一类抛物型方程反问题的数值解法_葛美宝
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Q t
( 5) 考虑泛函的最小化问题 : 求 5, 使 0 I J ( infJ ( ) 0 ) = I 5
( 6)
证明: 方程 ( 2 ) 两边同乘以 u, 然后在 Q t 上积 u u dx dt = Q (a u + Q u ) dx dt] Q dx = a Q ud( u ) dt + u Q1 Q 2 QQQ( t) u dx d t
2 2 5u 2 1 m ax + u( #, t) +H 0 ( R ) + a + +H 0 (QT ) F 2 t0 F t F T 5x
E K N ( x ), x I
m m 0
M
L = [ c, d ]
( 8)
考虑近似反问题: 求 U l I
UlI 5 l
5 l, 使 ( 9)
in f J ( Ul )
第 29 卷 第 3 期 2006 年 9 月
东
JOURNA L O F
华
EAST
理
工
学
院
学
报
CH I NA
I N ST I TUTE O F TECHNOLOGY
Vol 1 29 N o 13 Sep . 2006
一类抛物型方程反问题的数值解法
葛美宝,
摘
徐定华,
王泽文,
张
344000 )
文
( 东华理工学院数学与信息科学学院 , 江西 抚州
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 证毕。
对于给定的初始分布 l , 问题 ( FP ) 的解可表 示为 u[ l ] = u( xБайду номын сангаас t ; l ) 。 由于问题 ( FP) 的 线性 性, 映射 l v u (x, t ; l ) 是线性的, 因此 u [l ] = u 5 , 问题 ( FP)
2
算法设计思想和步骤
对于给定的初始分布函数 I
m= 1
E
M
= K m N m (x)
m= 1
E
M
K mu[N m ]
( 10 )
用下面的形式 , 重新 写出近似 泛函 J (l ) = J ( K), K = ( K 1, K 2, L, K M ) I R
M M
的解表示为 u[ ] = u ( x, t; )。 令 W = W( x ) 为给 定的函数 ( 测量得到的数据 ), 其中 x I R。 如果对某 个函数 I 5 , 解 u( x, t; ) 满足附加条件 ( 4 ), 也 就是当 u (x, t ; ) | t= T = W( x ), 则 = ( x ) 是 ( BP ) 问题的解。 引进泛函:
2 2 1 xx t t Q t +] -] t 2 2 t t +] -] x
0 0
( 7)
定义 1 若存在初始分布函数 0 I 5 , 使得 J ( , 则称函数 0 ) = 0 0 = (x ) 为 ( BP ) 问题的精 确解 ; 否则 , 称最小化问题 ( 7 ) 的解为 ( BP) 问题的 拟解。 由文献 ( Den isov, 1999 ) 可知, 在一些自然条件 下, 泛函 ( 6) 关于初始条件 ( 1 ) 是连续的。 所以只要 构造一个可允许的紧集 5 , 对于连续的泛函 J ( ), 可知问题的解存在 , 也就是说反问题 ( BP) 的一个 拟解存在。 因此, 现在的问题是如何设计一个既稳 定又精确的求解反问题的数值算法。 下面 运 用配 置 法 ( C o llocat ion M ethod , 简称 CM ) 求解反问题。 对于 给 定 初 始 数 据 的 插 值 , 可 以 使 用 L a rgrang e型的线性插值基函数 N , m = N m ( x ), m = 1 2 , +, M (易大义等, 1998 ), 为了方便求解, 把定义域 的区间限定为有限区间 [ c, d ] 。 若给定初始分布函 数 ( x ) = N , 2 , +, M, 其中 x I L = [ c, m ( x ), m = 1 d ], 则 ( FP ) 问题 的解可表 示为: u [ N ; m ] = u( x, t N ) 。 m 然后引进新的初始分布如下 : l (x) = J( U ) =
5 u( x, t) 5 2 u ( x, t) = a2 + Q( t) u ( x, t) , 5t 5 x2 u ( x, t) = 0 , | x| v + ] u ( x, T ) = W( x ) , x I R, T 为某固定时刻
( x, t) I QT
( 2) ( 3) ( 4)
其中 a为方程系数 , Q ( t ) ( t0 F t < T ) 为一个衰减函 数。 关于抛物型方程反问题的数值解法 , 目前已有 两种方法 : 一种是拟解法; 另一种是拟逆法。 从应用 的角度而言, 求出方程有意义的数值解比对方程解 的性质作定性理论分析更为重要。 拟解法 ( D en isov , 1999) 的 主要思想是通过引 入一个辅助函数, 把原问题转化为一个最小化的问 题, 这个辅助函数依赖于方程中的一个未知函数, 如方程系数、 一个源或初始数据, 通常这个最小化 问题是不适定的; 然后, 用 T ikhonov 正则化方法把 它转化为一个几乎适定的最小化问题。 由于方法的 普遍性和易实现性 , 拟解法在反问题中有非常广泛 的应用。
