1.1.1正弦定理(2个课时)

＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状．
【解】 在△ABC 中， a b c 根据正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A＝sin B＋sin C，∴( ) ＝( ) ＋( ) ， 2R 2R 2R
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90° ，∴B＋C＝90° . 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90° ＝2sin Bcos(90° －B)， 1 2 ∴sin B＝ . 2 ∵B 是锐角， 2 ∴sin B＝ ， 2 ∴B＝45° ，C＝45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形．

b sin C 2 sin15 c sin B sin 45

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
练习：在ABC中，a=2, b 2, A 450 , 解三角形
2 2 b sin A 2 1 解：由正弦定理得 sin B a 2 2 a b, A B, 且00 B 1800
第一课时
书生中学 叶丽红
一、情景导入：
问题1：我们知道，在任意的三角 形中都有大边对大角，小边对小角 的关系 那么我们能否得到准确的边角关系 呢？
想 一 想 ？
问题2：在Rt三角形中，角C=90o，如何表示 sinA, sinB，sinC 呢?
a b sin A , sin B , sin C 1 c c

2 sin 75 c sin 45
2 6 2 6 2 4 2 2 2
例2：在ABC中，a= 3, b 2, B 45 , 解三角形
0
(2)当A 1200 , C 1800 ( A B) 150
6 2 sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30 4 2 sin15 2 6 2 6 2 c sin 45 4 2 2 2
互动探究3 状．
若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”
改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.
∴b＝c，

答案： C
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120° ，则 sin A∶sin B 的值是( 5 A. 3 3 C.7 ) 3 B. 5 5 D.7
解析： 在△ABC 中，C＝120° ，故 A，B 都是锐角．据 sin A a 5 正弦定理sin B＝b＝3，故选 A.

答案： A
3．在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45° ，B＝60° ，则 AC＝ ________.
或a k sin A，b k sin B，c k sin C （k 0） .
1．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ，那么角 A 等于( ) B．90° D．30°
A．135° C．45°
3 2· 2 asin B 2 解析： 由正弦定理得 sin A＝ b ＝ ＝2， 3 又∵a<b，∴A<B. ∴A＝45° ，故选 C.
1 1 S Δ A B C acsinB ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C b csinA 2
∴
而 C
h a A D c sin B b sin C
2
【名师点评】
判断三角形的形状，主要看其是
否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角 三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角 三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别．
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理
的比相等，即
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
a b c 2R sin A sin B sin C
解三角形：
一般地，把三角形的三个角A，B，C，及其对边a，b，c
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o 两解 (2)c=54, b=39, C=120o一解
(3)b=26, c=15, C=30o 两解
(4)a=2,b=6,A=30o 无解
a b c (3) sin A sin B sin C abc k ( k 0) sin A sin B sin C
a b c 2R sin A sin B sin C
=K
a k sinA, k sinB, k sinC b c
a : b : c sin A : sin B : sin C
a b c 例 3.在 Δ ABC中 , 知 已 , cosA cosB cosC 试 判 断 Δ ABC的 形 状 .
∴cos Asin C＝0，
∵ A、 C ∈ (0， π)
cos A 0,
2 ABC 是直角三角形
即
A

想 一 想 ？
1.正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
2. 正弦定Hale Waihona Puke Baidu可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
作业
1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C， 且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
a 2 sin A cos B 2、在ABC中，若 2 ，判断ABC的形状。 b cos A sin B
3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，
a b c k, 由正弦定理，得 解： 令 sinA sin B sin C
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得： sinA sinB sinC cosA cosB cosC 即
tanA tanB tanC
又A, C (0, ), A B C B, π
解析：
AC BC 由正弦定理得： ＝ sin B sin A
3×sin 60° 3 2 BCsin B ∴AC＝ ＝ ＝ sin A sin 45° 2
3 2 答案： 2
例3
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
A
a b c c si nA si nB sinC
b
c
C
a
B
问题 3 【猜想与推广】
那么对于一般的三角形,以上关系式是否 仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角形， 钝角三角形三种情况分析.
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 对 CD,根据三角函数的定义, si n 斜 对=斜sinθ(θ为锐角) C a b 解：CD=asinB=bsinA,则
a c 由正弦定理 sin A sin C c sin A 10 sin 45 得a 10 2 sin 30 sin C
b
A c B
a
10sin 105 b 5( 6 2 ) sin 30

4
练习： 已知两角和任一边，求其他两边和一角.
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
∴△ABC为等腰直角三角形．
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构
三角形面积公式：
c
B
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB A 2 2 2 1 b 证明：∵ S Δ A B C ah a
ha
D
a
∴
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB 2 2 2
B 30 , C 105 （三角形中大边对大角） a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
0
思考： 满足a=2,b=6,A=30o 这样的三角形有几个？
1 b sin A 6 2 3 sin B a 2 2
>1
所以，不存在这样的三角形
同理，作BC边上的高可得 AE=bsin∠ACE =bsinC =csinB c b 即： sin C sin B 所以，
a b c sin A sin B sin C
c
b
E
Ｄ Ｃ a Ｂ
问题 4 【猜想与推广】
= 2R c
B
a O b B/ C
BAB' 90, C B ' c ' sin C sin B 2R A c 2R sin C
cos(A C ) cos B 3 b2 2,
ac ，求 B
作业、 1、在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
sin A sin B
同理，作BC边上的高可得 AE=bsinC=csinB
b
a
E A c
B D
c b 即： sin C sin B
a b c 所以， sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是 CD,根据三角函数的定义,
a b 解：CD=asinB=bsinA,则 sinA sinBＡ
解三角形.
C 30 , a c 4 3

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3, b 2, B 45 , 解三角形
0
解：
a sin B sin A b
0
3
2 2 3 2 2
0
（三角形中大边对大角）
A 600 或A 1200
a b, A B, 且0 A 180
b sin C 2 sin 75 c sin B sin 45

(1)当A 600 , C 1800 ( A B) 750
6 2 sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30 4
叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程
叫 解三角形。 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ （1）已知两角和任意一边，求出其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求出三角形的其他的边和角。
（1）已知两角和任一边， 求其他两边和一角 。 。 例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 ， 解三角形.（即求出其它边和角） C 根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 解：
1.1.1正弦定理
第二课时
主讲老师：张胜波
想 一 想 ？
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a b c sin A sin B sin C
变式:
1
a b b c c a ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用
b c 由正弦定理 sin B sin C 10 sin 105 c sin B 得 b = sin C = sin 30 6 2 sin B sin105 sin(60 45 ) sin 60 cos 45 cos 60 sin 45

3
,
Δ ABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若 b＝acos C，试判断△ABC的形状． 解析： ∵b＝acos C， 由正弦定理得：sin B＝sin A·cos C.

∵B＝π－(A＋C)， ∴sinB=sin[π－(A＋C)]=sin(A+C) ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，