三角形及三角函数公式

三角函数一共有6个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边余弦:cos 邻边比斜边正切:tan 对边比邻边余切:cot 邻边比对边正割:csc 斜边比对边余割:sec 斜边比邻边设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA海仑公式:SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/21 三角函数公式大全一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k·360)=sin αcos (α+k·360)=cos atan (α+k·360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1) cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式书p45 例4小计:57个另：三角函数口诀三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。

一个定义，三角函数，两种制度，角度弧度。

三套公式，牢固记忆，同角诱导，加法定理。

同角公式，八个三组，平方关系，导数商数。

诱导公式，两类九组，象限定号，偶同奇余。

两角和差，欲求正弦，正余余正，符号同前。

两角和差，欲求余弦，余余正正，符号相反。

两角相等，倍角公式，逆向反推，半角极限。

加加减减，变量替换，积化和差，和奇互变。

三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosAtan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)半角公式sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}其它公式a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan （π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin （π/2-α）= cosαcos （π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot （π/2-α）= tanαsin （3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan （3π/2+α）= -cotαcot （3π/2+α）= -tanαsin （3π/2-α）= -cosαcos （3π/2-α）= -sinαtan （3π/2-α）= cotαcot （3π/2-α）= tanα辅助角公式Asin α+Bcos α=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tan φ=B/A ）Asin α+Bcos α=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tan φ=A/B ）降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sin α·cos β·cos γ+cos α·sin β·cos γ+cos α·cos β·sin γ-sin α·sin β·sin γcos(α+β+γ)=cos α·cos β·cos γ-cos α·sin β·sin γ-sin α·cos β·sin γ-sin α·sin β·cos γtan(α+β+γ)=(tan α+tan β+tan γ-tan α·tan β·tan γ)/(1-tan α·tan β-tan β·tan γ-tan γ·tan α)1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。