0
代入边界条件 ( 3 ), 得 1 2
+] -]
u dx + a Q u dx d t - Q Q( t) u dx dt = Q Q Q 1 dx 2 Q
2 2 t +] t0 - ] 2 x t +] -] 2 t0 +] -] 2
因为 Q ( t) F Q , 可以得出 1 F Q 2 < 0 1 2
偏微分方程反问题 (W e i et a.l , 2002 ; A lem dar et a. l , 2001 ; E lden , 1982 ; Den isor , 1999) 是一个十 分重要的数学分支, 在地球物理、 生物医学、 材料科 学、 金融工程和工程控制等领域都有广泛应用 ( 刘 继军, 2005 ; 徐定华, 2001 ; 徐定华, 2003) 。如大量 抛物型方程的反问题以不同的形式出现在热传导、 材料学、 流体 学及工 程科 学的 实际 应 用中。 A le m dar 等 ( 2001) 讨论了在三维空间中含有自伴椭圆 算子抛物型方程的反问题。本文在此基础上对一 类二阶抛物型方程的反问题进行研究 , 提出了该问 题的数值解法。 近 30多年来 , 对反应扩散方程的研究日益受 到重视 ( 叶其孝等 , 1999) 。一方面 , 因为这类方程 有着强烈的实际背景, 涉及到物理学、 化学和生物 学众多的数学模型; 另一方面, 也对数学提出了许 多挑战性的问题 , 这些都有待于去解决。 本文讨论的是数值求解在一个无界区域和一 个较大的时间间隔中的二阶抛物型方程的反问题。 为了叙述简单起见, 仅以一维区域为例。本文方法 对高维情况同样适用 ( A lem dar et a.l , 2001)。 反问题 ( Backw ard P rob lem in T i me , 以下简称 BP) 设 R = (- ] , + ] ), QT = R @ [ 0 , T ], 求函数 ( x ) S u( x, t0 ), 0 F t0 < T 其中 u ( x, t) 是下面问题的解 ( 1)
0 l m=1
+]
2
t0 - ]
由分部积分 , 代入初始条件 ( 1 ) 得 u dx = a dt - a Q u dx dt + uu Q Q Q 1 dx QQQ( t) u dx d t + 2 Q 1 2
+] -] 2 2 t +] -] 2 t +] t0 x t0 - ] 2 x t t +] -] 2 +] -] 2
l
{ u [ N ] u[ N ] } | Q W( x ) { u [ N ] } | Q
k m l m
t= T
dx, ( 14)
t= T
dx
4
数值实现
因此, 配置方法 ( CM ) 可以简要概述如下: step1 : 对于每一个初始分布 N m = N m ( x ), m = 1 , 2 , +, M, 求解正问题 ( FP ); step2 : 利用 ( 14 ) 计算矩阵 A 和向量 b; step3 : 用截断奇异值分解法求解线性方程组 ( 13); step4 : 利用插值公式 ( 8 ), 储存初始分布函数。
0
收稿日期: 2006 -06 -06 基金项目: 国家自然科学基金 ( 10561001) 作者简介: 葛美宝 ( 1981) ) , 男, 硕士 研究生, 从事数学 物理方程反 问题 的研究。
T ), 且 ( x ) I H (R ), 若 u I C 是问题 ( 1 ) ) ( 3 )
0
]
的解 , 则对一切 t F T 有下面稳定性估计 :
284
东 华
理
工
学
院
学
报
2006年
2 1 m ax + u ( #, t) + 2 0 5u + 2 0 H (R ) + a + H (Q ) F t 2 t 0F tF T 5x
J ( ) = { [ u (x, t ; ) | t= T - W( x ) ] dx }
2 R
Q
1 /2
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 分 , 可得
J ( K) =
L
Q E K u[ N (x ) ]
m m m=1
t= T
- W(x )
2
dx ( 11 )
可知近似反问题的未知参数是 K 1, K 2, L, K M。 则从条件
第 3期
葛美宝等 : 一类抛物型方程反问题的数值解法
285
k k k
5 J ( K, K , L, K ) = 0 1 2 M 5K k k = 1 , 2 , L, M 得到关于 K k 的线性代数方程组 :
k+ 1
k
Ea
M
km
K m = bk 或
( 13) A K = b, 其中 A = ( akm ),
