非惯性参照系+物体的平衡1

2 1
= mg cos θ − mω12 Rcosθ sinθ
(1)
故若有摩擦，则摩擦力 f 方向沿切线向上。
非惯性参照系
【解析】
(1) 于是小球的平衡方程为： 切线方向：f = mg cos θ − mω12 R cos θ sin θ (2) 法线方向： N = mg sin θ + mω12 R cos 2 θ 由 f ≤ N µ 可得： f mg cos θ − mω12 R cos θ sin θ µ≥ = N mg sin θ + mω12 R cos 2 θ 1 1 10 − 25 × × g − ω R sin θ 3 3 2 2 = = = = 0.226 2 g tan θ + ω1 R cos θ 3 1 3 23 10 × + 25 × × 3 2 2
非惯性参照系
【解析】
(1) 在转动参照系中，小球受力如图所示。故有 T cos θ = mg T sin θ = mω12 l sin θ 由 (1), (2) 式，可得 ω1 = g 10 = = 1 l cos θ 1× 2 20 rad s (1) (2)
非惯性参照系
【解析】
(2) ω = ω 2 = 2ω1 = 40 rad s 此时，小球在转动参照系中运动方程为： (T上 − T下 )cos θ = mg
ω匀速转动，为使两小球相对圆台保持静止，求ω与小 球 A 到轴的距离 x 的关系。
非惯性参照系
【解析】
在转动参照系中，(1) 若小球 A 有向外运动的趋势， 则 A、B 两球水平面内受力如图所示。 T + f = f iA = m1ω 2 x (1) T = f iB = m2ω 2 ( l − x ) (2) 由 (1), (2) 式，得 f = m1ω 2 x − m2ω 2 ( l − x ) = ( m1 + m2 )ω 2 x − m2ω 2 l 而小球 A 受到的支持力 N = m1g。
2 2
非惯性参照系
【解析】
(2)
2 R cos θ sin θ − mg cos θ (4) 切线方向：f = mω 2 2 法线方向：N = mω 2 R cos 2 θ + mg sin θ
(5)
由 f ≤ N µ 可得：
2 f mω 2 R cos θ sin θ − mg cos θ µ≥ = 2 N mω 2 R cos 2 θ + mg sin θ 1 1 64 × × − 10 2 ω2 R sin θ − g 3 3 2 2 = = 0.179 = 2 = 29 ω 2 R cos θ + g tan θ 1 3 3 64 × × − 10 × 2 2 3
2 (T上 + T下 )sin θ = mω 2 l sin θ
(3) (4)
由 (3), (4) 式可解得 1 g 1 g 2 2 ) = 30 N, T下 = m (ω 2 l − T上 = m (ω 2 l + ) = 10 N 2 cos θ 2 cos θ
【习题 9】半径为 R 的水平圆台可绕过圆心的竖直轴转 动，台面上有两相互垂直的沿半径的槽，质量分别为m1 和 m2 的两个小球 A、B 分别置于两个槽内，并用一根 长为 l 穿过轴的细绳连接。已知小球 A 与槽的摩擦系数 为μ，而小球 B 与槽之间无摩擦。现圆台绕轴以角速度
N sin α cos θ + N cos α sin θ = mg sin θ sin θ ∴N = mg sin(θ + α ) (4)
物体的平衡
【解析】
由几何关系(正弦定理)： R d+R l = = sin θ sin(θ + α ) sin α R mg 代入(4)式： N = d+R l 代入(3)式： T = mg d+R
非惯性参照系
【解析】
(3) 若小球A、 B 均无相对圆台运动的趋势， m2 此时必有 x = l ，则ω可取任何值。 m1 + m2
【习题 10】半径为 R = 0.5 m 的薄壁球壳以角速度ω绕 过球心的竖直轴匀速转动，在球壳内距底高 h = ½ R 的 内壁处，有一小球相对球壳静止，ω取以下两个值，求 小球与球壳内壁间的摩擦系数μ至少为多大？ (1)ω1 = 5 rad/s；(2)ω2 = 8 rad/s。
