻力相对惯性力之间的关系，也可可以用在一物体在静止流体中振荡的情形。

Kc数小表示惯性力的影响比阻力要大，Kc数大表示（紊流）阻力的影响较大。

Kc数的定义如下[1]
其中
V为流速振荡的振幅（若是物体振荡的情形，则为物体速度的振幅）
T为振荡的周期
L为物体的特征长度，若物体为一圆柱，其特征长度为其直径。

在探讨海浪对沉积物运移（英语：sediment transport）的影响时，会使用另一个相关的位移参数δ（displacement parameter）[1]来表示：
其中
A为在振荡流场中流体粒子的偏移幅度，若流场以弦波运动，A可以用V
和T表示A = VT/(2π)，则
若将纳维－斯托克斯方程的加速度项进行尺度分析（英语：scale analysis
(mathematics)），也可以找到Kc数：
对流加速度：
局部加速度：
将以上二式相除即可得到Kc数。

斯特劳哈尔数（英语：Strouhal number）和Kc数有些相近。

斯特劳哈尔
数在形式上是Kc数的倒数。

斯特劳哈尔数可以求得将一物体置入稳定的
流场后，其产生旋涡分离（英语：vortex shedding）的频率，可以作为
流场不稳定性的指标。

而Kc数是和不稳定流场对物体的影响有关。

克努森数是流体力学中的无量纲数，指分子平均自由程与推移长度之比，计算式为：
其中，
为分子平均自由程
为推移长度
对于理想气体，计算式可以写成
其中，
为玻尔兹曼常量
为热力学温度
为粒子直径
为总压力
路易斯数（Lowis number, Le）为一无量纲量的标量，表示热扩散率和扩散系数的比例，可以用来表示流体流动时其热传及质传的比例。

Le 的定义为：
其中Le为路易斯数，α为热扩散率，D为扩散系数。

另外，由于普兰特尔数 Pr 是动黏滞系数和热扩散率的比例，而施密特数 Sc 则是动黏滞系数和扩散系数的比例，因此路易斯数也可以用Pr 和Sc 来表示：
努塞尔特数是流体力学中的无量纲数，以德国物理学家威廉·努塞尔特（Wilhelm Nusselt）的名字命名，指长度与热边界层厚度之比，计算式为：
其中，
为热对流系数
为特征长度
为流体的热导率
马赫（英文:Mach number）是表示速度的量词，又叫马赫数。

一马赫即一倍音速：马赫数小于1者为亚音速，马赫数大于5左右为超高音速；马赫数是飞行的速度和当时飞行的音速之比值，大于1表示比音速快，同理，小于1是比音速慢。

，其中U为流速，C为音速。

音速为压力波（声波）在流体中传递的速度。

马赫数的命名是为了纪念奥地利学者恩斯特·马赫（Ernst Mach, 1838-1916）。

F/A-18大黄蜂战机以接近音速的速度飞行。

马赫一般用于飞机、火箭等航空航天飞行器。

由于声音在空气中的传播速度随着不同的条件而不同，因此马赫也只是一个相对的单位，每“一马赫”的具体速度并不固定。

在低温下声音的传播速度低些，一马赫对应的具体速度也就低一些。

因此相对来说，在高空比在低空更容易达到较高的马赫数。

1947年10月14日，耶格尔驾驶X-1试验飞机在加州南部上空脱离B-29母机，上升到一万二千米高空，并在此高度上达到每小时1078千米的速度，首次突破音障，超过了一马赫。

当马赫数Ma<时，流体所受的压力不足以压缩流体，仅会造成流体的流动。

在此状况下，流体密度不会随压力而改变，此种流场称为亚音速流（Subsonic flow），
流场可视为不可压缩流场。

一般的水流及大气中空气的流动，譬如湍急的河流、台风风场和汽车的运动等，皆属于不可压缩流场。

但流体在高速运动（流速接近音速或大于音速）时，流体密度会随压力而改变，此时气体之流动称为可压缩流场（Compressible flow）。

当马赫数Ma>，称为超音速流（Supersonic flow），此类流况在航空动力学中才会遇到。

任何物体在高超音速飞行时其头部的激波后方都会产生超高温气流，因此选择抗热材料是十分必要的。

在地表, 马赫的大约速度换算相当于m/s，又大约等同于1225 km/h，mph，或者1116 ft/s。

飞行物在相同的速度下, 其马赫会因所在高度空气的音速不同而有差异; 高度越高, 音速越低, 而使得马赫越高。

[编辑]分类
依照马赫数的不同，流体分为几种流况：
不可压缩流
亚音速不可压缩流：M<
可压缩流
•
亚音速可压缩流：≤M≤
跨音速：≤M≤
超音速：≤M≤5
超高音速：5≤M
[编辑]马赫角
马赫角定义为。

