八年级数学上册142乘法公式1421平方差公式教案新人教版

课题：14.2.1平方差公式
教学目标：
理解乘法的平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算．
重点：
平方差公式的推导和应用．
难点：
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学流程：
一、情境引入
灰太狼开了一家租地公司，一天他把一边长为a 米的正方形土地，租给慢羊羊种植，有一年，他对慢羊羊说，我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，再继续租给你，租金不变，这样你也没吃亏，你看如何，慢羊羊一听觉得没有吃亏，就答应了
.
慢羊羊回到羊村，就把这件事对喜羊羊他们讲了，喜羊羊一听马上说，“村长，您吃亏了！” 慢羊羊村长很吃惊的问道：“啊，那我吃亏了多少？”沸羊羊说道：“我来帮您算算，” 喜羊羊还没等沸羊羊开始算就说到：“不用算啦，村长亏了25平方米！” 沸羊羊不解道：“你怎么算的这么快呀？”。

二、知识回顾
1.说一说多项式乘以多项式的计算法则？
答案：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
.
2.填空
(1)(1)(1)________;
(2)(2)(2)________;(3)(21)(21)________.
x x m m x x +-=+-=+-=
答案：（1）21x -；（2）24m -；（3）241x -
三、探究
问题：观察下面等式，你能发现什么规律？
222112222(1)()()1;
(2)()()4;(3)()(1.
1)41x m x x m m x x x +-=-+-=-+-=-
归纳：乘法的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 22()()b b a a b a +-=-
图形演示：
尝试计算：
(1).(32)(32)x x +-，(2).(2)(2)x y x y -+--
解：222(1).(32)(32)(3)294x x x x +-=-=-
2222(2).(2)(2)()(2)4x y x y x y x y -+--=--=-
练习：
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
A ．(2x －3y)(－2x ＋3y)
B ．(－3x ＋4y)(－4y －3x)
C ．(x －y)(x ＋2y)
D ．(x ＋y)(－x －y)
答案：B
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
222
2
2223232323222
323294
(1)()()(2)()()9(3)()()(4)()(49)4a a a a a a b a x x x b b x a a x x +-=--=+-=---=---- 答案：（1）√；
（2）×；22222323()()46694129a b a b a ab ab b a ab b --=--+=-+
（3）×，22222()()24x x x x +-=-=-
（4）×，23232232349()()()()a a a a a ---=---+=-
3.计算：
(2)(2)(1)(5);(2)1(02981).y y y y +---+⨯ 解：
2222222
(1)(2)(2)(1)(5)
2(45)
445
41(2)10298(1002)(1002)
1002100004
9996
y y y y y y y y y y y +---+=--+-=---+=-+⨯=+-=-=-= 四、应用提高
计算(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)的结果是( )
A.x 8＋1
B.x 8－1
C.(x ＋1)
8 D.(x －1)8
答案：B
提示： 42422448(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
(1)(1)
1
x x x x x x x x x x ===＋＋＋－＋＋-＋--
五、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说乘法的平方差公式？
2.应用平方差公式时要注意什么？
六、达标测评
1．下列计算正确的是( )
A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－6
B ．(3x ＋2y)(3x －2y)＝3x 2－2y 2
C ．(m －n)(－m －n)＝m 2－n 2
D ．(34a ＋43b)(43b －34a)＝169b 2－916a 2
答案：D
2．如图①，在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )
A.a 2＋b 2＝(a ＋b)(a －b)
B.a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)
C.(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
D.(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
答案：B
3.计算：()1911119(22
2
()()(3)(3)
55)p q s q t t s p ---＋－；
解：
2222
(1)(911)(119)
(119)(119)
(11)(9)12181s t t s t s t s t s t s ==-=-＋－＋－
22
22
22
(2)(3)(3)
5522
(3)(3)
552()(3)5
4
925p q p q q p q p q p q p ---=-+--=--=-
4.先化简，再求值：a(3－a)－(1－a)(1＋a).
2222(3)(1)(1)
3(1)
3131
a a a a a a a a a a a ---+=---=--+=-解：
当a=2时，
原式＝3×2－1＝5.
