重庆大学2003--2011年数学分析、高等代数考研真题

，
y
=
Ax
，则向
量
y
的长
度
⎥
2⎦
y=
。
(10) 设 n 阶方阵 A 的秩 R( A) = m ， n 阶方阵 B 的秩 R(B) = n ，则 ABx = 0
的解空间的维数等于
。
2．计算题
⎛1⎞
⎜⎟
(1)
设 n 维向量α
=
⎜1⎟ ⎜⋮⎟
，令
A
=
αα
T
，求对角矩阵
Λ
和可逆矩阵
P
使得
⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
P −1 AP = Λ 。
四、（10 分）设向量组α1,α 2 ,L,α s 线性无关，且 β1 可由α1,α 2 ,L,α s 线性表示，而 β2 不能由
α1,α 2 ,L,α s 线性表示，证明对任意实数 l ，向量组α1,α 2 ,L,α s ,lβ1 + β2 线性无关。
x3
⎟ ⎠
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
换σ 在基 ⎜ 0⎟,⎜1⎟,⎜ 0⎟ 下的矩阵表示为
。
⎜ ⎝
0 ⎟⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1 ⎟⎠
(5) 设 A 是可逆矩阵， λ 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A∗ 一定有一
个特征值为
。
⎡1 2 1 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
(6) 若方程 ⎢⎢2
重庆大学 2003 年高等代数考研试题
1．填空题 (1) 设 n 阶 方 阵 A 满 足 AT A = E ， 其 中 E 是 单 位 矩 阵 ， A < 0 ， 则
A+E =
。
(2) 设 A, B 均为 n 阶方阵，| A |= 2,| B |= −3， A∗ 为矩阵 A 的伴随矩阵，则
2 A∗ B −1 =
LLLL
b b L xn
二、（15
分）
a,
b
为何值时，方程组
2
x1 −
x1 + (2 3ax2
+ + +
x2 − a)x2 (a +
x3 = 2 − (b + 2) = 2b)x3 = −3
3
有惟一解？无解？有无穷解？
无穷解是并求其全部解。
三、（15 分）设 d, n 为正整数，证明 (xd −1) (xn −1) 的充分必要条件为 d n 。
3
t
+
2⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢⎢3⎥⎥
无解，则
t
=
⎢⎣1 t − 2 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
；若此方程有唯
一解，则 t =
。
⎡c 1 0⎤
(7) 设 f (t) = 4t 2 + 2t − 3 ， A = ⎢⎢0 c 1⎥⎥ ，则 f ( A) =
。
⎢⎣0 0 c⎥⎦
⎜⎛ 1⎟⎞ ⎜⎛ 2⎟⎞ ⎜⎛1⎟⎞ ⎜⎛ 0⎟⎞
(3) 设 A = ⎢⎢− 3 − 3
3
⎥ ⎥
，求
A
的初等因子和
Jordan
标准矩阵。
⎢⎣− 2 − 2 2 ⎥⎦
(4) 设 n 阶方阵 A 满足 A2 = 2A ，且 R( A) = r ，证明 A 相似于对角阵，并
求| A − 3E | 的值。 (5) 设 A = (β1, β2 ,⋯, βn ) 是 n 阶 方 阵 ， A = 4 ， 求 矩 阵
。
⎡1 1 −1⎤
(3) 设 A = ⎢⎢0
−1
1
⎥ ⎥
，
A2
−
AB
=
E
，则
B
=
。
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
(4)
⎛ ⎜
x1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
x1
设σ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2x2 − x3
⎞ ⎟ ⎟
，其中
⎛ ⎜ ⎜
x1 x2
⎞ ⎟ ⎟
∈
R3
为任意
3
维实向量，则线性变
⎜ ⎝
x3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
3x1
+
2x3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
(8)
向量组
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
432 ⎟⎟⎟⎟⎠,
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
143 ⎟⎟⎟⎟⎠,
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
1 0 1
⎟⎟, ⎟⎟ ⎠
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
1⎟ 33⎟⎟⎟⎠
的秩等于
是
。
，其一个最大无关组
⎡
⎢⎢1 (9) 设 A = ⎢0
0 1
⎢
2
⎢
1
⎢0 −
⎣
2
⎤
0 1
⎥ ⎥ ⎥
2⎥
1⎥
，
x=
⎡1⎤ ⎢⎢2⎥⎥ ⎢⎣3⎥⎦
B = (β1 + β n , β1 + β 2 , β 2 + β3 ,⋯, β n−1 + β n ) 的行列式的值。 3．证明题 (1) 设V1,V2 是 R n 中的两个非平凡子空间，证明在 R n 中存在向量 α 使得
α ∉V1,α ∉V2 ，并在 R3 中举例说明此结论。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, en 是 n 维 线 性 空 间 Vn 的 一 组 基 ， 对 任 意 n 个 向 量 α1,α 2 ,⋯,α n ∈Vn ，证明存在唯一的线性变换T 使得T (ei ) = αi ,i = 1,2,⋯, n 。
( f (x), g(x)) = d (x) ⇔ ( f (x) , g(x)) = 1。
d(x) d(x)
重庆大学 2006 年硕士研究生入学考试试题
科目代码:421 科目名称:高等代数
特别提醒考生: 答题一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等)，直接做在试题上按零分计。
x1 a L a 一、（10 分）计算行列式： b x2 L b
(2) 设 e1, e2 ,⋯, e5 是 5 维 Euclid 空 间 R5 的 一 组 标 准 正 交 基 ，
VL(α1,α 2 ,α3 ) ，其中α1 = e2 + e3 ，α 2 = −e1 + e2 + e4 ，α3 = 4e1 − 5e2 + e5 ，求V1 的
一组标准正交基。
⎡ 1 1 −1⎤
证明你的结论。 (5) 设实二次型 f (x) = x' Ax, x ∈ R n ， λ 是 A 的特征值，证明存在非零向量
⎛ ⎜
k1
⎞ ⎟
α
=
⎜k2 ⎜⋮
⎟ ⎟
，使得
f
(α )
=
λ (k12
+
k
2 2
+⋯+
k
2 n
)
。
⎜⎜ ⎝
k
n
⎟⎟ ⎠
(6) 设 f (x), g(x), d (x) 是三个多项式，证明
(3) (i) 设 A, B 为 n 阶方阵，证明 R( AB) = R(B) 的充分必要条件是 ABx = 0 的解均为 Bx = 0 的解。
(ii) 设 A, B 为 n 阶方阵， R( AB) = R(B) ，证明对于任意可以相乘的矩阵 C
均有 R( ABC) = R(BC) 。
(iii) 若 有 自 然 数 k 使 得 R( Ak ) = R( Ak+1 ) ， 则
R( Ak ) = R( Ak+ j ),∀j = 1,2,⋯⋯。
(4) 设 A 为 n 阶实对称矩阵。
(i) 若 R( A) < n ，则存在非负整数 r 和可逆矩阵 P 使得
⎡Er
O
O⎤
PT
AP
=
⎢ ⎢
O
− ER( A)−r
O⎥⎥
⎢⎣ O
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O
O⎥⎦
(ii) 记 S = {x ∈ R n | x' Ax = 0} ，给出 S 为 R n 的子空间的充分必要条件，并