等边三角形性质判定练习题
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单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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hing at a time and All things in their being are good for somethin
在△BDC 和△AEC 中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS）． 21、 解答： 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知） ∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1 分） ∵△DEF 是等边三角形（已知）， ∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2 分） 又∵AE=CD（已知）， ∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4 分） （2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等）， ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠ FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换）， △DEF 是等边三角形（已知）， ∴∠DEF=60°（等边三角形的性质）， ∴∠BCA=60°（等量代换）， 由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC， ∵∠DEC+∠FEC=60°， ∴∠EFA+∠FEC=60°， 又∠BAC 是△AEF 的外角， ∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°， ∴△ABC 中，AB=BC（等角对等边）．（6 分） ∴△ABC 是等边三角形（等边三角形的判定）．（7 分） 22、解答： 解：△CEB 是等边三角形．（1 分） 证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC， ∴∠CBE=∠ABE=60°．（3 分） 又 DE=DB， BE⊥AC， ∴CB=C E．（5 分） ∴△CEB 是等边三角形．（7 分） 23、（1）证明：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°， ∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN， 即：∠ACN=∠MCB， 在△ACN 和△MCB 中， AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC， ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN=BM． （2）证明：∵△AC N≌△MCB， ∴∠CAN=∠CMB． 又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠MCF=∠ACE． 在△CAE 和△CMF 中 ∠CAE=∠ CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF， ∴△CAE≌△CMF（ASA）． ∴CE=CF．
9．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= _______°． 10．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠ AC．下列结论中，正确的是 _________ ． ①BE=CD；②∠BO D=60°；③∠BDO=∠CEO． 11.如右图所示，在等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别截出 AD =AE，△ADE 是等边三角 形吗？说明理由。
C． DE=AB
D． S△ABC=3S△DEF
6．如图，在△ABC 中，D、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC 的度数是（
）
A． 30°
B． 45°
C． 120°
D． 15°
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，
一、CDDBDCCD 二、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90 度；14、60 度；15、 6； 16、60；17、130；18、①② 三、19、（1）证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE 和△CAD 中，
交 AB 于点 E ，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（ ）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm
第1题
第4题
第5题
第Fra Baidu bibliotek题
8．已知∠AOB=30°，点 P 在∠AOB 内部，P1 与 P 关于 OB 对称，P2 与 P 关于 OA 对称，则
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∴△CEF 为等腰三角形． 又∵∠ECF=60°， ∴△ CEF 为等边三角形． （3）解：如右图， ∵△CMA 和△NCB 都为等边三角形， ∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°， ∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN， ∴△CMB≌△CAN， ∴AN=MB， 结论 1 成立，结论 2 不成立．
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第 1 课时 等边三角形的性质和判定（课堂训练）
一．选择题（共 8 小题）
1．如图，一个等边三角形纸片 ，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β 的度数是
（ ）A． 180°
△AB C 是等边三角形。
7．如下图：等边△ABC，D 是三角形外一点 ，若 AD=AC，则
∠BDC=_________ ____度。
8、已知△ABC 中，∠A=∠B=60°，AB=3cm ________
△ABC 是等腰三角形，周长为 15cm 且∠A=60°，则 BC=_______
则△ABC 的周长
15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使 CE=CD，
不添辅助线，请你写出三个正确结论( 1)_______ _______；(2)