七、布置作业
教材108页练习题第2题．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若分式12x x ++的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2
2．不论x ，y 为什么实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( )
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数 3．四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使ABCD 是平行四边形，需要补充的一个条件（ ） A ．AD=BC B ．AB=CD C ．∠DAB=∠ABC D ．∠ABC=∠BCD 4．一元二次方程22x x =的根是（ ）
A ．0x =
B ．2x =
C ．10x =，22x =
D ．无实数根 5．下列判断错误的是（ ）
A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6．在一个直角三角形中，如果斜边长是10，一条直角边长是6，那么另一条直角边长是（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
7．数据60，70，40，30这四个数的平均数是（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
8．如图，过平行四边形ABCD 对角线交点O 的直线交AD 于E ，交BC 于F ，若AB=5，BC=6，OE=2，那么四边形EFCD 周长是（ ）
A ．16
B ．15
C ．14
D ．13
9． 如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a<0；②a-b+c<0；③b2-4ac>0；④2a+b ＞0，其中正确的是（）
A．①②③④B．②③④C．①②③D．①②④
二、填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．
12．若
1
2
x
x
+
+
有意义，则x的取值范围为___．
13．如图，直线AB，IL，JK，DC，相互平行，直线AD，IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD 面积为18，四边形EFGH面积为11，则四边形IJKL面积为____.
14．对于一次函数y=（a+2）x+1，若y随x的增大而增大，则a的取值范围________
15．已知一次函数y=kx+2的图象与x 轴交点的横坐标为6，则当-3≤x≤3时，y 的最大值是______． 16．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长13米的楼梯上红地毯，则红地毯至少需要________米长。

17．已知，菱形ABCD 的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为_________．
三、解答题
18．如图，从点A(0,4)出发的一束光，经x 轴反射，过点C(6,4)，求这束光从点A 到点C 所经过的路径长度.
19．（6分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠A =∠C ，CD =2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为CD 的中点，连接EF 、BF ．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）求证：BF 平分∠ABC ；
（3）请判断△BEF 的形状，并证明你的结论.
20．（6分） (1)分解因式:44ax ay -
(2)解方程:262111x x x
++=--- 21．（6分）如图，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE DF =.
求证：四边形AECF 是平行四边形.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱AOBC 的顶点A 、C 的坐标分别为A （﹣2，0）、C （0，3），反比例函数的图象经过点B ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）这个反比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点B 、D （m ，1），根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
23．（8分）已知一次函数的图象经过点()3,5A 与点()4,9B --.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点(),P a m 和点()1,Q a n +在此一次函数的图象上，比较m ，n 的大小.
24．（10分）在一条直线上依次有A 、B 、C 三个海岛，某海巡船从A 岛出发沿直线匀速经B 岛驶向C 岛，执行海巡任务，最终达到C 岛．设该海巡船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．
为y （km ），y 与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， ；
（2）求y 与x 的函数关系式，并请解释图中点P 的坐标所表示的实际意义；
（3）在B 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km ，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？
25．（10分）计算：
114
222
x x x
⎛⎫
-÷
⎪
-+-
⎝⎭
．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【详解】
解：依题意得，x+1=2，
解得x=-1．
当x=-1时，分母x+2≠2，
即x=-1符合题意．
故选B．
【点睛】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．2．A
【解析】
【分析】
把代数式x2+y2+2x-4y+7根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
【详解】
解：x2+y2+2x-4y+7= x2 +2x+1+y2-4y+4+2
=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
则不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值总不小于2，
故选A.
3．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】
∵AB∥CD，∴只要满足AB=CD，可得四边形ABCD是平行四边形，故选：B．
【点睛】
考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．C
【解析】
【分析】
利用因式分解法即可将原方程变为x（x-1）=0，即可得x=0或x-1=0，则求得原方程的根．【详解】
解：∵x1=1x，
∴x1-1x=0，
∴x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
∴一元二次方程x1=1x的根x1=0，x1=1．
故选C．
【点睛】
此题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.
