运筹学习题

第一章. 线形规划及单纯形法习题 1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万吨。该厂从A，B两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。又如从A处采购原油每吨价格（包括运费，下同）为200元，B处原油每吨为300元。试求：1）选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A处价格不变，B处降为290元/吨，则最优决策有何改变？ A/% B/% 15 50 含汽油 20 30 含煤油 50 15 含重油 15 5 其他答：1）最优策略为：每季度从A处采购27.27万吨，从B处采购21.82万吨，总费用12218.2万元。2）改为每季度从A处采购15万吨，从B处采购30万吨，总费用11700万元。 2. 已知线性规划问题：

下表中所列的解（a）—（f）均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行解，哪些是基解，哪些是基可行解。 xxxxx35124序号 (a) 2 4 3 0 0 (b) 10 0 -5 0 4 (c) 3 0 2 7 4 (d) 1 4.5 4 0 -0.5 (e) 0 2 5 6 2 (f) 0 4 5 2 0 答：可行解有(a), (c), (e), (f); 基解有(a), (b), (f); 基可行解有(a) (f). 3. 已知某线性规划问题的约束条件为

判断下列各点

是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：（5，15，0，20，0）（a）（9，7，0，0，8）（15，5，10，0，0）

答：该线性规划问题中

（a）因有，故不是凸集顶点；124（b）（9，7，0，0，8）为非可行域的点p,p,p（c）因线性相关，故非凸集的顶点。123 4. 在单纯形法迭代中，任何从基

变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代中会不会立即再

进入基变量，为什么？答：不可能，因刚从基中被替换出来的

变量在下一个单纯形表中，其检验数一定为负。

x jjjj5. 求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通常用来替换，其中，。试说明，能否在基

变量中同时出现，为什么？答：不可能，因为，故 6. 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该

线性规划的目标函数为，约束形式为，为

松弛变量，表中解代入目标函数后得.

xxxx3124 a 0 1 1/5 x 2 3 b e 0 1 x a 1 b -1 f g

(a) 求a---g 的值(b) 表中给出的解是否为最优解。答：

a=2, b=0, c=0, d=1, e=4/5, f=0, g= -5, 表中给出的解为最优解。m7. 线性规划问题，，，如是该问题的最

优解，又为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变

化。（a）目标函数变为（b）

目标函数变为，约束条件变为（c）目

标函数变为答：(a) 仍为最优解，*X (b) 除C为常数向量外，一般不再是问题的最优解*X (c) 最优解变为，目标函数值不变。

8. 试将下述问题改写成线性规划问题

i

答：

令，则问题可化为

9. 线性回归是一种常用的数理统计方法，这个方法要求对图上的一系列点（选配一条合适的直线拟合。方法通常是先定直线方程为，然后按某种准则求定。通常这个准则为最小二乘法，但也可用其他准则。试根据以下准则建立这个问题的线性规划模型：答：

令，可能为正，也可能为负当当

设0,当当

iiii，所以这个问题的线性规划模型为：

10．线性规划问题,设为问题的最优解，若目标

函数中用*C代替C*X后，问题的最优解变为，求证：**0（）（）

（1）证明：

***0**0（） (2) 又，有**0（）（）–(1)得 11.某医院昼夜24H 各时段内需要的护士数量如下：2:00~6:00 10人，6：00~10：00 15人，10：00~14：00 25人，14：00~18：00 20人，18：00~22：00 18人，22：00~2：00 12人。护士分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并连续工作8H。试确定：（a）该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要（b）若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护士。若正式工护士报酬为10元/H，合同工护士为15元/H，问医院是否应聘用合同工护士及聘多少名？分别代表于早上2：答：（a）设00，6：00直至晚上22：00开始上班的护士数，612则可建立如下数学模型：

，总计需53名护士。解得分别为早上2：00，6：

00直至晚上22：00开（b）在(a)的基础上设612始上班的合同工护士数，则有：

至xj解得，的数字同上。 16 12. 某人有一笔30万元的资金，在今后的三年内有以下投资项目：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年的投资；（2）只允许第一年年初投入，第二年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资额不超过15万元；（3）于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；（4）于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利40%，投资限额为10万元。试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。x ji ij答：设为第年初投放到项目的资金数，其数学模型为

1112212311

313421121223

34ij

133333，，，解得，第三年末本利总和为580000元。 34 13.某糖果厂用原料A，B，C加工成三种

不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A，B，C的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量，三种

牌号糖果的单位加工费及售价如表所示。甲乙

丙原料成本/元/KG 每月限制用量/KG A 2.00 2000 ≥60% ≥15% B 1.50 2500 C 1.00 1200 ≤20% ≤60% ≤50% 0.50 0.40 0.30 加工费/元/KG 3.40 2.85 2.25 售价/元/KG 问该厂每月生产这三种牌号各多少KG，使得到的利润为最大？试建立这个问题的线性规划数学

模型。x ij答：设为生产种糖果所使用的种原材

料数，分别代表甲、乙、丙，分别代表A，B，C。其数学模型为：