一类抛物型方程反问题的数值解法_葛美宝

k+ 1
k
Ea
M
km
K m = bk 或
( 13) A K = b, 其中 A = ( akm ),
k= 1 , 2 , +, M
定的。 当然也可选用其它差分格式, 现在已有很多 显格式和隐格式的差分方法 , 如 C rank N icho lson 格 式, 该格式是无条件稳定的。
b = ( b1, b2, L, bM ) 有 akm = bk =
Q t
( 5) 考虑泛函的最小化问题 : 求 5, 使 0 I J ( infJ ( ) 0 ) = I 5
( 6)
证明: 方程 ( 2 ) 两边同乘以 u, 然后在 Q t 上积 u u dx dt = Q (a u + Q u ) dx dt] Q dx = a Q ud( u ) dt + u Q1 Q 2 QQQ( t) u dx d t
0 l m=1
+]
2
t0 - ]
由分部积分 , 代入初始条件 ( 1 ) 得 u dx = a dt - a Q u dx dt + uu Q Q Q 1 dx QQQ( t) u dx d t + 2 Q 1 2
+] -] 2 2 t +] -] 2 t +] t0 x t0 - ] 2 x t t +] -] 2 +] -] 2
+] -]
1 u dx + a Q u dx d t F dx Q Q 2 Q
2 2 t +] -] t0 2 x +] -] 2
重写上面的不等式, 有 1 2 2 5u 2 + u (#, t) + H 0 ( R ) + a + +H 0 (Q T ) F 2 5x 1 2 ++ H 0 ( R ) 2 得到稳定性估计 :
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 证毕。
对于给定的初始分布 l , 问题 ( FP ) 的解可表 示为 u[ l ] = u( x, t ; l ) 。 由于问题 ( FP) 的 线性 性, 映射 l v u (x, t ; l ) 是线性的, 因此 u [l ] = u 5 , 问题 ( FP)
5 u( x, t) 5 2 u ( x, t) = a2 + Q( t) u ( x, t) , 5t 5 x2 u ( x, t) = 0 , | x| v + ] u ( x, T ) = W( x ) , x I R, T 为某固定时刻
( x, t) I QT
( 2) ( 3) ( 4)
其中 a为方程系数 , Q ( t ) ( t0 F t < T ) 为一个衰减函 数。 关于抛物型方程反问题的数值解法 , 目前已有 两种方法 : 一种是拟解法; 另一种是拟逆法。 从应用 的角度而言, 求出方程有意义的数值解比对方程解 的性质作定性理论分析更为重要。 拟解法 ( D en isov , 1999) 的 主要思想是通过引 入一个辅助函数, 把原问题转化为一个最小化的问 题, 这个辅助函数依赖于方程中的一个未知函数, 如方程系数、 一个源或初始数据, 通常这个最小化 问题是不适定的; 然后, 用 T ikhonov 正则化方法把 它转化为一个几乎适定的最小化问题。 由于方法的 普遍性和易实现性 , 拟解法在反问题中有非常广泛 的应用。
m= 1
( 12)
- ui 2 u i- 1 - 2ui + u i+ 1 k = a + Q( tk ) ui ( 16 ) S h 其中 0 F i F M - 1 , 0 F k FN - 1 ui 这里选用了常用的差分格式 ) 古典 Eu ler 差 分格式, 只有满足步长比 r F 1 时 , 该格式才是稳 2
偏微分方程反问题 (W e i et a.l , 2002 ; A lem dar et a. l , 2001 ; E lden , 1982 ; Den isor , 1999) 是一个十 分重要的数学分支, 在地球物理、 生物医学、 材料科 学、 金融工程和工程控制等领域都有广泛应用 ( 刘 继军, 2005 ; 徐定华, 2001 ; 徐定华, 2003) 。如大量 抛物型方程的反问题以不同的形式出现在热传导、 材料学、 流体 学及工 程科 学的 实际 应 用中。 A le m dar 等 ( 2001) 讨论了在三维空间中含有自伴椭圆 算子抛物型方程的反问题。本文在此基础上对一 类二阶抛物型方程的反问题进行研究 , 提出了该问 题的数值解法。 近 30多年来 , 对反应扩散方程的研究日益受 到重视 ( 叶其孝等 , 1999) 。一方面 , 因为这类方程 有着强烈的实际背景, 涉及到物理学、 化学和生物 学众多的数学模型; 另一方面, 也对数学提出了许 多挑战性的问题 , 这些都有待于去解决。 本文讨论的是数值求解在一个无界区域和一 个较大的时间间隔中的二阶抛物型方程的反问题。 为了叙述简单起见, 仅以一维区域为例。本文方法 对高维情况同样适用 ( A lem dar et a.l , 2001)。 反问题 ( Backw ard P rob lem in T i me , 以下简称 BP) 设 R = (- ] , + ] ), QT = R @ [ 0 , T ], 求函数 ( x ) S u( x, t0 ), 0 F t0 < T 其中 u ( x, t) 是下面问题的解 ( 1)