______________；(3)______________.
A
D
B
C
E
16．如图，将边长为 6cm 的等边三角形△ABC 沿 BC 方向向右平移后得△DEF，DE、AC 相交于点 G，若线段 CF=4cm，则△GEC 的周长是 _________ cm．
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边△CDE，连接 BD、AE 分别与 AC、CD F． （1）求证：BD=AE； （2）求∠AFB 的度数； （3）求证：BM=AN； （4）连接 MN，求证：MN∥BC．
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 20、解答： 解：△BDC≌△AEC．理由如下： ∵△ABC、△EDC 均为等边三角形， ∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°． 从而∠BCD=∠ACE．
ABC 为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰
三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
4．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，将△BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中
17．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD=CE，则 ∠BCD+∠CBE= _________ 度．
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课后作业 1. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有_ ________条对称轴。 3. 等边三角形两个内 角的平分线所成的钝角的度数是_____________. 4. 若一个三角形有两个外角都是 120°，则这个三角形是__________三角形。 5. 等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是____ _____。 6. 若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。 7. 若右图所示，已知点 D 在 BC 上，点 E 在 AD 上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2= 6 0°.求证：
12．如图，△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q，PQ=3，PE=1． （1）求证：AD=BE； （2）求 AD 的长
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13．已知，如图，延长△ABC 的各边，使得 BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接 D，E，F， 得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC 为等边三角形
14．如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相 交于点 F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD 的度数．
11．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，则△ABC 是 _________ 三角形．
12．如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状
是 _________
13．如图，M、N 是△ABC 的边 BC 上的两点，且 BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=
15．如图，D 是等边△ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边△EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
16．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC 于点 D，且 DE=DB，试 判断△CEB 的形状，并说明理由．
17．如图，已知 B、C、E 三点共线，分别以 BC、CE 为边作等边△ABC 和等
点 E 处，则∠A 等于（ ）A． 25°
B． 30° C． 45°
D． 60°
5．如图，已知 D、E、F 分别是等边 △ABC 的边 AB、BC、A C 上的点，
且 DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（ ）
A． △DEF 是等边三角形 B． △ADF≌△BED≌△CFE
_________ ．
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14．如图，用圆规以直角顶点 O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于 A、B 两点， 若再以 A 为圆心，以 OA 为半径画弧，与弧 AB 交于点 C，则∠AOC 等于多少？
交于 M、N，AE 与 BD 的交点为
23．已知：如图 1，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM，△CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F． （1）求证：AN=BM； （2）求证：△CEF 为等边三角形； （3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的 形，并 判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明
P1，O，P2 三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形
D． 等边三角形
二．填空题（共 10 小题）
9．已知等腰△ABC 中， AB=AC，∠B=60°， 则∠A= _____ ____ 度．
10．△ABC 中，∠A=∠B=6 0°，且 AB=10cm，则 BC= _________ cm．
B． 220°
C． 240°
D． 300°
2．下列说法正确的是（ ）
A． 等腰三角形的两条高相等
C． 有一个角是 60 °的锐角三角形是等边三角形
B． 等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
3．在△ABC 中，①若 AB=BC=CA，则△ABC 为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△
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在△BDC 和△AEC 中，
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∴△BDC≌△AEC（SAS）． 21、 解答： 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知） ∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1 分） ∵△DEF 是等边三角形（已知）， ∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2 分） 又∵AE=CD（已知）， ∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4 分） （2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等）， ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠ FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换）， △DEF 是等边三角形（已知）， ∴∠DEF=60°（等边三角形的性质）， ∴∠BCA=60°（等量代换）， 由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC， ∵∠DEC+∠FEC=60°， ∴∠EFA+∠FEC=60°， 又∠BAC 是△AEF 的外角， ∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°， ∴△ABC 中，AB=BC（等角对等边）．（6 分） ∴△ABC 是等边三角形（等边三角形的判定）．（7 分） 22、解答： 解：△CEB 是等边三角形．（1 分） 证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC， ∴∠CBE=∠ABE=60°．（3 分） 又 DE=DB， BE⊥AC， ∴CB=C E．（5 分） ∴△CEB 是等边三角形．（7 分） 23、（1）证明：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°， ∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN， 即：∠ACN=∠MCB， 在△ACN 和△MCB 中， AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC， ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN=BM． （2）证明：∵△AC N≌△MCB， ∴∠CAN=∠CMB． 又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠MCF=∠ACE． 在△CAE 和△CMF 中 ∠CAE=∠ CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF， ∴△CAE≌△CMF（ASA）． ∴CE=CF．
9．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= _______°． 10．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠ AC．下列结论中，正确的是 _________ ． ①BE=CD；②∠BO D=60°；③∠BDO=∠CEO． 11.如右图所示，在等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别截出 AD =AE，△ADE 是等边三角 形吗？说明理由。
C． DE=AB
D． S△ABC=3S△DEF
6．如图，在△ABC 中，D、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC 的度数是（
）
A． 30°
B． 45°
C． 120°
D． 15°
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，
一、CDDBDCCD 二、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90 度；14、60 度；15、 6； 16、60；17、130；18、①② 三、19、（1）证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE 和△CAD 中，
交 AB 于点 E ，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（ ）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm
第1题
第4题
第5题
第Fra Baidu bibliotek题
8．已知∠AOB=30°，点 P 在∠AOB 内部，P1 与 P 关于 OB 对称，P2 与 P 关于 OA 对称，则
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∴△CEF 为等腰三角形． 又∵∠ECF=60°， ∴△ CEF 为等边三角形． （3）解：如右图， ∵△CMA 和△NCB 都为等边三角形， ∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°， ∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN， ∴△CMB≌△CAN， ∴AN=MB， 结论 1 成立，结论 2 不成立．
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第 1 课时 等边三角形的性质和判定（课堂训练）
一．选择题（共 8 小题）
1．如图，一个等边三角形纸片 ，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β 的度数是
（ ）A． 180°
△AB C 是等边三角形。
7．如下图：等边△ABC，D 是三角形外一点 ，若 AD=AC，则
∠BDC=_________ ____度。
8、已知△ABC 中，∠A=∠B=60°，AB=3cm ________
△ABC 是等腰三角形，周长为 15cm 且∠A=60°，则 BC=_______
则△ABC 的周长
15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使 CE=CD，
不添辅助线，请你写出三个正确结论( 1)_______ _______；(2)
