3.6李代数

➢另一种方法：
若紧致李群又是单纯李群，则其伴随表示是不可约表示
引入g×g矩阵 Tjk Tr(Ij Ik ) 可证明它与伴随表示的每一
生成元Iadp都对易，即
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[Iapd, T]jk (Iapd ) jqTr(IqIk ) Tr(Ij Iq )(Iapd )qk
0 q
由于 Tjk Tr(Ij Ik ) 与伴随表示的所有生成元对易，因此， jkT2 () 它是常数矩阵（j=k时才不为零）
子代数的半直和：若L1是L 的理想，L2不是，且L1+L2=L，
L1∩L2=Ф，[L1,L2] L1，则L 称 为两个子代数的半直和L
=L1 +s L2
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可解李代数：由李代数L 可定义一系列子代数，且 L (1)=[L,L ],L (2)=[L (1),L (1)]...若对L 存在整数n，使L (1)=0 成立，则L 称为可解李代数
n阶卡西米尔不变量
n阶卡西米尔算子在不可约表示中所取的常数
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➢对紧致李群，生成元的平方和是二阶卡西米尔算子，记
作
Ij Ij C2 () I
j
λ：对应第λ个表示；
Iλj：不可约表示Dλ的生成元 C2(λ): Dλ表示中（二阶）卡西米尔不变量
如何计算二阶卡西米尔不变量？
➢原则上，只需知道每一个生成元的具体形式即可；但对 参数较多的李群，这个计算比较复杂
✓ 可证：任李代数L 都可分解为一个可解李代数L1和一个 半单李代数L2的半直和；当L1=0时，L 是半单李代数；可 解李代数所有有限维不可约表示都是一维的
➢李代数同构：若李代数L '和L 的基及其线性组合一一对 应，且矢量乘积仍按同一规则一一对应，则L ' ≈L
同构的李代数在对应的基中结构常数相同，因此相应李 群局域同构
只需知道表示中一个生成元的具体形式，就可计算出 T2(λ)
T2(λ)与C2(λ)是什么关系？
✓将 Tjk Tr(Ij Ik ) jkT2 () 取j=k，并对j求和
Tr(Ij Ij ) T2 () g
j
不可约表示Dλ的维数
✓将 Ij Ij C2 () I 取迹 Tr(Ij Ij ) C2 () m
iC
D AB
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二、卡西米尔算子（符）
➢对紧致李群，选取适当参数，可以使结构常数完全反对 称，则可证明：生成元的平方和可与每一生成元对易
[IjIj, Ik ] 0
j
➢生成元的平方和在不可约表示中常取常数矩阵，此常数 矩阵可以用来标记李群的不可约表示，由此引入
n阶卡西米尔算子
由生成元的n次齐次多项式（n次方之和）构成，可与所 有生成元对易的算符
李代数同态：上述关系变成一多对应，则L ' ~L
此时，L 必可表示为两个子李代数的半直和，其中一个子
李代数L1是L 的理想，并与L
'的零矢量对应，称为同态核； 5
另一子李代数 L2 ≈L '
➢李代数线性表示或模：若李代数L '的元素是矩阵，且 L ' ≈L 或 L '~L，则 L '称为L 的线性表示或模
如：SU(2)，SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示，不可约， 因此SU(2)，SO(3)是单纯李群，相应李代数是单纯李代数
➢子代数的直和：若在李代数中，两个子代数L1和L2满足： L1+L2=L，L1∩L2=Ф，[L1,L2]=0，则L 称为两个子代数的 直和L =L1 + L2，显然L1，L2都是L 的理想
3.6 李代数
一、几组概念
生成元定义
g
D(A) 1 i jIj,
j1
Ij
i D(A) j
0
其中引入虚数单位，是为了使幺正表示生成元厄米
相应的代价是生成元对易关系中出现系数i [Ij, Ik ] i CljkIl
l
在数学文献中，通常取(-iIj)作为生成元
[(iI j), (iIk )] Cljk(iIl )
半单李群：不存在阿贝尔不变子群的李群
半单李代数：除零空间外，不存在阿贝尔理想的李代数
✓ 一阶李群：没有非平庸不变子群，必为单纯李群，但它
是阿贝尔李群，因此不是半单李群，相应的李代数为单纯
李代数，但不是半单李代数（如加法群）
3
✓ 高于一阶的单纯李群：都半单李群，相应的李代数为半 单李代数
➢李群是单纯李群，李代数是单纯李代数的充要条件： 李群的伴随表示是不可约表示
l
➢实李代数：在李群的真实表示中，(-iIj)生成元是线性无 关的，以它们作为基构成实线性空间，以生成元对易关系
为矢量乘积的定义，此实线性空间对矢量乘积封闭，构成
代数，称实李代数
1
紧致实李代数：紧致李群的实李代数
复李代数：生成元所有的复线性组合构成的线性空间关 于矢量乘积也封闭，构成的代数，简称李代数
X∈LG，Y∈LH，必有[X,Y]∈LH，则称LH是LG的理想 2
平庸理想：零和全体LG是李代数的两个平庸理想
阿贝尔理想：理想中的任意矢量乘积(生成元的对易关系)
可对易，即X,Y属于LH 且 [X,Y]=0
✓ 李代数存在非平庸理想是李群存在非平庸不变子群的充 要条件
源自文库
➢单纯李群：不存在非平庸不变子群的李群 单纯李代数：不存在非平庸理想的李代数
✓ 复李代数称为相应实李代数的复化 实李代数称为相应复李代数的实化 （同一复李代数的实形不唯一）
✓ 利用这一点，有些紧致李群与相应非紧致李群的实李代 数不同，但复李代数相同，这样可以根据紧致李群来寻找 非紧致李群的不等价不可约表示
➢理想：设李群G有子群H，它们的李代数分别记作LG和
LH，则LH LG，LH称为子代数；进一步，若对任意
✓ 局域意义上，李群和李代数，实李代数和复李代数有共 同的线性表示
李代数的等价表示：两个表示的基（生成元）可通过同 一相似变换联系
李代数的不可约表示：李代数表示空间对此李代数不存 在非平庸不变子空间
李代数的伴随表示：表示的基（生成元）满足
[IA , IB ]
I
D
(I
ad A
)
DB
D
IaAd
DB
j
j
✓则
gT2 ()
mC2 ()
C2 ()
g m
T2 ()
T2(λ)也常被称作9 二 阶卡西米尔不变量
SO(3)群
二阶卡西米尔算子就是轨道角动量平方算符
[L2 , Lz ] 0
二阶卡西米尔不变量
C2 () l (l 1)
练习
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