量子力学中的力学量

的 2、相对坐标与质心系
求
解
i [ 2 ( 2 2 2 ) 2 ( 2 2 2 ) U (x, y, z)]
t
2M X 2 Y 2 Z 2 2 x2 y2 z2
3、分离变量法求解
(x, y, z)(X ,Y, Z)(t)
i
t
E总
（1）
2
2
2 ( x2
2 y 2
2 z 2
)
U (x,
2 4
2
Lz
力学量算符的平均值随时间变化:
dF dt
Fˆ t
1 i
[
Fˆ
,
Hˆ
]
守恒量：力学量算符的期望值不随时间变化
若 F^不显含t，且 [F^, H^,则] 0称为F体^ 系的守恒量。
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
(x) cnn( x)
n
则称这组函数φn(x) 是完备的。
基本假设 之测量假设
可能值： 力学量算符对应的本征值 可能值对应的概率：波函数以本征函数（已正交归一）展开对应 的系数模方！ 取确定值的充要条件：波函数为算符的本征态！
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的 最小（数目）集合称为力学量完全集合。
不对易的意义：不确定关系！
若 [Fˆ，Gˆ ] ikˆ，则：(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2 4
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
z
y
)
x
z
)
LzHale Waihona Puke Baidu
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
球极坐标系：
Lˆ x
i[sin
cot
cos
]
Lˆ y
i[cos
cot
sin
]
Lˆ z
i
Lˆ2
2[ 1
sin
(sin
)
1
sin 2
2
2 ]
(I) Lz的本征方程 (2) L2的本征方程
Lˆz
( )
i
d
d
( )
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
1、薛定谔方程
氢 原
i
t
( x1 ,
y1,
z1; x2 ,
y2 ,
z2;t)
[
2
21
2 ( x12
2 y12
2 z12
)
2 2 2 2
子
22 ( x22 y22 z22 ) U ](x1, y1, z1; x2 , y2 , z2;t)
n l 1 nr
,
而
Ze2
2| E |
本征值：
E
Z 2e4
2 2 n 2
,
n 1,2,3
本征函数： 合流超几何多项式！！
(2)角向方程
角动量算符问题
算符构造： Lˆ rˆ pˆ ir
直角坐标系
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
lz
( )
l
z
m
m ( )
1 eim
2
m 0,1,2,
Lˆ2Y ( ,) 2Y ( ,)
2[ 1 (sin ) 1 2 ]Y ( ,) 2Y ( ,)
sin
sin 2 2
本征值： l(l 1)2
Ylm ( , ) (1)m NlmPl m (cos )eim
m 0,1,2,, l
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
Fˆ ,Gˆ 0
有共同本征函数，且 组成完备系！
意义：存在共同本征函数，在本征态下同时具有确定值
对易的算符可以同时具有确定值。
第三章 量子力学中的力学量
本章总结：量子力学中的力学量
算符的基本性质
力学量算符假设 动量算符
基本假设：一切量子力学中力学量用厄 米算符表示。
本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
本征函数
p
(r
)
2
1
3 2
ei
p•r
本征值
自然边界条件：连续谱 周期性边界条件：分离谱
厄米算符
• 定义：如果对于两任意函数 和 ，算符 Fˆ 满足下列等式 Fˆdx (Fˆ)dx
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：
讨论 E < 0 情形
通过换元和渐进行为得形式解： u() l1e /2 f ()
d2 f
d 2
2l 2 df
d
l 1 f
0
合流超几何方程
讨论： ρ→∞ 时，f(ρ) →exp(ρ)，则u →∞!!
必须截断为合流超几何多项式！！
l 1 nr , nr 0,1,2...
1、正交性：厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 属于相同本征值的两个本征函数施密特正交化得出新的函数。
2、归一性：根据波函数的统计假设，波函数可以归一。
3、完备性：量子力学中的厄米本征函数组成完备系。
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
1 sin
(sin
)
1 sin2
2
2
Ze2 E r
问 3、分离变量法求解 题
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,)
(1)径向方程
2
2r 2
(r 2 r
) r
Lˆ2
2r 2
Ze2 r
E
d 2u dr 2
2
2
E
Ze2 r
l(l r2
1)
u0
当r→0 时，u(r)→0
y,
z)
E
（2）
2
2M
(
2 X
2
2 Y 2
2 Z 2
)
E总 E
（3）
氢
由（1） i
t
E总
直接求解得与时间相关波函数
(t)
Ce
i
Et
原
由（2）相对坐标下的方程，
子
2
2
2 ( x2
2 y 2
2 z 2
)
U (x,
y,
z)
E
的
即为中心力场问题！
求 解
本征值：
e4
En
2 2 n 2
n 1,2,3,
本征函数： nlm (r ) Rnl (r)Ylm ( ,)
由（3）质心坐标的方程：
2
2M
( 2 X 2
2 Y 2
2 ) Z 2
E总 E
即自由粒子的薛定谔方程！——平面波
中
1、薛定谔方程
2
2
2
Ze2 r
E
中心力场问题
心 2、球极坐标系
力 场
2 2
(
1 r2
)
r
(r
2
r
)