0
代入边界条件 ( 3 ), 得 1 2
+] -]
u dx + a Q u dx d t - Q Q( t) u dx dt = Q Q Q 1 dx 2 Q
2 2 t +] t0 - ] 2 x t +] -] 2 t0 +] -] 2
因为 Q ( t) F Q , 可以得出 1 F Q 2 < 0 1 2
J ( K) =
Lห้องสมุดไป่ตู้
Q E K u[ N (x ) ]
m m m=1
t= T
- W(x )
2
dx ( 11 )
可知近似反问题的未知参数是 K 1, K 2, L, K M。 则从条件
第 3期
葛美宝等 : 一类抛物型方程反问题的数值解法
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k k k
5 J ( K, K , L, K ) = 0 1 2 M 5K k k = 1 , 2 , L, M 得到关于 K k 的线性代数方程组 :
2 2 5u 2 1 m ax + u( #, t) +H 0 ( R ) + a + +H 0 (QT ) F 2 t0 F t F T 5x
E K N ( x ), x I
m m 0
M
L = [ c, d ]
( 8)
考虑近似反问题: 求 U l I
UlI 5 l
5 l, 使 ( 9)
in f J ( Ul )
2 2 1 xx t t Q t +] -] t 2 2 t t +] -] x
0 0
( 7)
定义 1 若存在初始分布函数 0 I 5 , 使得 J ( , 则称函数 0 ) = 0 0 = (x ) 为 ( BP ) 问题的精 确解 ; 否则 , 称最小化问题 ( 7 ) 的解为 ( BP) 问题的 拟解。 由文献 ( Den isov, 1999 ) 可知, 在一些自然条件 下, 泛函 ( 6) 关于初始条件 ( 1 ) 是连续的。 所以只要 构造一个可允许的紧集 5 , 对于连续的泛函 J ( ), 可知问题的解存在 , 也就是说反问题 ( BP) 的一个 拟解存在。 因此, 现在的问题是如何设计一个既稳 定又精确的求解反问题的数值算法。 下面 运 用配 置 法 ( C o llocat ion M ethod , 简称 CM ) 求解反问题。 对于 给 定 初 始 数 据 的 插 值 , 可 以 使 用 L a rgrang e型的线性插值基函数 N , m = N m ( x ), m = 1 2 , +, M (易大义等, 1998 ), 为了方便求解, 把定义域 的区间限定为有限区间 [ c, d ] 。 若给定初始分布函 数 ( x ) = N , 2 , +, M, 其中 x I L = [ c, m ( x ), m = 1 d ], 则 ( FP ) 问题 的解可表 示为: u [ N ; m ] = u( x, t N ) 。 m 然后引进新的初始分布如下 : l (x) = J( U ) =
l
{ u [ N ] u[ N ] } | Q W( x ) { u [ N ] } | Q
k m l m
t= T
dx, ( 14)
t= T
dx
4
数值实现
因此, 配置方法 ( CM ) 可以简要概述如下: step1 : 对于每一个初始分布 N m = N m ( x ), m = 1 , 2 , +, M, 求解正问题 ( FP ); step2 : 利用 ( 14 ) 计算矩阵 A 和向量 b; step3 : 用截断奇异值分解法求解线性方程组 ( 13); step4 : 利用插值公式 ( 8 ), 储存初始分布函数。
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东 华
理
工
学
院
学
报
2006年
2 1 m ax + u ( #, t) + 2 0 5u + 2 0 H (R ) + a + H (Q ) F t 2 t 0F tF T 5x
J ( ) = { [ u (x, t ; ) | t= T - W( x ) ] dx }
2 R
Q
1 /2
1 2 ++ H 0 ( R ) 2 分 , 可得