第二讲：绝对值与有理数的混合运算

第二讲：绝对值与有理数的加减
一、绝对值专题训练
11
例1 计算（1）-3+-5 （2）1- - （3）- 1.25 - -0.5
23
例 2、比较7和6的大小．
87
例 3、已知｜x｜＝ 5，求x的值。

拓展训练：（1）｜x－3|＝5，求 x 的值.
（2）如果有理数 a，b满足｜a｜=5,｜b｜=4且a<b，求 a和b的值
例 4．（数形结合思想）已知 a 、b、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c
| 的值等于（）
A ． -3a B． 2c －a C．2a－2b D ． b
例5．已知：x 0 z ，xy 0 ，且y z x ，那么x z y z x y 的值
（ C ）
A ．是正数B．是负数C．是零 D ．不能确定符号
例6．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数
的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原
点同侧呢？
解：设甲数为 x，乙数为 y 。

由题意得：x 3 y ，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若 x 在原点左侧， y在原点右侧，即 x<0 ， y>0 ，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即 x>0 ， y<0 ，则 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若 x、y 在原点左侧，即 x<0 ，y<0 ，则 -2y=8 ，所以 y=-4,x=-12
若 x、y 在原点右侧，即 x>0 ，y>0 ，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12
例7．（整体的思想）方程x 2008 2008 x 的解的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个 D ．无穷多个
3、 已知 a 5，b 3，求 a b
的值。

4、已知： a 和 b 互为相反数， m 、 n 互为倒数， c=－［－（＋ 2）］。

求 2a ＋2b ＋ mn
的值。

c
规范解答题步骤： 若｜ x ｜=3，｜ y ｜ =2 ，且｜ x-y ｜=y-x ，求 x+y 的值． 解 因为｜ x-y ｜≥ 0，所以 y-x ≥0，y ≥x ．由｜x ｜=3，｜y ｜=2 可知， x<0，即 x=-3．
（1）当 y=2 时， x+y=-1 ；
（2）当 y=-2 时， x+y=-5 ．
例 8．（非负性）已知 |ab － 2|与 |a － 1|互为相互数，试求下式的值．
1 ab
a1b1
1
a 2007
b 2007
课后训练（家庭作业）
1、比较下列每对数的大小：
32
（1）|3 |与| 2
2）－｜－ 7｜和－（－ 7） 4)| —(— 3)|与— |—3|；
5
6)— 5
与 8
7 11
2、已知 a 与 2b 互为倒数， c 与 d 互为相反数， x 3 ，求式子 2ab c d
x 值。

2
99
所以 x+y 的值为 -1 或 -5．
、有理数的运算 知识点一：有理数的运算法则
例 1 、直接写出结果：
1
（1）－ 1÷3× =
3
2
（3）－ 2×2－3（× -1）2
= 例 2 、能简便的用简便算法计算 . （1）－12＋11－8＋39－52
1 1 3 5
（3）（ 1 1 3 5 ）×（-24）
2 6 8 12
（5） 3 7 3 6
变式训练
变式 1、下列说法错误的是（ ）
A.a 一 定不小于 0.
2
C.若 a>0，则 a =a.
D.若 a =4，则 a=2
变式 2、下列式子的值与（-3- 2）
相等的是（ ）
5 5 5
A （. -3）5
（-2）5
B.-6
5 55
C （. -1）5
D （. -5）5
变式 3、.设 y （= x 2）2
＋5，当y 取最小值时， x y 的值是（ ）
A.10
B. －10
C.20
D. －20
2) 23 ( 8) 8
2
(4)(1－ 22
)
2）1
－ 1111
＋－＋
2－
3456
（4）
(
1 1 1) 1
4 5 3 60
(6) 51
1 1 3 1 (1 1) 3 (1 1
)
2 3 2 11 4
B.
－ a 有可能是负数
知识点二： 分数的拆分
把一项拆成两项的和或积， 使得算式可以消去某些项， 使运算简捷。

