随机变量的独立性,条件分布

2
0.020 0.008 0.004 0.032
3
0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
(1) 求在 X 1的条件下,Y 的条件分布律; (2) 求在 Y 0 的条件下, X 的条件分布律.
解 由分布律的表格可得 P{Y 0 X 1} P{ X 1,Y 0} 0.030 2
pX (x), pY ( y)分别是X 和Y 的边缘密度 .
证:
(, x](, y]
因为X与Y独立, 所以P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
即F(x, y)
x
y
du p(u, v)dv
x
pX (u)du
y
pY (v)dv
p(x, y) 2F (x, y) xy
二、离散型随机变量的条件分布
定义 设 (X ,Y ) 是二维离散型随机变量, 对于固定
的 j, 若 P{Y y j} 0, 则称
P{ X
xi Y
y j}
P{X xi ,Y y j} P{Y y j}
pij p• j
,
(i 1,2,3, )
为在Y
y
条件下随机变量
j
X
的条件分布律.
对于固定的i, 若 P{X xi} 0, 则称
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
定理 若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p(x, y) pX (x) pY ( y)
成立，则X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度，
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j )
则X和Y相互独立.
证明略
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
的充要条件是: 0
证 由上节知
pX (x)
1
( x μ1 )2
e , 2σ12
2πσ1
x .
pY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2
σ
2 2
)
2
2 σ2
y .
pX
(x)
pY
( y)
1 2πσ1
e ,
1 2
(
x
μ1 σ12
)2
(
y
μ2
σ
2 2
)2
2
x, y R
P{Y
yj
X
xi}
Baidu Nhomakorabea
P{X xi ,Y y j} P{X xi}
pij pi•
,
( j 1,2,3, )
为在X xi条件下随机变量Y 的条件分布律.
例1.设（X ,Y )的分布律为
YX 0
0 0.840
1 0.060
2 0.010
P{X i} 0.910
1
0.030 0.010 0.005 0.045
随机变量的独立性,条件分布
一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020
P{X i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
p12
p1•
p•2
1 9
1 3
1 9
2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2 设(X,Y)的概率密度为
xe(x y) , p(x, y)
0,
对一切x, y, 均有：
x p0(,x,yy) 0 pX (x) pY ( y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX
(x)
0
xe(x y)dy
0
x
0
xe
x
x0 0
x0 x0
pY
( y)
0
xe(x y)dx
0
y 0 e y
y
0
0
y0 y0
例3 X ,Y ~ N1, 2,1, 2, ,证明X与Y相互独立
P{ X 1} 0.045 3
P{Y
1X
1}
P{ X 1,Y P{ X 1}
1}
0.010 0.045
2 9
YP{YX
0
2 X0 1}
0.840
1P{ X 12,Y 0.030P{ X0.0201}
2}
3
0.00P5{Y
1
j}
0.010.045 0.9900
1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
pX (x) py ( y)
因为p(x, y) pX (x) py ( y)
所以P(X x,Y y)
x
y
du p(u, v)dv
x
y
du
pX (u) pY (v)dv
x
y
pX (u)du pY (v)dv P(X x)P(Y y)
故X与Y独立
证毕
定理 若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性 的定义等价于：
p(x, y)
1
e 1 2(1 ρ
2
)
(
x
μ1 σ12
)
2
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2
σ
2 2
)
2
2σ1σ2 1 ρ2
pX
(x) pY
( y)
1 2πσ1
e
1 2
(
x μ1 σ12
)2
(
y
μ2
σ
2 2
)2
2
0
0
显然有 p(x, y) pX (x) pY ( y) 故X与Y相互独立.
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
由于
F(x, y) P(X x,Y y) FX (x) P(X x) FY ( y) P(Y y)
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)