5．D
【解析】
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
6．C
【解析】
【分析】
本题直接根据勾股定理求解即可．
【详解】
由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长=1．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
用四个数的和除以4即可.
【详解】
（60+70+40+30）÷4=200÷4=50.
故选B.
【点睛】
本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、x n的算术平均数：x=1
n
(x1+x2+……+x n).
8．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC，AD∥BC，推出∠EAO=∠FCO，证△AEO≌△CFO，推出AE=CF，OE=OF=2，求出DE+CF=DE+AE=AD=6，即可求出答案．【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC ，AD ∥BC ，
∴∠EAO=∠FCO ，
在△AEO 和△CFO 中，
AOE=FOC OA=OC
EAO=FCO ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴AE=CF ，OE=OF=2，
∴DE+CF=DE+AE=AD=6，
∴四边形EFCD 的周长是EF+FC+CD+DE=2+2+6+5=1．
故选B ．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE+CF 的长和求出OF 长．
9．C
【解析】
试题分析：作F 点关于BD 的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD 于点P ．
∴EP+FP=EP+F′P ．
由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=1，AB ∥CD ，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D 是平行四边形，
∴EF′=AD=1．
∴EP+FP 的最小值为1．
故选C ．
考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题
10．C
【解析】
分析：根据抛物线开口方向得a ＜0，可对①进行判断；把x=-1代入y=ax 2+bx+c ，可对②进行判断;根据抛物线与x 轴的交点可对③进行判断，根据抛物线的对称轴小于1，可对④进行判断. 详解：抛物线开口向下:a<0,
故①正确;
当x=-1时,
y=a-b+c<0, 故②正确;
抛物线与x 轴有两个交点,
∴b 2-4ac >0,
故③正确, 由图象知2b a
<1,则2a+b<0,故④错误.故选C. 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.
二、填空题
11．AB=AD.
【解析】
【分析】
由条件OA=OC ，AB=CD 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 为平行四边形，再加上条件AB=AD 可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【详解】
添加AB=AD ，
∵OA=OC ，OB=OD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵AB=AD ，
∴四边形ABCD 是菱形，
故答案为：AB=AD ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 12．x ≥﹣1．
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，x+1≥0且x+2≠0，解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．1
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得EHB EIH S S ∆∆=，AEF EFJ S S ∆∆=，DFG FKG S S ∆∆=，GCH GHL S S ∆∆=，由面积和差关系可求四边形IJKL 面积．
【详解】
解：//AB IL ，//IJ BC ，
∴四边形EIHB 是平行四边形，
EHB EIH S S ∆∆∴=，
同理可得：AEF EFJ S S ∆∆=，DFG FKG S S ∆∆=，GCH GHL S S ∆∆=，
∴四边形IJKL 面积=四边形EFGH 面积-（四边形ABCD 面积-四边形EFGH 面积）11(1811)4=--=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得出EHB EIH S S ∆∆=是解题的关键． 14．a ＞-1
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．据此列式解答即可．
【详解】
解：根据一次函数的性质，对于y=（a+1）x+1，
当a+1＞0时，即a ＞-1时，y 随x 的增大而增大．
故答案是a>-1．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
15．1≤y≤1
【解析】
【分析】
将点(6，0)代入解析式即可求出k 的值，得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围得到函数值的取值范围即可．
【详解】
∵一次函数2y kx =+的图象与x 轴交点的横坐标为6，
∴这个交点的坐标为(6，0)，
把(6，0)代入2y kx =+中得：
062k =+，
13
k =-， ∵k =-13
＜0，y 随x 的增大而减小， 当3x =-时，()1323
y =-⨯-+=1． 当3x =时，13213
y =-⨯+=． 则13y ≤≤．
故答案是：13y ≤≤．
【点睛】
本题考查了利用直线上点坐标确定解析式，熟练掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b =+；对于一次函数求极值问题可通过增减性求，也可以代特殊值求出．
16．17
【解析】
【分析】
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可.
【详解】
根据勾股定理，楼梯水平长度为：
12米，
则红地毯至少要12＋5＝17米长.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边.
