6质心力学定理(2)

第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义：E C Mgh C
E
i i i
——质心重力势能
m gh ——质点组重力势能 M m m h E m gh g m h g m m
i i
是否相等？
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Mgh C E C
即
E EC
d (r R) 1 1 相 f f 2 M dt m 减
2
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第6章 质心力学定理
d (r R) 1 1 ( )f 2 dt m M
2
d r 1 1 ( )f 2 dt m M
2
1 1 m M
1
——约化质量(折合质量)
i
mi
i
MvC
rc
O
C
ric ri
m ivi
mi
ri m i v i rC riC m i v C v iC i i rC m i v C riC m i v iC i i rC m i v iC riC m i v C
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第6章 质心力学定理
尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说， 角动量定理仍然成立。 这再次显示了质心的特殊之处 和选择质心系来讨论问题的优点。 若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括 惯性力对质心的力矩：
i i 惯性力对质心的力矩之和为零。 这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心的角 动量仍能满足角动量定理的原因。 29
i
质心重力势能等于质点组总重力势能.
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第6章 质心力学定理
§6-3. 质心角动量定理 一.质心角动量
定义：LC rC M v C ——质心角动量 是否相等？ L ri m i v i ——质点组总角动量 Fi
M
L
因为： ri rC riC v i v C v iC
三.相对质心角动量变化定理
因为： L L C L rC r i rC r iC
dL M 质点组的角动量变化定理 dt
dLC d L rC dL 左边： dt dt dt
外
＝
i

ri F i

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第6章 质心力学定理
右边：

i
ri F i

i
M rC

M C M rC

d LC M dt
C

d L rC M dt
rC
——相对质心角动量变化定理 相对质心角动量的时间变化率等于外力相对于质心 的总力矩.
第6章 质心力学定理
§6-2.质心动能定理 一.质心动能定理 (科尼希定理)
1 定义：E C M v C 2 ——质心动能 2 1 2 E k m iv i ——质点组总动能 i 2
是否相等？ mi
z ric 如图： ri rC riC v i v C v iC C rc 2 v i v i v i vC v iC vC v iC ri O 2 2 v C v iC 2 vC v iC
y
Ek
i
1 2 m iv i 2

i
1 2 mi vC 2

x 2 v iC 2 v C v iC

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第6章 质心力学定理
1 1 1 2 2 E k m iv C m iv iC m i 2vC v iC i 2 i 2 i 2 1 m i 2 v C v iC v C m i v iC v C 0 0 i 2 i
设质心加速度为 aC ， 则有 （ mi ri ） aC 0 M 惯C ri （ mi aC）
L d M M 惯C dt
第6章 质心力学定理
§6-4. 有心运动方程与约化质量
行星 运动
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第6章 质心力学定理
一.有心运动方程
d r ——行星运动方程 2 f (有心运动方程) dt
2
d r 1 f 2 dt
2
虽然日心系是个非惯性系，但把行星的真实质量 用约化质量替代，行星运动方程具有牛顿运动方 程的表达形式。
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第6章 质心力学定理
二.日心系可作为准惯性系
2 M d r 行星运动方程 f 2 dt
i
L C L rC L L C L rC
LrC
质点组总角动量等于质心角动量与相对质心 角动量之和.
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第6章 质心力学定理
二.质心角动量变化定理
与单质点完全相同
dLC M dt
C
M
C
rC

i
F i (M 和 L 都对同一点O ) C C
第6章 质心力学定理
例 如图所示,人与船构成质点系,当人从船头走到船尾 求 人和船各移动的距离 x1 ' x1 解 在水平方向上,外力为零,则
a cx dv cx 0 dt
xc xc
开始时，系统质心位置
mx 1 Mx 2 xc mM
O
x2'
x2
x
终了时，系统质心位置
Mx m x1 2 xc mM
R
f
C
r
r
m
M>>m 2 d r m 2 f dt
m
f
日心系可作为准惯性系
准惯性系的精度 (相对偏差) m 1 m 1 m M m 1 M
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第6章 质心力学定理
• 本章作业 • 6.1, 6.3, 6.4, 6.7
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M ( x 2 x 2 ' ) m ( x1 ' x1 )
Ml slS mM
解得
ml S mM
S
lS
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第6章 质心力学定理
例 用劲度系数为k的弹簧，将质量分别为m1和m2的物 体连接起来，放置在光滑的水平面上。设m1紧靠墙， 在m2上施力将弹簧压缩了d. 若以物体m1，m2和弹簧为 系统，试求在外力撤去之后，( 1 ) 系统质心加速度的 最大值；( 2 ) 系统质心速度的最大值。 [解] (1)选取O点为x轴的原点。 按题意，物体m1，m2和弹簧 所组成的系统，在受到了外 力 F1x k d 使弹簧压缩了d 之后,墙壁对该系统的作用 力为 F2 x k d. 在撤去 F1x 后，在作用 F2 x 下，该系统质 心加速度的最大值为 kd acmax m1 m 2 20
i i
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第6章 质心力学定理
L rC mi v C riC m i v iC i i rC m i v iC m i riC v C i i r m v rC 0 0 v C rC M v C iC i iC
r r R ff
M
R
f
C
r
r
m
不考虑第三者的影响 质心系可以是惯性系 2 2 d r d r 1 m 2 f 2 dt dt m 2 2 d R M 2 f d R 1 dt dt 2 M
f
f f
质心系中质点组总动量
1 1 2 2 1 1 2 2 Ek mivC miv iC MvC miviC i 2 2 i 2 i 2
Ek EC ErC
EC ErC ——质心动能定理(科尼希定理)
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质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和.
第6章 质心力学定理
( 2 ) 在撤去F1x后的最初阶段，物体m2在力Fx = -kx 作 用下作加速运动; 在 x = 0 时力Fx减小到零，然而物体m2的速度却达到 了它的最大值v2max; 1 1 2 2 m v k d 物体m2的动能等于弹簧的弹性势能， 2 2 max 2 2 由此可得 v 2 max k / m 2 d 这时，系统的质心速度也达到了它的最大值，即 m2 v2max k m2 d vcmax m1 m2 m1 m2 前:系统一直受到墙壁的作用力,质心速度一直在增加; 21 后:系统不再受到外力的作用,质心速度将不再改变。