一种完备的最小属性约简方法

ｒｄ ｃｉｎ ｅｕ ｔ ｏ
Ｄｏｈ １．９ ９ ．ｓ ０ ０３ ２ ． １ ． ．１ Ｏ３ ６ ／ｉ ｎ１０ —４ ８ Ｏ ２ ４０ ５ ｊｓ ２ ０
１ 概 述
粗糙集理论是一种新型的处理模 糊和 不确 定知识 的数学
。
工具 ，属性约简是它的核心内容 之一 ，目前国内外 已经提 出
了许多属性约简方法。 基于差别矩 阵 的属性约简是属性约简 的方法之一 ，该
ｒｄ ｃｉｎｔ ｅｉｇ ｎｒｔ ａｅ ｎｔｅｐｏ ａ ｉｔ ｆｈ ｔｉｕｅ ｉ ｉ ｅｎｔ ｂｅｔ． ｌ ｎｍａ ｔｉｕｅｒｄ ｃｉｎ ｒ ｇ ｔｒｍ ｍｉｉ ｌ ｅ ｕｔ ｅ ｅ ｅａｅ ｂ ｓｄｏ ｒｂ ｂｌｙｏ ｅａｔｂ ｔｓ ｃ ｄｓ ｒ ｏｊｃｓＡｌｍｉｉ ｌ ｔｂ ｔ ｅ ｕ ｔ ｓ ｅ ｏ ｏ ｎｍａ ｏ ｒ ｓ ｄ ｈ ｉ ｔ ｒ ｗｈ ｈ ｃ ｗｏ ａｒ ｏ ａ ｆ
的，也就是说这 ２ 种属性约简是不等价的 ，文献 ［】 ８进一步研
究指 出产 生这个 问题 的根本原 因：由于决策表 信息系统的不 相容 性导致 了 Ｈ 的方法出错 ，因此对于一致决策表基于差 ｕ 别矩阵的属性约筒与基于正 区域的属性 约简是等价 的。 对一 个信 息系统 ，一般而言求 出所有约简与求最小约筒 都是 Ｎ Ｐ难 问题 ，因此 ，常借助于某种启 发式信息来求近优 解 ，但很多方法都 是不完备 的。本文根据差别矩阵 的求核原
ａｔ ｉ ｕ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｒ ｅ Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｆｔ ｅｍｅ ｈ ｄ ｉ ｏ ｅ ｏ ｂ ｏ ｔｒｂ ｔ ｓｒ ｄ ｃ ｉ ｎ ｔｅ ． ｈ ｅ ｕ ｔ ｔ ｏ ｓ ｏ ｈ ｐｒ ｖ ｄ ｔ ｅｃ ｍｐ ｅｅ ａ ｄ ｍｉ ｉ ｌ ｌ ｔ ｎ ｎ ｍａ
第３ ８卷 第 ４期
Ｖ０ ＿８ １３
・
计
算
机
工
程
２１ ０ ２年 ２月
Ｆｅ ｕａ ｙ ０１ ｂｒ ｒ ２ ２
ＮＯ４ ．
Ｃｏ ｐ ｔ ｒＥｎ ｉ ｅ ｒｎ ｍ ｕｅ ｇｎ ｅｉｇ
软 件 技术 与数 据库 ・
一
文章编号：１ ０－２（ １）— ０６＿ 文献标识码： ０ —３ ８ ０２４ ４—０ ０ ４ ２ ０ ３ Ａ
决策属性集 。对于 每个属性 ａ Ｒ， 为 它的值域 。每个属
性有一个决策函数 ｆ： Ｒ＿ 。 Ｕｘ ÷
约简。
定义 ２把 一个给定 的决策表 的属性 区分 的信 息用一个 差别 向量组来表示 ，即 Ｅ ＝（ 日 Ｅ …， ）， 的任一项 Ｅ ， ， Ｅ 它 元素 Ｅ ＝（ｉ Ｏ， ， １ ， ｎ ， Ｇ ）（ ， …，） 其中 ， ２ ０为可 区分对象对 ；
定义 ３在一个决策表 Ｓ＝ Ｕ， ，， ＜ ＲＶ ｆ＞中， Ｒ＝ ＣｕＤ ， 设 Ｍ ＝（ 为差别矩阵 ，Ｖ ｍ） ＰｃＣ，若 Ｐ满足 ：
（） ≠ｍ ∈Ｍ ，有 Ｐ ， ； １Ｖ ｎｍ， ≠
（） ａ ２ Ｖ ∈Ｐ， Ｐ ＝Ｐ一 Ⅱ 均 不 满 足（） ｛｝ １。
方法将信息系统中所有有关属性 的区分信 息都浓缩进一个矩
阵中， 目前很 多属性约简算法都是基于区分矩阵或在 此基础 上进行改进 的 。文献［】 ７指出 由 Ｈ ｕ提 出的基于差别矩阵的 求核 方法 求 出的核与基 于正 区域 的属 性约 简的核 是不等价
则称 Ｐ是 Ｃ关于 Ｄ 的一个属性约简。
定理 在一个概 率向量中 ， 如果其 中的某一项元素取值为 １ ，则该元素所对应 的属性为原信息表 的核属性 。