物体的平衡
【例题 1】质量为 m 的小球通过长为 l 的细绳与天花 板的 A 点相连，小球被搁在半径为 R 的固定半圆柱面 上，圆心 O 位于 A 点的正下方，如图所示。已知 A 点 到圆柱顶端的距离为 d，试求绳中的张力 T 以及圆柱 对小球的支持力 N。
物体的平衡
【解析】
小球受力如图所示。 x 方向：T sin θ = N sin α y 方向：T cos θ + N cos α = mg sin α 由 (1) 式： T = N sin θ 代入 (2) 式： (1) (2) (3)
非惯性参照系
新课标总结
通过习题10的学习，希望大家重视静摩擦力。 一般来说静摩擦力的大小和方向需要通过计算才 能判定，希望大家通过这个题的学习，能掌握静摩擦 力的一些特点，学会判定静摩擦力的方向。
第十一讲 物体的平衡（一）
方小敏
物体的平衡
一个物体在共点力的作用下，如果保持静止或者 做匀速直线运动，我们就说这个物体处于平衡状态。 从牛顿第二定律知道，当物体处于平衡状态时， 物体的加速度为零，即物体将保持静止或者做匀速直 线运动。 物体的平衡可以分为三类：
非惯性参照系
分析
怎么判定是 f4 还是 f5？ 在转动参照系中，小球受重力mg、 支持力 N、惯性离心力 fi (大小和方向 确定)和静摩擦力(大小和方向未知) 。 我们可以设想在接触面间无摩擦， 在无摩擦的情况下，分析小球的 图1 受力情况，从而得知小球的运动趋势。 假如小球受力不平衡，那么小球必定还受摩擦力，摩擦 力方向与小球相对运动趋势方向相反。
物体的平衡
一、质点的平衡
可以看成质点的物体：(1) 大小、线度和运动线度 相比，可以忽略的物体。(2) 做平动的物体(平动：物体 在运动过程中，物体上任两点间的连线保持平行)
二、有固定转轴物体的平衡
平衡条件和质点平衡条件不一样。
三、一般物体的平衡
即发生平动，又发生转动的物体的平衡。
物体的平衡
一、质点的平衡
怎么判定是 f4 还是 f5？ 假如重力 mg 的切向的分量 大于 惯性离心力 fi 的切向分量，小球有沿 切线向下运动的趋势，摩擦力为 f4。 反之，为 f5。 图1
非惯性参照系
分析
有没有可能为 f7？ 答案：有可能。假如重力 mg 的切向 分量等于 惯性离心力 fi 的切向分量， 小球无沿切向向上或者向下运动的趋 势，摩擦力为 f7 = 0。 有没有可能为 f6？ 图1 答案：不可能。由摩擦力的性质决定。 通过以上分析，我们知道，摩擦力有三种可能，f4、 f5、f7。
2 2 由 f ≤ N µ 可得 ( m1 + m2 )ω x − m2ω l ≤ m1 g µ
m1 g µ m2 , 且只 有 ∴ω ≤ x≥ l 才有可能。 ( m1 + m2 ) x − m2 l m1 + m2
非惯性参照系
【解析】
在转动参照系中，(2) 若小球 B 有向外运动的趋势， 则 两小球水平面内受力如图所示。 T − f = f iA = m1ω 2 x (3) T = f iB = m2ω 2 ( l − x ) (4) 由 (3), (4) 式，得 f = m2ω 2 ( l − x ) − m1ω 2 x = m2ω 2 l − ( m1 + m2 )ω 2 x 而小球 A 受到的支持力 N = m1g。 由 f ≤ N µ 可得 m2ω 2 l − ( m1 + m2 )ω 2 x ≤ m1 g µ ∴ω ≤ m2 m1 g µ l 才有可能。 , 且只有 x < m1 + m2 m2 l − ( m1 + m2 ) x
第十一讲 非惯性参照系（下）
方小敏
非惯性参照系
【习题 8】在竖直转轴上相距为 l 的 A、B 两点上各系 一根长也为 l 的细绳。两绳的另一端均系于质量为 m 的 小球上，已知 l = 1 m，m = 1 kg。 (1) 当轴以ω =ω1 转动时，图中下面的绳刚被拉直(即无 张力)，求 ω1 的值； (2) 若ω = ω2 = 2 ω1，求上、下绳中的张力 T上 和T下。