k= 1 , 2 , +, M
定的。 当然也可选用其它差分格式, 现在已有很多 显格式和隐格式的差分方法 , 如 C rank N icho lson 格 式, 该格式是无条件稳定的。
b = ( b1, b2, L, bM ) 有 akm = bk =
1
正问题的稳定性估计
对于每一个给定的 = ( x ), 它是从某个可
容许 集 合 5 中 选取 , 正 问题 ( 1 ) ) ( 3 ) ( F orw ard prob lem, 以下简称 FP ), 可知在一定的自然条件下, 正问题 ( 1 ) ) ( 3 ) 的解存在且唯一。 对于抛物型方 程的正问题, 令 Q t = R @ ( t0, t ), 有如下正问题的稳 定性结果 : Th 1 . 1 假设方程 ( 1 ) 系数 Q( t) 满足条件 : 当 t0 F t F T 时, Q ( t) F Q , Q( t) I H ( t0, 1 F Q 2 < 0
要 : 讨论了一类二阶抛物型方程反问题的数值解法 。 应用拟 解法的思 想 , 把原问 题分解为 一系列适 定的正问 题和一
个不适定的线性代数方程组 。 对于相应的正问题 , 证明了解连 续依赖于 初始分布 , 由此得到 了在时刻 的稳定性 估计 。 使 用古典欧拉差分格式求解正问题和用截断奇异值分解法求解病态方程组 。 数值结果显示数值解与理论解吻合很好 。 关键词 : 抛物型方程 ; 反问题 ; 拟解法 ; 数值解 中图分类号 : O 175 . 26 文献标识码 : A 文章编号 : 1000- 2251( 2006) 03 - 282- 06
m= 1
( 12)
- ui 2 u i- 1 - 2ui + u i+ 1 k = a + Q( tk ) ui ( 16 ) S h 其中 0 F i F M - 1 , 0 F k FN - 1 ui 这里选用了常用的差分格式 ) 古典 Eu ler 差 分格式, 只有满足步长比 r F 1 时 , 该格式才是稳 2
+] -]
1 u dx + a Q u dx d t F dx Q Q 2 Q
2 2 t +] -] t0 2 x +] -] 2
重写上面的不等式, 有 1 2 2 5u 2 + u (#, t) + H 0 ( R ) + a + +H 0 (Q T ) F 2 5x 1 2 ++ H 0 ( R ) 2 得到稳定性估计 :
( 5) 考虑泛函的最小化问题 : 求 5, 使 0 I J ( infJ ( ) 0 ) = I 5
( 6)
证明: 方程 ( 2 ) 两边同乘以 u, 然后在 Q t 上积 u u dx dt = Q (a u + Q u ) dx dt] Q dx = a Q ud( u ) dt + u Q1 Q 2 QQQ( t) u dx d t
2 2 5u 2 1 m ax + u( #, t) +H 0 ( R ) + a + +H 0 (QT ) F 2 t0 F t F T 5x
E K N ( x ), x I
m m 0
M
L = [ c, d ]
( 8)
考虑近似反问题: 求 U l I
UlI 5 l
5 l, 使 ( 9)
in f J ( Ul )
第 29 卷 第 3 期 2006 年 9 月
东
JOURNA L O F
华
EAST
理
工
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CH I NA
I N ST I TUTE O F TECHNOLOGY
Vol 1 29 N o 13 Sep . 2006
一类抛物型方程反问题的数值解法
葛美宝,
摘
徐定华,
王泽文,
张
344000 )
文
( 东华理工学院数学与信息科学学院 , 江西 抚州
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 证毕。
对于给定的初始分布 l , 问题 ( FP ) 的解可表 示为 u[ l ] = u( xБайду номын сангаас t ; l ) 。 由于问题 ( FP) 的 线性 性, 映射 l v u (x, t ; l ) 是线性的, 因此 u [l ] = u 5 , 问题 ( FP)
2
算法设计思想和步骤
对于给定的初始分布函数 I
m= 1
E
M
= K m N m (x)
m= 1
E
M
K mu[N m ]
( 10 )
用下面的形式 , 重新 写出近似 泛函 J (l ) = J ( K), K = ( K 1, K 2, L, K M ) I R
M M
的解表示为 u[ ] = u ( x, t; )。 令 W = W( x ) 为给 定的函数 ( 测量得到的数据 ), 其中 x I R。 如果对某 个函数 I 5 , 解 u( x, t; ) 满足附加条件 ( 4 ), 也 就是当 u (x, t ; ) | t= T = W( x ), 则 = ( x ) 是 ( BP ) 问题的解。 引进泛函:
2 2 1 xx t t Q t +] -] t 2 2 t t +] -] x
0 0
( 7)
定义 1 若存在初始分布函数 0 I 5 , 使得 J ( , 则称函数 0 ) = 0 0 = (x ) 为 ( BP ) 问题的精 确解 ; 否则 , 称最小化问题 ( 7 ) 的解为 ( BP) 问题的 拟解。 由文献 ( Den isov, 1999 ) 可知, 在一些自然条件 下, 泛函 ( 6) 关于初始条件 ( 1 ) 是连续的。 所以只要 构造一个可允许的紧集 5 , 对于连续的泛函 J ( ), 可知问题的解存在 , 也就是说反问题 ( BP) 的一个 拟解存在。 因此, 现在的问题是如何设计一个既稳 定又精确的求解反问题的数值算法。 下面 运 用配 置 法 ( C o llocat ion M ethod , 简称 CM ) 求解反问题。 对于 给 定 初 始 数 据 的 插 值 , 可 以 使 用 L a rgrang e型的线性插值基函数 N , m = N m ( x ), m = 1 2 , +, M (易大义等, 1998 ), 为了方便求解, 把定义域 的区间限定为有限区间 [ c, d ] 。 若给定初始分布函 数 ( x ) = N , 2 , +, M, 其中 x I L = [ c, m ( x ), m = 1 d ], 则 ( FP ) 问题 的解可表 示为: u [ N ; m ] = u( x, t N ) 。 m 然后引进新的初始分布如下 : l (x) = J( U ) =
5 u( x, t) 5 2 u ( x, t) = a2 + Q( t) u ( x, t) , 5t 5 x2 u ( x, t) = 0 , | x| v + ] u ( x, T ) = W( x ) , x I R, T 为某固定时刻
( x, t) I QT
( 2) ( 3) ( 4)
其中 a为方程系数 , Q ( t ) ( t0 F t < T ) 为一个衰减函 数。 关于抛物型方程反问题的数值解法 , 目前已有 两种方法 : 一种是拟解法; 另一种是拟逆法。 从应用 的角度而言, 求出方程有意义的数值解比对方程解 的性质作定性理论分析更为重要。 拟解法 ( D en isov , 1999) 的 主要思想是通过引 入一个辅助函数, 把原问题转化为一个最小化的问 题, 这个辅助函数依赖于方程中的一个未知函数, 如方程系数、 一个源或初始数据, 通常这个最小化 问题是不适定的; 然后, 用 T ikhonov 正则化方法把 它转化为一个几乎适定的最小化问题。 由于方法的 普遍性和易实现性 , 拟解法在反问题中有非常广泛 的应用。
0
代入边界条件 ( 3 ), 得 1 2
+] -]
u dx + a Q u dx d t - Q Q( t) u dx dt = Q Q Q 1 dx 2 Q
2 2 t +] t0 - ] 2 x t +] -] 2 t0 +] -] 2
因为 Q ( t) F Q , 可以得出 1 F Q 2 < 0 1 2
偏微分方程反问题 (W e i et a.l , 2002 ; A lem dar et a. l , 2001 ; E lden , 1982 ; Den isor , 1999) 是一个十 分重要的数学分支, 在地球物理、 生物医学、 材料科 学、 金融工程和工程控制等领域都有广泛应用 ( 刘 继军, 2005 ; 徐定华, 2001 ; 徐定华, 2003) 。如大量 抛物型方程的反问题以不同的形式出现在热传导、 材料学、 流体 学及工 程科 学的 实际 应 用中。 A le m dar 等 ( 2001) 讨论了在三维空间中含有自伴椭圆 算子抛物型方程的反问题。本文在此基础上对一 类二阶抛物型方程的反问题进行研究 , 提出了该问 题的数值解法。 近 30多年来 , 对反应扩散方程的研究日益受 到重视 ( 叶其孝等 , 1999) 。一方面 , 因为这类方程 有着强烈的实际背景, 涉及到物理学、 化学和生物 学众多的数学模型; 另一方面, 也对数学提出了许 多挑战性的问题 , 这些都有待于去解决。 本文讨论的是数值求解在一个无界区域和一 个较大的时间间隔中的二阶抛物型方程的反问题。 为了叙述简单起见, 仅以一维区域为例。本文方法 对高维情况同样适用 ( A lem dar et a.l , 2001)。 反问题 ( Backw ard P rob lem in T i me , 以下简称 BP) 设 R = (- ] , + ] ), QT = R @ [ 0 , T ], 求函数 ( x ) S u( x, t0 ), 0 F t0 < T 其中 u ( x, t) 是下面问题的解 ( 1)
0 l m=1
+]
2
t0 - ]
由分部积分 , 代入初始条件 ( 1 ) 得 u dx = a dt - a Q u dx dt + uu Q Q Q 1 dx QQQ( t) u dx d t + 2 Q 1 2