［ ｓｒｃ］Ａｔ ｂ ｔｒｄ ｃｉｎｉ ｔｅｂｓｃ ｒｂｅ ｏ ｕ ｈｓｔｔｅｒ． ｔｏ ｒ ｎｍａ ａｔｂ ｔｓ ｅｕ ｔ ｎｉ ｃ ｎｉｅ ｔ ｅ ｉｏ ｂｅｉ Ａｂｔａ ｔ ｔｉｕｅ ｅ ｕｔ ｓｈ ａｉ ｏ ｌｍ ｆ ｏ ｇ ｓ ｈｏｙ Ａｍｅ ｄｆ ｉ ｌｔ ｉｕｅ ｄ ｃｉ ｏ ｓ ｔｎ ｃｓ ｎｔ ｌ ｒ ｏ ｐ ｒ ｅ ｈ ｏ ｍｉ ｒ ｒ ｏ ｎ ｓ ｄ ｉ ａ ｓ
向量组 ，计算每个属性在 区分 ２ 个对象 的属性集合 中出现 的概率 ，作为属性重要性 的启发式信息 ，建立最小属性约简树 ，得到属性约筒 。
分析结果表 明，该方法可 以获得 所有 的最小属性约筒 。 关健词 ：粗糙集 ；决策表 ；差 别属性集 ；差 别向量组 ；最小属性 约简树 ；最小属性约 筒
２ 相关概念
定义 １决策表定义为 Ｓ＝ ＲＶ ｆ＞， Ｒ＝ＣｕＤ为属 ＜Ｕ，， ，
性集合 ，其中 ，Ｕ是对 象的有限集 ；Ｃ是条件属性集 ；Ｄ是
所 以，一个属性约筒即能将 所有对象 区分开 的属性 的集合 ，
一
个最小属性约简即能将对象 区分 开的属性个数最少 的属性
本文讨论的方法是根据差 别矩 阵的求核原理 ，所 以，只
第３ 卷 ８
第 ４期
于海燕 ，乔晓东 ：一种 完备 的最 小属 性约简方法
４ ７
１０ ０ ％地 覆盖整个 训练集 ，且对象之 间都能 区分开 。
（） ， １Ｃ 只能将 Ｃ对应 的对 象区分，则新属性集合为一个约 ｉ 简 ，且 属 性个 数 与 ｛ Ｃ ｝ 等 ，原 约 简为 最 小属 性 Ｃ ｃ， ｎ 相 ， …， 约简。 （） ， ２ Ｃ 不能将 Ｃ对应 的对象 区分 ， ｉ 则新属性集合不是一个
约简 ，需要另外选择属性 区分 ，这 时属性约简 中的属性个 数大于约 筒 ｛ Ｃ ｝ ｃ ｃ， 中的属性 个数 ，所 以原属性 约简仍 ， …，
为最小 属性 约简。
根据这个思路 ，首先将核属性加入约简 ，将包含核属性 的元素删除 ，在剩余 的元素 中继续寻找能 区分其余对象 的属 性 。在 剩余的元素 中，每个元素包含 的属性 中至少要有一个
证 明： 令概率 向量 中的任意一项 ｆａ） ，， ，， ｍ， （ ＝１ ＝Ｉ …， ２
因 为 Ｆ ＝（ （ ，（： …， （，） ｆａ） ｌｌ ，，所 以 Ｉ ， ）ｆａ） ． ａ ） ， （，＝ ／Ｃ ｌ ． ， ｆ Ｃｌ ＝ １ 也 就 是 在 相 应 的 区 分 对 象 的差 别 属 性 集 只 有 该 概 率 向 量 ，
［ ｙｗｏ ｄ ｒｕ ｈｓｔ ｄ ｃｓ ｎｔｂｅ ｄｓｅｎｂｅａｔｂ ｔ ｓｔ ｉ ｅｎｂｅ ｖｃｏ ｒ ｙ ｍｉｉ ｌ ｔｉｕｅｒｄ ｃｉｎｔ ｅ ｍｉｉ ｌ ｔｉｕｅ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｇ ｅ； ｅｉｉ ａｌ； ｉ ｒｉｌ ｔ ｉｕｅ ｅ；ｄｓ ｒｉｌ ｅ ｔｒａｒ ； ｎｍａ ａｔｂ ｔ ｅ ｕｔ ｒ ； ｎｍａ ａｔｂ ｔ Ｉ ｏ ｃ ｒ ｃ ａ ｒ ｏ ｅ ｒ
属性来区分其对应 的 ２个对 象 ，即属 性约简中至少 要包含其 中的一个属性 ，属性个数越少 ，被选 中的概率越大 ，以此概
（） ３ Ｃ不仅能 区分 Ｃ，且能 区分其他对象 ，设被 区分 的对 ，
象对 为 Ｏ ，则 Ｃ 必属于能将 区分开 的属性子 集 ，且 Ｃ 在 ｋ ， ， 这里的对应概率为 Ｐ ，即 Ｐ ＝Ｐ ，因为 Ｐ ≥Ｐ ≥Ｐ ， ， ，对于 概 率大于 等于 Ｐ 的属性 都在 最小属性 约简树 中处理过 ， 所以 不属于新 的约简情况 。
织 ，数据挖掘 ，粒 度计算；乔晓东，研究员、硕士
