逆变换与逆矩阵 (4)

学业分层测评(七)

[学业达标]

1.利用行列式解方程组

【解】　先将方程组改写成一般形式

因为D＝＝1×3－2×2＝－1，

D x＝＝1×3－2×4＝－5，

D y＝＝1×4－2×1＝2，

所以x＝＝＝5，y＝＝＝－2，

故该方程组的解为

2.利用行列式解方程组

【解】　∵＝m2－4

D x＝＝4m－28

D y＝＝7m－4

①当m2－4＝0时，即m＝±2，方程组无解；

②当m2－4≠0时，即m≠±2时，得x＝＝，y＝＝.

即

3.若关于x，y的二元一次方程组有惟一解，求m的取值范围.

【解】　该二元一次方程组的一般形式为

其用矩阵形式表示为＝.因为该方程组有惟一解，所以≠0，解得m≠－.

4.利用逆矩阵解下列方程组：

(1)(2)

【解】　(1)原方程组用矩阵可表示为＝.

令A＝，Z＝，B＝，

因为|A|＝＝4－6＝－2≠0，则矩阵A存在逆矩阵A－1，且

A－1＝＝，

这样，Z＝A－1B＝＝，即原方程组的解为

(2)原方程组用矩阵可表示为

＝.

同(1)，可以计算的逆矩阵为，

则＝＝，

即原方程组的解为

5.设A＝，Z＝，

B＝，试解方程组AZ＝B.

【导学号：30650044】【解】　∵det(A)＝＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A存在逆矩阵A－1，且

A－1＝＝，

∴Z＝A－1B＝＝.

6.已知二元一次方程组AZ＝B，其中A是可逆矩阵，B＝，试证明该方程组的解只能是.

【证明】　因为A是可逆矩阵，则原方程组的解为Z＝A－1B＝A－1，因A－1是惟一存在的，所以Z＝是原方程组的解且是惟一的.

7.试从几何变换的角度分析方程组AZ＝B解的情况，这里A＝，Z＝，B＝.

【解】　由于A对应的是沿y轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为，即A－1＝，于是原方程组的解Z＝为向量B＝在A－1＝作用之后的向量，即Z＝A－1B.

因为A－1是惟一存在的，因此也是惟一存在的，且有

Z＝A－1B＝＝.

故原方程组有惟一解为

[能力提升]

8.试从几何变换的角度说明方程组解的存在性和惟一性.

【解】　设A＝，X＝，B＝，则AX＝B.因为矩阵A对应的变换是切变变换，且A－1＝，所以方程组的解X＝为向量B＝在变换矩阵A－1作用之后的向量，即X＝A－1B.由于矩阵A－1是惟一存在的，因此，也是惟一存在的，且A－1B＝＝，

故方程组的解为