概率论第五章大数定律及中心极限定理

§1 大数定律
设 Y1, ,Yn , 是随机变量序列， a 是一个常数；
若对任意
则称 Y1,
,Y0n，,有依:概nl率 im收P{敛|Y于n aa，|记}为
1
Yn
P a。
定义2：
设 X1,
, X n,
是随机变量序列，令Yn
1n n k 1 X k
，
若存在常数序列a1, , an, 使对任意 0 ，有
设 X1, , X n, 是独立同分布的随机变量序
列，且 EX k ，DX k 2 0,(k 1,2, )
则{X n} 服从中心极限定理，即：
n
X k n
lim P{ k 1
x}
n
n
1x
t2
e 2 dt
2
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第五章 大数定律及中心极限定理
定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace)
每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工
作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统
正常工作的概率。
解：设X是损坏的部件数，则 X~B(100,0.1)。则整个 系统能正常工作当且仅当 X 15.
由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{X 15} P
X 100 0.1
15 100 0.1
100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
设不超过的界限为 ，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99
由德莫佛-拉普拉斯定理
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第五章 大数定律及中心极限定理
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1/ 6.
lim P{n np x} (x)
n
npq
P
X 60001/ 6 60001/ 6 5/ 6
电量等随机变量均近似服从正态分布。 他们共同的特点：这些随机现象是由大量的相互
独立随机因素的综合作用的结果。而其中每个个别因 素所起的作用是微小的，只是它们作用总和中的一部 分。大量实践经验告诉我们这一总和的分布是近似服 从正态分布。
8
第五章 大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
定义：
设 X1, , X n, 是独立的随机变量序列，
lim
n
P{|
Yn
an
|
}
1 ，或 lim n
P{|
Yn
an
|
}
0
，
则称{Xn} 服从大数定律。
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理（贝努里大数定律） 设 nA是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，
p 是事件 A 发生的概率，
则：对任意的 0 ，有
lim P{| nA p | } 1 或 lim P{| nA p | } 0
解得 0.0124.
良种粒数X的范围为
X -1
6000 6
(1/ 6 0.0124) 6000 X (1/ 6 0.0124) 6000,
即 925 X 1075 .
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第五章 大数定律及中心极限定理
例3（练习一下）
§2 中心极限定理
设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，
P{a
n
b}
P{a
np npq
n np
npq
b np} npq
(b np) ( a np)
npq
npq
说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。
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第五章 大数定律及中心极限定理
例1
§2 中心极限定理
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产。
15 100
100 0.1 0.1 0.9
5 3
0.952.
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第五章 小 结
1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意 义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解 契比雪夫大数定律。
2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普 拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际 应用问题。
n
n
n
EX k，DX k 存在，令： Zn ( X k EXk ) / DXk ，
Leabharlann Baidu
k 1
k 1
k 1
若对任意
x
R1 ，有 lim n
P{Zn
x}
1
。 x
t2
e 2 dt
2
则称{X n} 服从中心极限定理。
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第五章 大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
定理1（独立同分布的中心极限定理）
生的。这就是我们所说在频率稳定性在真正 含义。由实际推断原理，在实际应用中，当 试验的次数很大时，便可以用事件在频率来 代替事件在概率！
lim P{| nA p | } 1 或 lim P{| nA p | } 0
n
n
n
n
5
第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理（辛钦大数定律）
设 X1, , Xn, 相互独立同分布，且具有数 学期望 EX k ，k 1,2, , n, ，
解：记某时在工作着的车床 数为 X，则 X ~ B(200,0.6) .
设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率
保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题
意有：P{X r} r C2k00 (0.6)k (0.4)200k
k 0
( r 200 0.6 ) ( 200 0.6 )
6000
60001
/
6
5
/
6
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
故近似地有
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
0.99,
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第五章 大数定律及中心极限定理
即
6000
0.995,
60001/ 6 5/ 6
查表得
6000
2.58,
60001/ 6 5/ 6
§2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
§1. 大数定律 §2. 中心极限定理
1
§1.大数定律
§1 大数定律
现象：
(1) 事件发生的频率具有稳定性，即随着试 验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数。
(2) 在实践中人们还认识到大量测量值的算 术平均值也具有稳定性。
2
定义1：
第五章 大数定律及中心极限定理
设随机变量 n (n 1,2, ) 服从参数为n,p(0<p<1)的二
项分布 ，即 n ~ B(n, p).
则对于任意 x ，恒有：
lim P{n np x}
n
npq
n
证：n X k ，
1
x t2
e 2 dt
2
(q 1 p)
k 1
其中 X1, , X n 相互独立且都服从于 (0-1)分布。
n
n
n
n
此定理说明了频率的稳定性。
4
注：
• 对任意的 0 只要独立重复试验在次数n 充分大，事件 {| nA p | } 就是一个小概率事件， 由实际推断原理，n 这一事件实际上是几乎不 发际生 上的 是， 几即 乎在 必定n充发分生大的时，，亦事即件对于{|给nnA 定p |的 }任实
意小的正数 ，在n充分大时，事件“频率 与概率的偏差小于 ”实际上是几乎必定发
则：对任意的 0 ，有
1n
lim P{|
n
n
Xi
i 1
| } 1
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
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注：
•
{|
1 n
n
i 1
X
i
|
}
是一个随机事件。定理中的等式表明，
当 n 这个事件的概率趋于1。即对任意正数 ，
当n充分大时，不等式
|
1 n
n
i 1
X
i
|
成立在概率很大。
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EX k p，DX k pq 。
由定理1有结论成立。
n
X k n
lim P{ k1
x}
n
n
1
x t2
e 2 dt
2 11
推论：
第五章 大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
设随机变量 n (n 1,2, ) 服从参数为 n , p (0<p<1) 的
二项分布,即n ~ B(n, p). 当 n 充分大时有：
200 0.6 0.4
200 0.6 0.4
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第五章 大数定律及中心极限定理
§2 中心极限定理
( r 120) (17.32) ( r 120) 0.999,
48
48
查表得
r -120 3.1 所以 r 141. 48
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间 不会因供电不足而影响生产。
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第五章 大数定律及中心极限定理
例2.
§2 中心极限定理
现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒， 问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所 占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数 在哪个范围内？
解：
设良种数为X，则X ~ B(n, p),其中n 6000, p 1/ 6.
通俗地说，定理表明，对于独立同分布且具有均
值 的随机变量 X1, , X n,当n很大时它们的算术平
均
1
n
n i 1
Xi
很可能接近于
。
1n
lim P{|
n
n
Xi | } 1
i 1
7
§2.中心极限定理
现象： 在实际中所遇到的许多随机变量，往往服从正态
分布或近似服从正态分布。 例如测量误差，成绩的分布，城市中某时刻的用