量 ，Ｆ＝（ （． ．ａ） ｆ ａ ） ，它的每一项表示该属性出现 ， “）ｆ ， （ ） ， （ …，
的概率 ， ｍ为属性个数 ，令 ／ ，， ｍ： ＝１ …， ２
收稿 日 ：２ １ ０—６ 期 ０１ ８２ —
Ｅｍａ ：ｙｈ ａ６ ＠１３ ｏ ・ ｉ ｕｙｎቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ６ ． ｍ ｌ ｃ
中图分类号：Ｔ３１２ Ｐ１１ ．
种 完备 的 最 小属 性 约 简 方 法
于海燕 ，乔 晓东
（ 中国科 学技术信 息研究所信息技 术支持 中心，北京 １０ ３） ００ ８
摘
要 ：为解决粗糙集 中的属性 约简问题 ， 出一种 完备 的最小属性约简 方法 。将差别矩阵中所有有关属性 区分的信息都浓缩进一个差别 提
率作为属性的重要性 ，每个属性被选 中的概率为该元素包含 的属 性个数分之一 ，选择重要性大 的属性加入约简 ，然后删 除包含该属性的元素 ，重复这个过程 ，直到所有对象都被 区
分开 。
综上所述 ，该方法得到的属性 约简是属性个数最少的 ，
即为最 小属性约筒 。 ４２ 完备性证 明 ． 证明： 根据 Ｐ ｗｌ ａ ａ ｋ的定义 ，若属性集 Ｐ亡Ｃ是给定决策
在差别矩 阵中， 属性组合数为 １的元素表 明除该属性外 ， 其余条件属性无法将该元素对应 ２条 决策属性 不同的对 象区
分开 ，即该属性必须保 留，与决策表 中核属性 的概念一致 ， 所以 ，矩阵中所有属性组合 数为 １的属性 均为决策 表的核属 性 ，所有包含核属性 的元素所对应 的对象都可 以由核属性 与 其他对象 区分开 。
Ｃｏ ｐ ｅ ｅＭ ｉ ｉ ａ ｔ ｉ ｕ ｅＲｅ ｕ ｔｏ ｅ ｈ ｄ ｍ ｌ ｔ ｎ ｍ ｌ Ａｔｒ ｂ ｔ ｄ ｃ ｉ ｎ Ｍ ｔ ｏ
ＹＵ Ｈ ｉ ａ ． ＡＯ ａ － ｏ ｇ ａ － ｎ ＱＩ Ｘｉｏｄ ｎ ｙ
（ｎｏｍａｉｎＴ ｃｎ ｌｇ ｕ ｐ ｒＣ ｎｅ，ｎｔｕｅｏ ｃｅｔ ｉａ ｄＴ ｃ ｎ ａ Ｉｆｒ ｔ ｎｏ ｈｎ ， ｅ ｉｇ１０ ３ ， ｉａ Ｉｆｒ ｔ ｅｈ ｏｏ ｙＳ ｐ ｏｔ ｅ ｔ Ｉｓｔｔ ｆ ｉｎｉｃ ｎ ｅｈ ｉ ｌｎｏｍａｉ ｆ ｉａ Ｂ ｉｎ ０ ０ ８ Ｃｈｎ ） ｏ ｒ ｉ Ｓ ｆ ｃ ｏ Ｃ ｊ
最小 属性约简 ，并证明该方法是完备 的，且用该方法能得到 所有最小属性约简 。
（） ２对任意 的 ∈Ｐ， Ｐ Ｓ－ ｝ ≠Ｐ Ｓ （ 。 Ｏ ｅ ａＤ） Ｏ Ｄ） ｌ（ 如果一 个属性 约简 算法求得 的属性 集 同时满足条 件（） １
最小属性约简算法的具体步骤如下 ： 输入 训练数据
ｐ ｏ ｏｓ ｄ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｒ ｐ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ Ｔｈ ｉｃ ｒ ｉ ｌ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｉ ｏ ｉｔ ｎ ｅ ｉ ｉ ｎ ｔ ｂ ｅ ｓ ｄ ｓ ｒｂ ｄ ｗｉ ｉｃ ｒ ｉ ｌ ｅ ｔ ｒ ａ ｒ ｙ ｅ ｄ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｃ ｎｓｓｅ ｔｄ ｃ ｓ ｏ ａ ｌ ｓ ｉ ｅ ｃ ｉ ｅ ｔ ｄ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｖ ｃ ｏ ｒａ ．Ａ ｎｉ ｌａ ｔｉ ｕ ｅ ｏ ｈ ｍｉ ｍａ ｔｒｂ ｔ