第20讲6电子自旋算符1-2.

种］，即它们是空间量子化的。
实验进一步的测量得磁场 B 方向(设为Z方向)的两个投 影值是： M Z
e 2
(这个值正是乌伦贝克等人在自旋假设中所提及的量。)
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自旋假设
荷兰科学家乌伦贝克和哥德斯密特为了解释碱金属光谱的 精细结构（即具有双线结构）、反常塞曼效应（弱磁场中原子 光谱线分裂成偶数条光谱线的现象），P-B效应，于1925年提
这样的列矩阵形式称为旋量，2行1列的矩 阵二分量旋量，实际上也是二维Hilbert Space的一 个矢量。
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泡利(Pauli)算符—定义
为简便起见，引进无量纲的泡利(Pauli)算符
2 ˆ ˆ S σ
ˆ ˆx Sx σ 2
ˆ ˆ S σ 2
ˆ ˆy Sy σ 2
1 1 r , , t 1 r , t 1 S z 2 2 对应于 S z 2
Ψ Ψ r , S z , t
2 2 r , , t 2 r , t 1 S z 对应于 S z 2 2 2
自旋角动量算符—对易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [S x y z ˆ ˆ ˆ [ S y , S z ] iS x ˆ ˆ ˆ [ S z , S x ] iS y
ˆ S 2 ,S ˆ 0 i
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@163.com
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第六章 电子自旋和角动量
• §6.1 • §6.2 • §6.3
提纲
电子自旋 电子的自旋算符和自旋函数 自旋单态和自旋三重态
第20讲
第六章 自旋和角动量
引言 §6.1 电子自旋 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数
结束
引言
前几章我们只处理了单个粒子在力场中 Baidu Nhomakorabea动的问题，而实验发现：前几章的理论是 有局限性的。下面两方面的事实有待进一步 讨论： （1）实验发现所有微观粒子都有自旋；而 薛定谔方程并未涉及。（本章学习） （2）实际存在的体系一般都是多粒子体系， 描写多粒子体系状态的波函数的构成又与自 旋的情况有关。（本课程要求略）
ˆ xσ ˆ yσ ˆz i σ
泡利(Pauli)算符—本征值
ˆ x , ˆ y , ˆ z的本征值都是
2 x 2 y
1
2 z
ˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ˆ 3
2 x 2 y 2 z
泡利(Pauli)算符—矩阵表示
ˆ z 表象中的矩阵表示 σ
1 0 a b a b ˆz σ ˆx σ 0 1 c d b d ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 [ 1 0 a b a b 1 0 2a ˆ y , ˆ z ] 0 [ 0 1 b d ＋ b d 0 1 ＝ ˆ ˆ 0 [ z , x ] 0
（1）每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向(取为z
轴)上的投影只能取
Sz 2
出了电子具有自旋的概念。假设如下：
自旋假设
（2）具有自旋磁矩 M s ，它和自旋角动量 S 的关系是：
e Ms - S

（
e

为电子的“荷质比”)
M S 在任意方向(取z轴)的投影只能取两个值：
自旋波函数
ˆ S z 1 1 2
ˆ S z 1 S z 1 S z 2 2 2
ˆ S z 2 - 2 2
ˆ S z 1 S z 1 S z 2 2 2
自旋算符的本征波函数
• 本征：当我们仅研究自旋性质时，系统的空间部分 波函数可以视为常数，选择 Sz 表象，则算符的两 个本征态为：
2
0 0
1 1 S z 0 2
z 时，由前面基 • 一般态：当体系自旋处在一般态 本假设，为自旋算符本征函数的线性组合，记为：
0 1 S z 1 2 S
a S z a 1 S z b 1 S z a b b 2 2
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§6.1
电子自旋
一、实验证据（电子自旋的实验验证） （在历史上，电子自旋的概念是在原子光谱的研 究中提出来的。近代物理学中详细介绍。） 二、自旋假设 三、讨论 返回
实验证据
许多实验事实证明了电子具有自旋。其中最原始最简单 的实验是：斯特恩(Stern)-盖拉赫(Gerlach)实验。 如课本P231图所示，由k射出处于s态的氢原子束通过
论本身不包括自旋。故我们象乌伦贝克等人于1925年那样把自 旋作为一个基本假设引入。但作为整个量子力学体系，它不是 基本假设。 返回
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
• • • • • • 自旋角动量算符 自旋波函数 泡利(Pauli)算符(不要求，学生可以自学) 完整的电子波函数 力学量平均值公式 自旋的上升、下降算符、氢原子能级的简 并度 (不要求，学生可以自学) 返回
名字由此来）但是这种看法是不正确的。因为如果把电子自旋
视为象地球的自转，则要使电子产生 M s z M B 表面线速度要大大于光速C。 • 2. 为了区别起见，以后把电子由于在普通空间运动而具有的 ，其
ˆ 角动量轨道角动量记为 L
ˆ 角动量(简称自旋，记为 S

