竖直平面内的圆周运动临界问题(超级经典全面).

图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左 侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到 达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球 能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆 轨道的最高点时的角速度最小为( )
杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流 星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2) ( ) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
B.小球在最高点绳的拉力可能为零 C.小球在最低点绳子的拉力一定大于重力 D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最 高点的速率为
7 如下图,质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小 杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为lm，小杯通过 最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2,求： （1）在最高点时，绳的拉力？ （2）在最高点时水对小杯底的压力？ （3）为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率 是多少？
【学以致用】
1.绳系着装水的水桶，在竖直平面内 做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳 长L = 40cm，求： （１）为使桶在最高点时水不流出， 桶的最小速率？ （２）桶在最高点速率v = 4m/s时， 水对桶底的压力？
[ 练习 ]: 如图所示，轻杆的一端固定 一质量为m的小球，并以另一端O为圆 心，使小球在竖直面内做半径为 R 的 圆周运动，以下说法正确的是： BC A、小球过最高点时的起码速度为
例：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6 m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
A O
例：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长 为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平 轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求： （1）小球在最高点的速度能否等 于零？ （2）当小球在最高点的速度为多 大时，小球对杆的作用力为零？ （3）当小球在最高点的速度分别 为６m/s和1.5m/s时，杆对小球的 作用力的大小和方向
A .O C B
2、轻杆和圆管模型 ：
N
能过最高点的临界条件：
mg O
v临界＝0
杆（管的下壁）对球的支持力FN=mg
N
mg O
小结二:有支撑的物体
小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动
1、临界条件： 由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V临界=0，此时弹力 等于重力
2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
经典案例
[经典案例](9分)一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与 细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝ 0.5 kg,水的重心到转轴的距离L＝60 cm. (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率． (2)若在最高点的水桶速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．(g 取9.8 m/s^2)
Rg ；
O
B、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零；
C 、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所 受重力方向 相反，此时重 力 一定大于杆对球的作 用力； D、小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所 受重力方向相反。
应用:四、杆拉小球竖直面转动
例：长为0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于 O点，上端连有质量m=2kg的小球，它绕O点做圆 周运动，当通过最高点时，如图所示，求下列情况 下，杆受到的力（说明是拉力还是压力）：
B
巩固应用
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6 m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
A O
例2：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长 为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平 轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求： （1）小球在最高点的速度能否等 于零？ （2）当小球在最高点的速度为多 大时，小球对杆的作用力为零？ （3）当小球在最高点的速度分别 为６m/s和1.5m/s时，杆对小球的 作用力的大小和方向
例:如图所示，细杆的一端与一小球相连，可 绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度， 使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨 道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能 是 （ A、B ） A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 b D、a处为推力，b处为推力
例：用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在 竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的 是（ ） A.小球在最高点所受的向心力一定是重力 B.小球在最高点绳的拉力可能为零 C.小球在最低点绳子的拉力一定大于重力 D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则 它在最高点的速率为零
例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道 的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离 轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经 过最高点时，对轨道的压力值是（ ） A.0 B.mg C.3mg D.5mg
例：一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面 内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l ＝60 cm，g取10 m/s2 （1）最高点水不流出的最小速率? （2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底 的压力?
例：如图所示，一个半径为R的光滑半圆形轨道 放在水平面上，一个质量为m的小球以某一初速 度冲上轨道，当小球将要从轨道上沿水平方向 飞出时，轨道对小球的压力恰好为零，则小球 落地点C距B点多远？（A、B在同一竖直线上）
【解析】(1)在最高点水恰好不流出的条件： mg＝ mv0^2/L (3分) 得v0＝2.42 m/s.(1分) (2)由F＝ mv^2/R 可知，当v增大时，物体做圆周运动所需的 向心力也随之增大，由于v＝3 m/s>2.42 m/s，因此，当水在 最高点时，水自身的重力已不足以提供水做圆周运动所需的 向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿 第二定律有 FN＋mg＝ mv^2/L(3分) ∴FN＝ mv^2/L －mg＝2.6 N(1分) 根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小为2.6 N，方向 竖直向上．(1分)
a
长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一 质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点 为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小 球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆 OA受到 （ ） B
例2
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球 A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点， 试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A的速率v1＝1m／s时: ②当A的速率v2＝4m／s时:
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系 有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运 动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后 落地，如右图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的 绳长为3d/4，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力． (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2 (2)问绳能承受的最大拉力多大？ 选做 (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断 掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离 为多少？
补充题
例1:如图所示，细杆的一端与一小球相连， 可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一 初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别 表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对 球作用力可能是 （ A、B ） A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 b C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
例3：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形 轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高 点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面， 今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A 点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的 高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球 在通过D点后（ A ）
竖直平面内的临界问题
1、轻绳与轨道模型 ：
mg
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力（轨 道对球的压力）刚好等于0，小 球的重力充当圆周运动所需的向 心力。
绳
O
mg O 轨道
mg m
2
R
v临界 Rg
小结一:没有支撑的物体
细绳拴小球，圆滑轨道上滑动的小球
1、临界条件： 绳子或轨道对小球没有力的作用：(即：T=0) 有
（1）当v1=1m/s时；
（2）v2=4m/s时。（g取10m/s2）
巩固应用：
例、质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直 平面内做圆周运动，如图所示，求 （1）小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度 是多少？此时小球的向心加速度是多少？ （2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A， 当它运动到圆环的最低点B时，对圆环的压力是多 少？此时小球的向心加速度是多少？ A
FN mg
A、当
v Rg 时，杆对小球的支持力
FN 0
B、当 V Rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速 度的增大而增大。
C、 0 v Rg 时，对小球的支持力方向竖直向上，大小随速度的 增大而减小，取值范围是： mg F 0
N
N mg O 杆 管道
N mg O
v2 mg m R
所以：
V临界
Rg
绳
mg O
2、能通过最高点的条件：
v Rg
v大于 Rg时，绳(轨道）对球产生拉力（压力）。
3、不能通过最高点的条件：
v小于 Rg
mg O
实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。
轨道
例：如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳 系住，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰 好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？ 小球的受力情况如何？
A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上
二、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变 化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有 变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况， 判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时 方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、 绳的拉力等）。
练习习题
7.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的 内侧运动如图5－8－9所示，经过最高点而不 脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速 度经过最高点时，对轨道的压力值是（ ） A.0 B.mg C.3mg D.5mg
2、用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平 面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ） A.小球在最高点所受的向心源自文库一定是重力
a
量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为 圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球 的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA 受到B （ ）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力 B、6.0N的压力 D、24N的压力
例：长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A， A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试 讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A的速率v1＝1m／s时: ②当A的速率v2＝4m／s时:
例：如图所示，一质量为m的小球，在半径为R 光 滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。若过小 球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为 多少？（小球的受力情况如何？）
例：如图所示，质量为m的小球在竖直平 面内的光滑圆轨道上做圆周运动．圆 半径为R，小球经过圆环最高点时刚好 不脱离圆轨．则其通过最高点时 （ BCD ） A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球的向心力等于重力 C．小球的线速度大小等于 Rg D．小球的向心加速度大小等于g