债券定价原理的证明

n n n n r FV r r r c FV r FV r C r C r C P )1())1(11()1()1()1(12+++⨯-⨯⨯=++++++++= Theorem 1: Bond prices move inversely to the yield to maturity of bonds.

P 对r 示导得：

12221

22111211

1(1)(1)()(1)(1)1(1)()(1)(1)

(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n dP r r n r FV n FV c dr r r r r r r n FV n FV c r r r r r r n r FV n FV c r r r -++++++++⨯⨯+⨯=⨯⨯-+-++++⨯⨯=⨯⨯-+-++++⨯-+⨯=⨯⨯-++ 式子第二项小于0，因此要证明第一项小于0即可，即证明分子部分小于0：

112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)(1)(1)(1)(1)()0n n

n n r r n r r r n r r r r n r C r C r r r n r nr r r n nr r nr nr +++⨯-+=++⨯-++=++⨯-++++=++⨯-+++

=++⨯-++++=-+< 所以有：0dP dr

<，即债券价格与到期收益率反向变动。 Theorem 2. For a given change in yield to maturity from the nominal yield, the change in bond prices are greater, the longer is the term to maturity.

当c r =时，P FV =，当r 发生变动时，

(1)如r 变小，由原理1可知债券价格P 会上升，此时债券价格变动数值为：

11()(1)(1)

n n FV P FV c FV r r r r ∆=⨯⨯-+--∆⨯+-∆+-∆ P ∆的大小与n 的关系体现在(1)(1)n n FV c FV r r r ⨯-

+⨯+-∆+-∆， 令()(1)(1)

n n FV FV c f n r r r ⨯=-+-∆⨯+-∆ 对其求导得：ln(1)()(

)(1)n c r r f n FV r r -+-∆'=⨯⨯+-∆ 上式的符号由c r -决定，前面假设r 变小，所以0c r ->，因此()0f n '>。

即n 越大，P ∆增加得越多。

(2) 如r 变大，由原理1可知债券价格P 会下降，此时债券价格变动数值为：

11[()](1)(1)n n

FV P FV FV c r r r r ∆=-⨯⨯-++∆⨯++∆++∆

P ∆的大小与n 的关系体现在(1)(1)

n n FV c FV r r r ⨯-⨯++∆++∆， 同样令()(1)(1)n n

FV c FV f n r r r ⨯=-⨯++∆++∆ 对其求导得：ln(1)()(

)(1)n r c r f n FV r r -++∆'=⨯⨯++∆ 由于前面假设r 变大，所以0r c ->，因此()0f n '>。

即n 越大，P ∆增加得越多。

Theorem 3: The percentage change described in theorem 2 increases at a diminishing rate as the time to maturity increases.

随着时间的增加，P ∆的数值越来越大，但增加的部分越来越少。即求其二阶导。

(1)如r 变小， 此时ln(1)()()(1)n

c r r f n FV r r -+-∆'=⨯⨯+-∆>0， 2ln (1)()()0(1)n

c r r f n FV r r -+-∆''=-⨯⨯<+-∆ (2) 如r 变大，此时ln(1)()()(1)n

r c r f n FV r r -++∆'=⨯⨯++∆ 2ln (1)()()0(1)n

r c r f n FV r r -++∆''=-⨯⨯<++∆ 因此原理3成立。

Theorem 4: Price movements resulting from equal absolute (or, what is the same, from equal proportionate) increases and decreases in the yield to maturity are asymmetric; that is, a decrease in yield to maturity raises bond prices more than the same increase in yield to maturity lowers prices.

收益率相同的增加或减少时，债券价格的变动是不对称的。收益率的减少导致的债券价格增加超过收益率的增加导致的债券价格的减少。

由原理1已知0dP dr

<，所以我们要证明220d P dr >

222211

3322

2332

1(1){()}(1)(1)2(1)(1)(1)(23)(1)[](1)(1)[2(1)(1)(1)(1)(23)](1)(1)n n n n n n d P r r n FV n FV c dr r r r r n r r r nr r nr FV n n FV c r r r r FV c r n r r r nr r nr FV n n r r r ++++++++⨯⨯'=⨯⨯-+-++++-++++⨯⨯+=⨯⨯++++⨯⨯++++-+++++⨯⨯+⨯=+上式的符号由分子决定，即

23[2(1)(1)(1)(1)(23)](1)n FV c r n r r r nr r nr FV n n r +⨯⨯++++-+++++⨯⨯+⨯ 决定。这个式子中，最后一项大于0，因此只要［…］部分大于0即可，该部分为：

22222222222222222[2(1)(1)(1)(1)(23)]

(1)2(1)(1)()(25343)2

(24232)(24232)

n r n r r r nr r nr n n r nr r nr nr r r r nr nr r n r r nr nr r n r r nr nr r n r +++++-++++⨯->+++++++-+++++>+++++-+++++=因此有：220d P dr

> Theorem 5: The higher is the coupon carried by the bond, the smaller will be the percentage price fluctuations for a given change in the yield to maturity except for one year securities and consols.

息票率越高，债券价格变化的百分比越小。设

故有：

前面已经证明1(1)(1)0n r r n r +++⨯-+<，故()0f c '<

因此，息票率越高，债券价格变化的幅度越小。

设原来债券价格为n

n r FV r r r c FV P )1())1(11

(+++⨯-⨯⨯=，后来债券收益率下降∆，则价格变为11()()(1)(1)

n n FV P FV c r r r r ∆=⨯⨯-+-∆-∆⨯+-∆+-∆