，而把电子的内禀角动量叫自旋
。)
ˆ z 表象中的矩阵表示结论 σ
0 ˆx σ 1 0 ˆy σ i 1 ˆz σ 0 1 0 i 0 0 1
0 ˆ Sx 2 1 0 ˆ Sy 2 i 1 ˆ Sz 2 0 1 0 i 0 0 1
自旋角动量算符—定义
自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对 ˆ 的函数， 应，即不能象角动量一样写成 r 和 P 而是描述电子状态的又一个新的力学量。象其 它力学量一样，自旋角动量也用一个算符表示。 ˆ ˆ ˆ 利用角动量的定义： L L iL ˆ ： 引入 S ˆ ˆ ˆ S S iS 跟经典角动量的共性就是它们各自的对易 关系一致。
狭缝BB进入不均匀磁场，最后射到照相底片P上。实验结果
在底片上出现两条分立的线。实验说明： 1. 氢原子具有磁矩。 这样原子束通过非均匀磁场受力作用而偏转。原子处于s 态(l=0)，轨道角动量L=0，原子的偏转说明原子中电子具 有内禀磁矩；
实验证据
2. 原子的磁矩在磁场中取向只有两种［任何方向上都只有两
i x, y,z
2 2 2 2 S S S S 角动量平方算符 x y z
自旋角动量算符—本征值
由于在空间任何方向上的投影只能取两个数值， 所以三个算符的本征值都是两个 ，它们 2 的平方就都是 ：
2 2 2 S2 S S x y z 4
2 3 2 2 S 2 Sx Sy S z2 4
2 2 L 1 类似
令
S ss 1
2
2
1 s 2
s与l相当，称s为自旋量子数。（l 叫轨道量子
数或角量子数）。
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自旋波函数
含自旋的电子波函数 ˆ H 在某些情况下（如：不含自旋量或可表示 为自旋变量部分与空间坐标部分之和）可以分 离变量，即 r , t S z S z ——自旋波函数,描写电子自旋的状态.
ˆ ˆz Sz σ 2
泡利(Pauli)算符—对易关系
ˆ ˆ ˆ 2i
ˆ x ˆy - ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz - ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 i z x x z y
0 b ˆx σ b 0
2 2 2 ˆx ˆy ˆz 1
0 0 2d
0 1 ˆx σ 1 0
ˆ y iσ ˆ xσ ˆz σ
0 i ˆy σ i 0
泡利(Pauli)算符—矩阵表示

Ms z
e M B 2μ
(
，
MB
是玻尔磁子)
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讨论
• 1. 电子自旋是电子本身的内禀属性(内在属性)，自旋标志着
电子除了在普通空间的三个自由度外，还有一个新的自由度， 这是量子力学中特有的量，无经典对应。 • 起初乌伦贝克和哥德斯密特认为“与地球绕太阳的运动相似， 电子一方面绕原子核运动，一方面又自旋转。”（“自旋”此
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完整的电子波函数
包含自旋以后，单个电子的状态应该如何描述？ 选择 Sz 表象，电子自旋向上时，波函数为 1 r ,t 1 1 r ,t 1 S z
电子自旋向下时，波函数为 Ψ2 Ψ 2 r,t χ 1 S z Ψ r,t 2 2 因此对任意状态，电子的波函数为： 1 0 C1Ψ 1 r , t Ψ C1Ψ1 C2Ψ2 C1Ψ1 r ,t C2Ψ 2 r ,t C Ψ r , t 0 1 2 2 • 其物理意义为： 2 C1Ψ 1 r , t t时刻，在位置为r（矢量）处附近单位 体积内找到自旋向上的电子的几率。 2 2 C1Ψ 1 r , t C2Ψ 2 r , t t时刻，在位置为r处附近单位 体积内找到电子（不管电子自旋方向如何）的几率。
讨论
• 3. 除了电子以外，实验(后来的)又证明其它粒子也有自旋。
本章仅讨论电子，因而如无特别说明，所讲的自旋都是指电子 自旋。 • 4. 到了1928年，狄拉克(Dirac)建立了电子的相对论性波动方 程，在那里，自旋自然地包含于方程之中，所以电子自旋本质
上是一种相对论效应，由于本书只讨论非相对论量子力学，理
引言
教学内容： §1 电子自旋 §2 电子自旋算符和自旋函数 §3 自旋单态和三重态 重点难点： 电子自旋假设，自旋算符与自旋函数。 基本要求： 电子具有自旋角动量和自旋磁矩，是根据实验事实引进的 假设，成为电子的第4个自由度。实验证明自旋角动量在 空间任意方向上的投影只能取两个值，因而自旋函数用二 行一列矩阵表示，而自旋算符则用二行二列矩阵表示。要 求学生在自旋实验事实基础上理解自旋函数和自旋算符和 矩阵表示（Pauli矩阵），并懂得相应的计算。对自旋与 外磁场、自旋与轨道耦合所产主的效应也要有所了解。
σ ˆ xσ ˆ y -σ ˆ yσ ˆ x iσ ˆz ˆ yσ ˆ z -σ ˆzσ ˆ y iσ ˆx σ ˆ ˆ ˆ xσ ˆ z iσ ˆy σ z σ x -σ
ˆ x , ˆ y ] ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 [ ˆ y , ˆ z ] 0 [ ˆ ˆ [ z , x ] 0