第十一章无穷级数

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2448888 2
子
序
列
无极
限
，
所
以lim n
sn不
存
在
，
级
数
发散.
证明三 反证法
s2n
sn
1 n1
1 n
2
1 2n
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
11 1
1
Sn 2 22 23 2n
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当n 时，Sn的极限为1。
此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个 数相加的式子，这就是级数。
二、常数项级数的概念
1. 定义
数列 u1，u2，u3， ，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
第一节 常数项级数的概念
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数及其在经济学上的应用 四、无穷级数的基本性质 五、小结
一、问题的提出
我们在前面所学的定积分，所表达的是 一类和式极限。
有限和的极限实际上是无穷多个数相加 之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相 加之和是一个有限数。
下面我们将专门研究无穷和的问题，并 把无穷多个数相加的式子称为无穷级数， 简称级数。
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例 3 证明算术级数
a (a d ) (a 2d ) [a (n 1)d ]
是发散的（其中a 与d 不同时为零）.
这是不可能的.
级数发散 .
三、等比级数及其在经济学上的应用
1.等比级数（几何级数）定义
无穷级数
axn a ax ax2 axn1
n0
叫做等比级数（又称几何级数）.
(a 0)
其中x叫做公比.
2.等比级数（几何级数）敛散性定理
定理 （1）当| x | 1时， axn 收敛，且其和为
2. 级数的收敛与发散
当n无限增大时,级数 un 的部分和数列
n1
sn 的极限情况为极限存在和不存在两种，即数 列 sn 是收敛与发散两种.
借助于此，我们可以研究级数的敛散性，即级
数的收敛与发散是由部分和数列的收敛与发散
定义的，级数的收敛与发散与部分和数列的敛
散性有一一对应关系.
无穷级数 un收敛
2n
公比x 1 ，x 1 1
2
2
级数收敛，且其和为1 2 . 1 x 3
2n1 1 2 4 2n1
n1
公比x 2，x 2 1，级数发散.
例 5 某合同规定，从签约之日起，由甲方永不
停止地每年支付给乙方300万元人民币，设利率 为每年5 00 ，分别以（1）年复利计算利息；（2）
n1
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛.
n1 百度文库
无穷级数 un 发散
n1
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
即
常数项级数收敛(
发散)
lim
n
sn
存在(
不存在)
收敛级数 un 的和
n1
部分和数列收敛，极限 s叫做级数 un 的和
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n边形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
当n 时，即为无穷项相加，即是级数问题.
2. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果
把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长
之和为：
n0
s axn
a
n0
1 x
（2）当| x | 1时， axn 发散
n0
证明
ax
n
的部分和
n0
sn a ax ax2 axn1
如果x 1时
sn a ax ax2 axn1 a axn
1 x
a axn , 1 x 1 x
当x
1时,
lim xn
n
0
lim
n
sn
a 1
x
当x
1时,
lim xn n
lim n
sn
如果 x 1时
收敛 发散
当x 1时, sn na 发散 当x 1时, 级数变为a a a a
nlim sn不存在 发散
综上
ax
n
n0
当 当
x x
1时, 收 敛 1时, 发 散
例 ：
1n
111
1n
n0
2n
1 248
sn
1
2
3
n
ln(1 1) ln(1 1 ) ln(1 1 )
2
n
ln1 n ，n
级数发散.
证明二 s1 1
1 s2 1 2
111 s4 1 2 3 4
1 1 1 1 1 2 244 2
1111111 s8 1 2 3 4 5 6 7 8
证明 级数的部分和
sn a (a d ) (a 2d ) [a (n 1)d ] na n(n 1) d 2
显然
lim
n
sn
故所给算术级数是发散的
例4证 明调 和级 数 1 1 1 1
23
n
是 发散 的.
证明一 利用x 0时，有x ln(1 x）
11
1
n
1 n
) 1
1
所以该级数收敛，且
1
1
n1n(n 1)
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
并写成
n1
s u1 u2 u3
例 1 证明级数
1
1 1
1
n1n(n 1) 1 2 2 3
n(n 1)
是收敛的，且求其和.
证明
因为
un
1 n(n
1)
1 n
1 n
1
所以
sn
(1 1
1) (1 21 2
1) 3
(1 n
1) n1
从而
lim
n
sn
n 1 lim (1
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
一般项
简称（常数项）级数，记为 un . n1
无穷级数表达式中的第n项un .
n
部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
部分和数列 s1 u1 ,
s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3，
sn u1 u2 un，