第二章张量分析

若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai gi ，则
div a grr (ai gi )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
)gk
ak
k ip
gp]
iakgigk ak kipgig p
k p
iakgigk ap pikgigk
(iak ap pik )gi gk iak gi gk
来自百度文库
其中
i ak
ak ;i
iak
ap
p ik
称为矢量ak 的协变导数。
2.10.1协变导数
作业：证明矢量 ak 的协变导数为
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
g)
1( g
gar ),r
2.10.3旋度
设 T T ij k gi g j gk
curlT T grr (T ij kgig jgk ) gr gir (T ij kg jgk )
gil g r
glr
(T
ij
kg
jgk
)
gil g s
srl r
(T
ij kg
jgk
)
gil srlrT ij k gs g j gk srlrTl j k gs j k srirTi j k gs j k
第二章 张量分析
2.10 协变导数，逆变导数
在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为
grr
2.10.1协变导数
设 T 为任意张量，则 T 构成新的张量，称为 T 的梯度。例如 T T ij k gi g j gk ，则
T grr (T ij k gi g j gk ) gr[rTij k gi g j gk T ij k (r gi g j gk r gi gj gk r gi g j gk )]
为例，在曲线坐标系下不变性微分算 子定义如下：
2.10.1 梯度
设 T T ij k gi g j gk
grad T T
grr (T ij k gi g j gk ) rT ij k gr gi g j gk rT ij k grij k
2.10.2 散度
divT T
gr
r (T ij k gi g j gk )
pj k
T j ip
rp k
T p ij rk p
称为张量T ijk 的协变导数。有些文献中记
rT ij k T ij k;r 或
分号
rT ij k T ij k |r
对于矢量 a ak gk ak gk
a gii (ak gk ) gi[(iak ) gk aki gk ]
g i [( i ak
gj
gk
g p rk i
gj
gk )]
注：换指标使各项对应的基矢量的指标相同。
2.10.1协变导数
其中：
(rT ij k
i rpT
pj k
T j ip
rp k
prkT ij p ) g r gi g j g k
rT ij k g r gi g j g k
rT ij k
rT ij k
i rpT
若 f 为标量，则有
2 f ii f i (g ill f ) i (g il l f )
g il ( f,l );i
1 g
yi
(
g
g il
f yl
)
2.11.内禀导数
da dt
a yl
dyl dt
(ak gk ) dyl yl dt
ak ;l
dyl dt
gk
ak t
gk
2.11.内禀导数
2.11.内禀导数
2.11.内禀导数
2.11.内禀导数
自习： （二）曲率张量
1）曲率张量的定义 2）曲率张量的性质（推导）