17．5：1（或1：5）
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质求出边长2AB =，再根据直角三角形的性质求出30B ∠=︒，得出
150DAB ∠=︒，即可得出结论．
【详解】 解：如图所示：四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为8，
2AB BC CD DA ∴====，180DAB B ∠+∠=︒，
1AE =，AE BC ⊥，
12
AE AB ∴=， 30B ∴∠=︒，
150DAB ∴∠=︒，
:5:1
∴∠∠=
DAB B
故答案为：5：1（或1：5）.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
三、解答题
18．10.
【解析】
【分析】
首先过点B作BD⊥x轴于D，由A（0，4），C(6,4)，即可得OA = CD = 4，OD = 6，由题意易证得△AOB≌△CDB，根据全等三角形即可得OB = BD = 3，AB = CB，又由勾股定理即可求得这束光从点A到点C所经过的路径的长．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵A(0,4)，C(6,4)，
∴OA = CD = 4，OD = 6，
由题意得，∠ABO =∠CBD,
∵∠AOB =∠CDB =90°，
∴△AOB≌△CDB，
∴OB = BD = 3，AB = CB,
在Rt△AOB中，225
=+=,
AB OA OB
∴这束光从点A到点C所经过的路径长度为AB+BC=10.
【点睛】
此题考查勾股定理，点的坐标，解题关键在于作辅助线.
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）ΔBEF为等腰三角形，见解析.
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠A+∠ABC=180°，由已知得出∠C+∠ABC=180°，证出AB//BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出BC=AD，AB//CD，得出∠CFB=∠ABF，由已知得出CF=BC，得出∠CFB=∠CBF，证出∠ABF=∠CBF即可；
（3）作FG⊥BE于G，证出FG/AD//BC，得出EG=BG，由线段垂直平分线的性质得出EF=BF 即可.
【详解】
解：(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°：
∵∠A=∠C
∴∠C+∠ABC=180°
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）证明：
∵F点为CD中点
∴CD=2CF
∴CD=2AD
∴CF=AD=BC
∴∠CFB=∠CBF
∴CD∥AB
∴∠CFB=∠FBA
∴∠FBA=∠CBF
∴BF平分∠ABC
(3)ΔBEF为等腰三角形
理由：如图，延长EF 交B 延长线于点G
∴DA ∥BG
∴∠G =∠DEF
∵F 为DC 中点
∴DF =CF
又∵∠DFE =∠CFG
∴ΔDFE ≌ΔCFG (AAS )
∴FE =FG
∵AD ∥BC ，BE ⊥AD
∴BE ⊥CD
∴∠EBG =90°
在RtΔEBG 中，F 为BG 中点
∴BF =12
EG =EF ∴ΔBEF 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键/
20．（1）22()()()a x y x y x y ++-；（2）无解
【解析】
【分析】
（1）先提公因式a ，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先找到最简公分母2
(1)x -，然后通过去分母，化简计算，求出方程的解，最后还要进行检验即可.
【详解】
解：（1）4444()ax ay a x y -=-
=2222()()a x y x y +-
=22()()()a x y x y x y ++-；
（2）262111x x x
++=--- 226(2)(1)111
x x x x ++-=--- 226(32)1x x x -++=-+
33x -=-
1x =
经检验，1x =时，210x -=，
∴原方程无解.
【点睛】
本题考查了因式分解和解分式方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和解分式方程的步骤，注意：解分式方程必须要验根.
21．见解析.
【解析】
【分析】
根据平行四边形性质得出AD ∥BC ，且AD=BC ，推出AF ∥EC ，AF=EC ，根据平行四边形的判定推出即可．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∕∕，且AD BC =，
∴AF EC ∕∕，
∵BE DF =，
∴AF EC =，
∴四边形AECF 是平行四边形
【点睛】
此题考查平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握判定法则
22．（1）y=
6x ；（2）当0＜x ＜2或x ＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质求得点B的坐标为（2，3），代入反比例函数的解析式
k
y
x
=即可求
得k值，从而求得反比例函数的表达式；（2）先求得m的值，根据图象即可求解.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=BC，OA∥BC，
而A（﹣2，0）、C（0，3），
∴B（2，3）；
设所求反比例函数的表达式为y=（k≠0），
把B（2，3）代入得k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）把D（m，1）代入y=得m=6，则D（6，1），
∴当0＜x＜2或x＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系及平行四边形的性质，关键是熟练掌握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．解决第（2）问时，利用了数形结合的数学思想.