+] -] 2 2 t +] -] 2 t +] t0 x t0 - ] 2 x t t +] -] 2 +] -] 2
l
{ u [ N ] u[ N ] } | Q W( x ) { u [ N ] } | Q
k m l m
t= T
dx, ( 14)
t= T
dx
4
数值实现
因此, 配置方法 ( CM ) 可以简要概述如下: step1 : 对于每一个初始分布 N m = N m ( x ), m = 1 , 2 , +, M, 求解正问题 ( FP ); step2 : 利用 ( 14 ) 计算矩阵 A 和向量 b; step3 : 用截断奇异值分解法求解线性方程组 ( 13); step4 : 利用插值公式 ( 8 ), 储存初始分布函数。
0
收稿日期: 2006 -06 -06 基金项目: 国家自然科学基金 ( 10561001) 作者简介: 葛美宝 ( 1981) ) , 男, 硕士 研究生, 从事数学 物理方程反 问题 的研究。
T ), 且 ( x ) I H (R ), 若 u I C 是问题 ( 1 ) ) ( 3 )
0
]
的解 , 则对一切 t F T 有下面稳定性估计 :
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2006年
2 1 m ax + u ( #, t) + 2 0 5u + 2 0 H (R ) + a + H (Q ) F t 2 t 0F tF T 5x
J ( ) = { [ u (x, t ; ) | t= T - W( x ) ] dx }
2 R
Q
1 /2
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 分 , 可得
J ( K) =
L
Q E K u[ N (x ) ]
m m m=1
t= T
- W(x )
2
dx ( 11 )
可知近似反问题的未知参数是 K 1, K 2, L, K M。 则从条件
第 3期
葛美宝等 : 一类抛物型方程反问题的数值解法
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k k k
5 J ( K, K , L, K ) = 0 1 2 M 5K k k = 1 , 2 , L, M 得到关于 K k 的线性代数方程组 :
k+ 1
k
Ea
M
km
K m = bk 或
( 13) A K = b, 其中 A = ( akm ),
k= 1 , 2 , +, M
定的。 当然也可选用其它差分格式, 现在已有很多 显格式和隐格式的差分方法 , 如 C rank N icho lson 格 式, 该格式是无条件稳定的。
b = ( b1, b2, L, bM ) 有 akm = bk =
1
正问题的稳定性估计
对于每一个给定的 = ( x ), 它是从某个可
容许 集 合 5 中 选取 , 正 问题 ( 1 ) ) ( 3 ) ( F orw ard prob lem, 以下简称 FP ), 可知在一定的自然条件下, 正问题 ( 1 ) ) ( 3 ) 的解存在且唯一。 对于抛物型方 程的正问题, 令 Q t = R @ ( t0, t ), 有如下正问题的稳 定性结果 : Th 1 . 1 假设方程 ( 1 ) 系数 Q( t) 满足条件 : 当 t0 F t F T 时, Q ( t) F Q , Q( t) I H ( t0, 1 F Q 2 < 0
要 : 讨论了一类二阶抛物型方程反问题的数值解法 。 应用拟 解法的思 想 , 把原问 题分解为 一系列适 定的正问 题和一
个不适定的线性代数方程组 。 对于相应的正问题 , 证明了解连 续依赖于 初始分布 , 由此得到 了在时刻 的稳定性 估计 。 使 用古典欧拉差分格式求解正问题和用截断奇异值分解法求解病态方程组 。 数值结果显示数值解与理论解吻合很好 。 关键词 : 抛物型方程 ; 反问题 ; 拟解法 ; 数值解 中图分类号 : O 175 . 26 文献标识码 : A 文章编号 : 1000- 2251( 2006) 03 - 282- 06
m= 1
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- ui 2 u i- 1 - 2ui + u i+ 1 k = a + Q( tk ) ui ( 16 ) S h 其中 0 F i F M - 1 , 0 F k FN - 1 ui 这里选用了常用的差分格式 ) 古典 Eu ler 差 分格式, 只有满足步长比 r F 1 时 , 该格式才是稳 2
+] -]
1 u dx + a Q u dx d t F dx Q Q 2 Q
2 2 t +] -] t0 2 x +] -] 2
重写上面的不等式, 有 1 2 2 5u 2 + u (#, t) + H 0 ( R ) + a + +H 0 (Q T ) F 2 5x 1 2 ++ H 0 ( R ) 2 得到稳定性估计 :