______________；(3)______________.
A
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B
C
E
16．如图，将边长为 6cm 的等边三角形△ABC 沿 BC 方向向右平移后得△DEF，DE、AC 相交于点 G，若线段 CF=4cm，则△GEC 的周长是 _________ cm．
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边△CDE，连接 BD、AE 分别与 AC、CD F． （1）求证：BD=AE； （2）求∠AFB 的度数； （3）求证：BM=AN； （4）连接 MN，求证：MN∥BC．
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∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 20、解答： 解：△BDC≌△AEC．理由如下： ∵△ABC、△EDC 均为等边三角形， ∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°． 从而∠BCD=∠ACE．
ABC 为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰
三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
4．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，将△BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在 AB 的中
17．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD=CE，则 ∠BCD+∠CBE= _________ 度．
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课后作业 1. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有_ ________条对称轴。 3. 等边三角形两个内 角的平分线所成的钝角的度数是_____________. 4. 若一个三角形有两个外角都是 120°，则这个三角形是__________三角形。 5. 等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是____ _____。 6. 若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_________三角形。 7. 若右图所示，已知点 D 在 BC 上，点 E 在 AD 上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2= 6 0°.求证：
12．如图，△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q，PQ=3，PE=1． （1）求证：AD=BE； （2）求 AD 的长
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13．已知，如图，延长△ABC 的各边，使得 BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接 D，E，F， 得到△DEF 为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC 为等边三角形
14．如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相 交于点 F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD 的度数．
11．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，则△ABC 是 _________ 三角形．
12．如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状
是 _________
13．如图，M、N 是△ABC 的边 BC 上的两点，且 BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=
15．如图，D 是等边△ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边△EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
16．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC 于点 D，且 DE=DB，试 判断△CEB 的形状，并说明理由．
17．如图，已知 B、C、E 三点共线，分别以 BC、CE 为边作等边△ABC 和等
点 E 处，则∠A 等于（ ）A． 25°
B． 30° C． 45°
D． 60°
5．如图，已知 D、E、F 分别是等边 △ABC 的边 AB、BC、A C 上的点，
且 DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（ ）
A． △DEF 是等边三角形 B． △ADF≌△BED≌△CFE
_________ ．
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14．如图，用圆规以直角顶点 O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于 A、B 两点， 若再以 A 为圆心，以 OA 为半径画弧，与弧 AB 交于点 C，则∠AOC 等于多少？
交于 M、N，AE 与 BD 的交点为
23．已知：如图 1，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM，△CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F． （1）求证：AN=BM； （2）求证：△CEF 为等边三角形； （3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的 形，并 判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明
P1，O，P2 三点所构成的三角形是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形
D． 等边三角形
二．填空题（共 10 小题）
9．已知等腰△ABC 中， AB=AC，∠B=60°， 则∠A= _____ ____ 度．
10．△ABC 中，∠A=∠B=6 0°，且 AB=10cm，则 BC= _________ cm．
B． 220°
C． 240°
D． 300°
2．下列说法正确的是（ ）
A． 等腰三角形的两条高相等
C． 有一个角是 60 °的锐角三角形是等边三角形
B． 等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
3．在△ABC 中，①若 AB=BC=CA，则△ABC 为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△