利 用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算
第 一 类 ：
1 1
1
或
1 1 1 1
n n 1 n n 1 n n m m n n m
m 1 1 n n m n n m
1 1 1 1 m n 1 1 第二类： 或 m n m n m n m n m n
第三类：
2 1 1 n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2
典型例题
1 1 1
1 2) 1 1 1
1 1
2 2
3 3
4 2006 2007 3)
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4
n(n 1)
4) 探究并计算：
1 1
1
1 1， 1 11
1
，
12 2 23
2 3 34 34
将 以上
个 等 式 两
边分别相
1
1 1
1
1 111
1
1
．
12
2 3 3 4
22
3 3
4 44
1、观察下列等式
加得：
13
1）猜想并写出：
1
n(n 1)
1 24 1 1 1
4 6 6 8 2006 2008
课后训练(家庭作业)
1 ．丁丁做了以下 4 道计算题 :
①( 1)2004 2004; ② 0 ( 1) 1;③ 1 1 1;④ 1 ( 1
) 1.
2 3 6 2 2 请你帮他检查一下 , 他
一共做对了 ( )
(A) 1 题 (B) 2 题 (C) 3 题 (D) 4 题
2 ．三个数 (1) ( 0.3)2
(2) ( 0.3)3
(3)
A . (1)> (3)> (2) B. (1)> (2)> (3) C . (3)> (2)> (1) D. (3)> (1)> (2) 3. 计算
正负数、数轴、相反数、绝对值练习题
1. _________________________ 若 x （ 5），则 x ____ . －3与 3之间的整数有 __________________________ 2、绝对值小于 4 且不小于 2 的整数是 ____________________ . 如果 a=— 2，则| — a|= _________________________ ,|a|= _________________ 3. 已知｜ａ｜＝ 3, ｜b ｜＝ 5,且ａ＜ｂ ,则 a ＋b 等于
( 0.3)4
的大小顺序是 ( )
1) 2 ( 3) 2
5 1
2.
2
2) 13
(1 0.5) 3
1 ( 4).
3) 54 32
(1 1
) 1
32
4)-14
-(1-0.5) ×1
×〔2-(-3) 2
〕
(5) 32
50 ( 5)2 1;
(6)
7) 2
3
3 5 8 2 4
(8)
1 2 3 4 5 6
⋯+99-100
4.与原点距离为 2 个单位的点有个，它们分别为。

5.绝对值小于 3 的整数有在数轴上表示的数 a 的点到原点的距离为 2 ，则a+|-a|= 。

6.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是（）
7._______________________________________ 在数轴上，表示与2的点距离为3的数是_____________________________________ 。

8._____________________________ 如果－ x=－（－ 12），那么 x= x
7 ，则x _______________________
9.一只蚂蚁在数轴上从原点Ｏ出发，先沿正方向爬行 3 个单位，再回头向左爬行 5
个单位，这时蚂蚁所在的点表示的数是＿＿＿＿＿ .
10.一个数的相反数的绝对值为 8，则这个数为（）
11.____________________________ a+5 与— 1 互为相反数，则 a= 16. 数轴上一点到原点距离为 10，那么这点所表示
的数是
12.一个数的相反数的绝对值为 6，则这个数为（）
13.________________________ 若 X的相反数是— 5，则 X= _______ ;若— X的相反数是— 3.7，则 X= __________
14.绝对值大于或等于 1，而小于 4 的所有的正整数的和是（）;比－ 7.1 大，而比1
小的整数是（）
15.找规律填数： 1、4、 9、、25、 36、。

16.5的倒数的绝对值是
3
51
17．把数5，2.5，，0，3 用“ ”号从小到大连起来：
22
18.下列说法中正确的是.
A. a 是正数
B. a 不是负数
C.- a 是负数
D.-a 不是正数
19.若 a+b=0，则有理数 a、b一定（）
A. 都是 0
B. 至少有一个是 0
C. 两数异号
D. 互为相反数
20.一个数的相反数大于它本身，这个数是（）
Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．０Ｄ．非负数
21.下列语句：①，一个数的绝对值一定是正数；② ，— a 一定是一个负数；
③，没有绝对
值为— 3 的数；④，若a =a, 则 a 是一个正数；⑤，离原点左边越远的数就越小。

正确
的有（）个。

A 、 0 B 、3 C 、2 D 、 4
22.下列说法错误的是：（）
A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴；
B、所有有理数都可以用数轴上的点表示；
C、数轴上的原点表示数 0；
D、数轴上表示— 3.33 的点在表示— 3 的点的左边。

23.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动
3个单位长度，再向左移动 7 个单位长度，这
时点所对应的数是——————（）
A.-3
B.-1
C.-2
D.-4
24.一个数是 7, 另一个数比它的相反数大 3. 则这两个数的和是（）
A － 3
B 3
C － 10
D 11。