北师大版数学高一必修1课时达标训练(八)

课时达标训练（八）

一、选择题

1．已知集合A ＝{a 1，a 2}，集合B ＝{－1,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )

2．已知集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{y |0≤y ≤2}，下列由A 到B 的对应：①f ：x →y ＝12

x ，②f ：x →y ＝x ，③f ：x →y ＝－|x |.④f ：x →y ＝x －2. 其中能构成映射的是( )

A ．①②

B ．①③

C ．③④

D ．②④

3．设集合A ，B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，像(2,1)的原像为( )

A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32

，－12 D ．(1,3) 4．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )

A ．2个

B ．3个

C ．5个

D ．8个

二、填空题

5．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中的元素(6,2)，在此映射下的原像是(3,1)，则k ＝________，b ＝______.

6．设A 到B 的映射f 1：x →2x ＋1，B 到C 的映射f 2：y →y 2－1，则A 到C 的映射f ：________.

7．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |，那么集合A 中的元素最多有________个．

8．已知映射f ：A →B ，其中A ＝R ＝B ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原像，则k 的取值范围是________．

三、解答题

9．判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？

(1)A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f ：x →2x ＋1；

(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；

(3)A ＝{1,2,3,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1，12，13，14，对应关系f ：x →1x . 10．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1，4x ＋3y －1)．

(1)是否存在这样的元素(a ，b )使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；

(2)判断这个映射是不是一一映射．

答案

1．解析：选C A 、B 、D 均满足映射定义，C 不满足任一A 中元素在B 中有唯一元素与之对应．

2．解析：选A 对于①，当0≤x ≤4时，0≤12

x ≤2，显然对于A 中的任意元素x ，B 中有唯一的元素y 与之对应，是映射；

对于②，也符合映射的定义；

对于③，0≤x ≤4时，－4≤－|x |≤0，

显然－|x |∉(0,2]，不是映射；

对于④，0≤x ≤4时，－2≤x －2≤2，当0≤x <2时，B 中没有像与之对应，也不符合映射的定义．

故只有①②正确．

3．解析：选B ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，

x －y ＝1，∴⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12.

4．解析：选B 由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：

共3个．

5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＝6，1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝2，

b ＝1.

答案：2 1

6．解析：x →(2x ＋1)2－1＝4x 2＋4x .

答案：x →4x 2＋4x

7．解析：∵|±1|＝1，

∴和B 集合中的1对应的元素可以是±1.

而当x ＝±2时，1|x |＝12，当x ＝±3时，1|x |＝13

， 又不可能有x 使1|x |

＝0， ∴集合A 中元素最多有6个．

答案：6

8．解析：∵y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴y ≤1，即像的集合为(－∞，1]．

∵k ∈B 时，在集合A 中不存在原像，即k 不在像的集合内，

∴k ＞1.

答案：(1，＋∞)

9．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A 中的元素x 按照对应关系f ：x →2x ＋1和数集B 中的元素2x ＋1对应，这个对应是数集A 到数集B 的映射，也是函数，但B 中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．

(2)不是从集合A 到集合B 的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应．

(3)是A 到B 的映射，也是函数和一一映射．

10．解：(1)假设存在元素(a ，b )使它的像仍是(a ，b ) 由⎩⎪⎨⎪⎧

3a －2b ＋1＝a ，4a ＋3b －1＝b ，

得a ＝0，b ＝12.

∴存在元素⎝⎛⎭

⎫0，12使它的像仍是自己； (2)对任意的(a ，b )(a ∈R ，b ∈R )，

方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

3x －2y ＋1＝a ，

4x ＋3y －1＝b 有唯一解， 这说明对B 中任意元素(a ，b )在A 中有唯一的原像， 所以映射f ：A →B 是A 到B 上的一一映射．