是一个与马赫数有关的函数。

磁雷诺数定义为：
其中，和分别是系统的特征尺度和特征速度，是磁扩散系数。

如果磁雷诺数远远小于1，则磁流体力学中的磁感应方程
退化为扩散方程
此时等离子体会表现出磁扩散效应。

如果磁雷诺数远远大于1，则磁流体力学中的磁感应方程退化为冻结方
程
此时等离子体会表现出磁冻结效应。

佩克莱特数是流体力学中的无量纲数，指流体中对流和扩散热量、质量之比，计算式为：
其中：
为雷诺数
为普朗特数
为平均流速
为特征长度
为热扩散率
普兰特数是一个流体力学无因次的标量，表示动黏滞系数和热扩散率的比例，也可以视为动量传递及热量传递效果的比例。

普兰特数的定义如下:
其中:
: 动黏滞系数(viscous diffusion rate), , (SI制单位 : m2/s)
: 热扩散率(thermal diffusion rate), , (SI制单位 : m2/s)
: 黏滞系数 (SI制单位 : Pa s)
k : 热传导率 (SI制单位 : W/(m K) )
c p : 比热容 (SI制单位 : J/(kg K) )
: 密度 (SI制单位 : kg/m3 )
雷诺数或格拉斯霍夫数的公式中有包含一个表示长度的变量，而普兰特数的公式中没有类似的变量，表示和孔径、长度或特征长度等参数无关，只和流体及其状态有关。

在描述物质特性的表中，除了列出黏滞系数及热传导系数外，有时也会列出普兰特数。

以下是一些常见物质的:
空气及气体约惰性气体、氢气或惰性气体的混合物约水大约是7
地球的地函约是10×1024
机油范围在100 到40,000 之间
R-12冷媒约在4 到5 之间
水银约
对水银而言，由于热扩散率远大于动黏滞系数，热量主要会以传导的方式传递，以热传导的方式传播热量会比对流有效。

对于机油则恰好相反，动黏滞系数远大于热扩散率，热量主要会以对流的方式传递，以对流的方式传播热量会比热传导有效。

在热量传播的应用中，控制动量边界层及热边界层的相对厚度。

Pr小表示热扩散速率会比速度(动量)扩散速率要快。

因此液态金属（如水银）的热边界层厚度会比速度边界层大很多。

质量传播也有类似普兰特数的无因次量，称为施密特数。

瑞利数（Rayleigh number），是流体力学中的无量纲数，指自然对流和扩散热量、质量传递之比，计算式为：
其中：
为格拉晓夫数
为普朗特数
为重力加速度
为热膨胀系数
为热力学温度
为特征长度
为动黏滞系数
为热扩散率
罗斯贝数（Ro，不是）可定义如下：
其中U及L分别是此现象的特征速度及特征长度，f= 2 Ω sin φ为科里奥利频率，其中Ω为行星旋转的角速度，而φ为纬度。

小的罗斯贝数表示一系统主要是由科里奥利力所影响，而大的罗斯贝数表示一系统是由惯性力及向心力所影响。

例如，龙卷风的罗斯贝数很大（≈ 103），低气压的罗斯贝数很小（≈ – 1），在海洋系统中罗斯贝数的数量级变化范围是由10−2到102[4]。

因此，在分析龙卷风时科里奥利力可忽略，而压强及向心力彼此平衡（称为地转平衡）[5][6]。

在热带气旋的风眼附近也有类似的平衡[7]。

在低气压中可忽略向心力，科里奥利力和压强平衡。

在海洋系统中向心力，科里奥利力和压强互相平衡[6]。

在参考资料[8]中有有关大气及海洋运动的时间及大小尺度的示意图。

当罗斯贝数数值较大时（可能是因为f很小，例如在热带或低纬度地区，或是因为L很小，例如马桶排水产生的漩涡，或者是速度较快），行星旋转的影响很小，可以省略。

当罗斯贝数数值较小时，行星旋转的影响很大，可以使用地转近似（英语：Geostrophic wind）的方式进行分析[9]。

施密特数（Schmidt number, Sc）是一个无量纲的标量，定义为动黏滞系数和扩散系数的比值，用来描述同时有动量扩散及质量扩散的流体。

施密特数的命名是为了纪念德国工程师Ernst Heinrich Wilhelm Schmidt (1892-1975)。

施密特数可定义为[1] as:
where:
为动黏滞系数
为扩散系数.
为黏滞系数
为密度
施密特数和速度边界层和质传边界层的相对厚度有关。

热传也有类似施密特数的无因次量，称为普兰特尔数。

]</ref> [2]
where,
is the Schmidt number
is the heat transferred into the working fluid
is the mean pressure of the working fluid
is the volume swept by the piston
舍伍德数是流体力学中的无量纲数，也被称为质量传递努塞尔特数，指动量与扩散传质系数之比，计算式为：
其中，
为质量传递系数
为特征长度
为扩散传质系数。