23．(1) y=2x-1；（2）m<n．
【解析】
【分析】
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将已知两点坐标代入得到方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象的增减性进行解答．
【详解】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9），
∴
35
49
k b
k b
+
-+-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，解得
2
1
k
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴这个函数的解析式为y=2x-1；
（2）∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵a＜a+1，
∴m<n．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于比较基础的题，注意待定系数法的掌握，待定系数法是中学数学一种很重要的解题方法．
24．（1）15、1.7h；(2) 当0＜x≤0.5时，y与x的函数关系式为：y=-50x+25；当0.5＜x≤1.7时，y与x的函数关系式为：y=50x－25；(3)该海巡船能接受到该信号的时间0.6（h）
【解析】试题分析：（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时间=路程÷速度，计算即可求出a值；
（2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解．
试题解析：解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60，所以，A、C港口间的距离为：25+60=15km，海巡船的速度为：25÷0.5=50km/h，∴a=15÷50=1.7h．
故答案为：15，1.7h；
（2）当0＜x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0），
∴
25
{
0.50
b
k b
=
+=
，解得：
50
{
25
k
b
=-
=
．所以，y=﹣50x+25；
当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y=mx+n，∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60），
∴
0.50
{
1.760
m n
m n
+=
+=
，解得：
50
{
25
m
n
=
=-
．所以，y=50x﹣25；
（3）由﹣50x+25=15，解得x=0.2，由50x﹣25=15，解得x=0.1．
所以，该海巡船能接受到该信号的时间为：0.6h．
点睛：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，理解题目信息是解题的关键．
25．
1
2 x+
【解析】【分析】
根据分式的基本运算法则，先算括号内，再算除法. 【详解】 试题分析： 解：
()()()()
114222
4
222221424
2
4
x x x x x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪
-+-⎝⎭=÷
+---=⨯
+-=
+
【点睛】
考点：实数的运算；本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握实数的基本运算规则，即可完成.
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC=60°，AB=1
2
BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD=30°；②S ▱ABCD =AB•AC ；③OB=AB ；④OE=1
4
BC ，成立的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．点(1,3)A 在一次函数2y x m =+的图象上，则m 等于（ ） A ．5-
B ．5
C ．1-
D ．1
3．如图，等腰梯形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于 O ，则图中的全等三 角形有（ ）
A ．1 对
B ．2 对
C ．3 对
D ．4 对
4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线，看是否互相平分 B ．测量两组对边，看是否分别相等 C ．测量对角线，看是否相等
D ．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
5．如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点O 在坐标原点，点B 的坐标为（1,4),点A 在第二象限,反比例函数k
y x
=
的图象经过点A ，则k 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．﹣
154
D ．
154
6．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 衬衫尺码 39
40
41
42
43
平均每天销售件
数
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是( ) A ．平均数 B ．方差
C ．中位数
D ．众数
7．函数y ＝
2
x
x -的自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥0且x≠2
B ．x≥0
C ．x≠2
D ．x>2
8．如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC 的长是（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
9．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知点(224)P m m +，
﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)，
B ．(04)，
C ．40)(-，
D ．(0,4)-
二、填空题
11．比较大小: 27. (填“>”、“<"或“=")
12．命题“如a 2＞b 2，则a ＞b”的逆命题是 ■ 命题（填“真”或“假”）.
13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 的面积和是9，则正方形D 的边长为__________．
14．已知关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，则m的取值范围是_____．
15．某种分子的半径大约是0.0000108mm，用科学记数法表示为______________.
16．某高科技开发公司从2013年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是____________.
17．已知：
22
44
3
x x
y
-+-
=+，则x y=______.