【例题 2】一质量为 m 的圆球被夹在两倾角分别为θ1 和θ2 的固定斜面之间，已知所有接触面都光滑，求两 斜面对圆球的支持力 N1 和 N2。
物体的平衡
【解析】
圆球受力如图所示。 x 方向： N 1 sin θ1 = N 2 sin θ 2 y 方向：N cos θ − N cos θ = mg 1 1 2 2 sin θ1 由 (1) 式：N 2 = N1 sin θ 2 代入 (2) 式： (1) (2) (3)
非惯性参照系
分析
怎么判定是 f4 还是 f5？ 在无摩擦的情况下，小球受到的 重力，支持力，惯性离心力 ，这三个 力都在竖直平面内。 假如小球运动的话，一定在竖直 平面内沿圆周切线方向运动。因此， 图1 我们沿切线方向进行力的分解。 支持力 N 垂直切线，因此在切线方向分力为 0。
非惯性参照系
分析
从牛顿第二定律知道，当物体所受合外力为零 时，加速度为零，物体将保持静止或者做匀速直线运 动，即物体处于平衡状态。 因此，质点的平衡条件为：合外力为零。 即
r ∑ Fi = 0
i
(1)
其分量形式为：
∑F
i
ix
= 0,
∑F
i
Leabharlann Baidu
iy
= 0,
∑F
i
iz
=0
(2)
物体的平衡
一、质点的平衡
解题途径: 当质点在几个共点力作用下平衡时，由 (1) 式可 知，把作用在质点的所有外力平移到彼此头尾相接， 定可构成一封闭的几何图形。 如质点受三个外力作用，则可构成三角形； 如质点受四个外力作用，则可构成四边形等。 很多问题可以从几何图形来求解。
物体的平衡
【解析】
r r r 本题也可以把小球所受的外力 mg , T , N 平移至头尾相 由几何关系，即可得 T l = mg d + R N R = mg d + R l ∴T = mg d+R R ∴N = mg d+R r T r N r mg
接，可构成一三角形，如右图所示。
物体的平衡
非惯性参照系
【解析】
(1) ω1 = 5 rad/s，取转动参照系。 若小球不受到摩擦力，则小球所受重力mg 和惯性离心力 fi 沿切向的分力和 F 为 F = mg cos θ − f i sinθ 1 1 = m cos θ ( g − ω Rsinθ ) = m cos θ (10 − 25 × × ) > 0 2 2 (1) 即合力方向沿切线向下。
sin θ1 N 1 cos θ1 − N 1 cos θ 2 = mg ∴ N 1 sin(θ 2 − θ1 ) = mg sin θ 2 sin θ 2 sin θ 2 sin θ1 mg 代入 (3) 式： ∴ N1 = N2 = mg sin(θ 2 − θ1 ) sin(θ 2 − θ1 )
2 1
(3)
非惯性参照系
【解析】
(2) ω2 = 8 rad/s，取转动参照系。 若小球不受到摩擦力，则小球所受重力mg 和惯性离心力 fi 沿切向的分力和 F 为 F = mg cos θ − f i sinθ
2 = mg cos θ − mω 2 Rcosθ sinθ
1 1 = m cos θ ( g − ω Rsinθ ) = m cos θ (10 − 64 × × ) < 0 2 2 可见静摩擦力的方向应是沿切线向下。
非惯性参照系
分析
小球相对球壳静止，小球有可能 受到静摩擦力作用，那么静摩擦力应 该沿什么方向？ 右图中画出了几 个可能的方向，请同 学们分析摩擦力可能 图2 沿哪些方向？ 图 2 为小球做匀速圆周运动的俯视图。 图1
非惯性参照系
分析
大家想一想，有没有可能是 f1 和 f2 ？ 答案：不可能。因为做匀速圆周运动的物体受到的合外力(向 心力)总是指向圆心的。 有没有可能是 f3？ 答案：不可能。由摩擦力的性质决定，摩擦力的方向总是跟 接触面相切,并且跟物体相对运动或相对运动趋势方向相反。 有没有可能是 f4 和 f5 ？ 答案：可能，因为静摩擦力的方向跟接触面平行或相 切，并且跟物体相对运动趋势方向相反。