三、解答题
18．如图，矩形ABCD的对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于点,E F，求证：四边形AFCE为菱形.
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点A(1，8)、B(m，2)．
(1)求该反比例函数和直线y =kx+b的表达式；
(2)求证：ΔOBC为直角三角形；
(3)设∠ACO＝α，点Q为反比例函数在第一象限内的图像上一动点，且满足90°－α＜∠QOC＜α，求点Q的横坐标q的取值范围．
20．（6分）中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间． 21．（6分）已知一次函数图象经过点(3 , 5) , (–4，–9)两点. (1)求一次函数解析式.
(2)求图象和坐标轴围成三角形面积.
22．（8分）已知：如（图1），在平面直角坐标中，A(12，0)，B(6，6)，点C 为线段AB 的中点，点D 与原点O 关于点C 对称．
（1）利用直尺和圆规在（图1）中作出点D 的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA 的形状，并说明理由；
（2）在（图1）中，动点E 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA 运动，到达点A 时停止；同时，动点F 从点O 出发，以每秒a 个单位的速度沿OB→BD→DA 运动，到达点A 时停止．设运动的时间为t （秒）．
①当t=4时，直线EF 恰好平分四边形OBDA 的面积，求a 的值； ②当t=5时，CE=CF ，请直接写出a 的值．
23．（8分）解方程： （1）()()2333x x x -=-. （2）2210x x --=.
24．（10分）为了解高中学生每月用掉中性笔笔芯的情况，随机抽查了30名高中学生进行调查，并将调查的数据制成如下的表格：
月平均用中性笔笔芯(根) 4 5 6 7 8 9
被调查的学生数7 4 9 5 2 3
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生月平均用中性笔笔芯数大约________根；
(2)被调查的学生月用中性笔笔芯数的中位数为________根，众数为________根；
(3)根据样本数据，若被调查的高中共有1000名学生，试估计该校月平均用中性笔笔芯数9根的约多少人？
25．（10分）如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
图1 图2
(1)求证：BE=EF；
(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE
平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，
得到△ABC 是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC ⊥AB ，得到S ▱ABCD =AB•AC ，
故②正确，根据AB=
12BC ，OB=1
2
BD ，且BD ＞BC ，得到AB ＜OB ，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=1
2AB ，于是得到OE=14
BC ，故④正确．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE 是等边三角形， ∴AE=AB=BE ，
∵AB=
1
2BC ， ∴AE=1
2
BC ，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC ⊥AB ，
∴S ▱ABCD =AB•AC ，故②正确， ∵AB=
12BC ，OB=1
2
BD ，且BD ＞BC ， ∴AB ＜OB ，故③错误； ∵CE=BE ，CO=OA ，
∴OE=1
2AB ， ∴OE=1
4
BC ，故④正确．
故选C ． 2．D 【解析】 【分析】
根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可． 【详解】
一次函数2y x m =+的图象经过点(1,3)A
∴=+，
32m
m=，
解得：1
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．3．C
【解析】
【分析】
由等腰梯形的性质可知，AB=CD，AC=BD，OA=OD，OB=OC，利用这些条件，就可以找图中的全等三角形了，有三对．
【详解】
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD,AC=BD,OA=OD,OB=OC,AD∥CB，
∴△AOB≌△DOC,△ABD≌△ACD,△ABC≌△DCB.
故选C.
【点睛】
本题考查等腰梯形的性质, 全等三角形的判定.解本题时应先观察图，尽可能多的先找出图中的全等三角形，然后根据已知条件进行证明.
4．D
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【详解】
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故本选项错误；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，故本选项错误；
D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
5．C
【解析】
【分析】
作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，
k x ），则C（
k
x
，-x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出
直线AC的解析式为：y=-1
4
x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得
k的值．
【详解】
作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
∠OAD=∠COE；∠ADO=∠OEC=90°；OA=OC，∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴AD=OE，OD=CE，
设A(x,k
x
),则C(
k
x
,−x)，
∵点B的坐标为(1,4)，∴22
4117
+=，直线OB为：y=4x，。