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排列的综合应用
(1)特殊元素优先法 对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑_特__殊__元素，再考 虑其他元素. (2)特殊位置优先法 对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑_特__殊___位置，再考虑 其他位置.
(3)相邻问题捆绑法 对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆 绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然 后再对_捆__绑__元素内部进行排列. (4)不相邻问题插空法 对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好， 然后将_不__相__邻___的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处.
1．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本 步骤
实际问题中每一类、 化归 （建模）
每一步中的计数问题
排列问题
得实际问
求数学模型
题的解
求排列数
的解
2．有限制条件的排列问题的类型及解题策略 (1)首先要分清是分类还是分步，这是一个大的原则，一般情 况下，对于较为复杂的问题，多是先分类，再在每一类中分步 解决. (2)其次要分清题型，可将题目大体分为诸如特殊位置(元素) 类、相邻问题类、插空问题类等，再利用相应方法计算. (3)最后注意应用正难则反的解题思想，即间接法.
【思考】组数问题中能被2，3，4，5，6整除的数的特征分别 是什么？ 提示：能被2整除的数的特征：末位是偶数；能被3整除的数的 特征：各位上数字之和为3的倍数；能被4整除的数的特征：末 两位是4的倍数；能被5整除的数的特征：末位是0或5；能被6 整除的数的特征：各位上数字之和是3的倍数的偶数.
排队、排节目顺序问题
(1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 【解析】1.选B.由题意知可分成三类：第一类，组成的整数为 一位数，有3个； 第二类，组成的整数为两位数，有 A=32 6个； 第三类，组成的整数为三位数，有 A=33 6个； 所以，组成没有重复数字的整数共有3+6+6=15个.
2.先排万位，从1，2，3，4中任选一个有4种填法，其余四个 位置的四个数共有 A种44 填法，故共有4 A=4496个满足条件的五 位数. 答案：96 3.(1)第一步，排个位，有 A种13 排法； 第二步，排十万位，有 A14种排法； 第三步，排其他位，有 A种44 排法． 故共有 A13A14＝A44288个六位奇数．
(2)常用方法：直接法、间接法. (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件， 恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
【典例训练】 1.用1，2，3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数 为( ) (A)27个 (B)15个 (C)12个 (D)6个 2.用0，1，2，3，4五个数可以组成_______个无重复数字的 五位数. 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的 无重复的数字？
(2)方法一(直接法)： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分 两类． 第一类，当个位排0时，有 A55个； 第二类，当个位不排0时，有 A14A14个A44． 故符合题意的六位数共有 A＋55 A14A＝14A54404(个)．
方法二(排除法)： 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这 两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有 A66 2A55＋＝A54404(个)．
3．在数字1，2，3与符号 ，λ五个元素的所有全排列中，任 意两个数字都不相邻的全排列个数是_______. 【解析】符号 ，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法 有 A33A=22 12种． 答案：12
4.有四位司机，四个售票员组成四个小组，每一组一位司机 和一位售票员，则不同的分组方案共有_______种. 【解析】先把四位司机固定好，再把四个售票员分给四个司 机，共有 A44=4×3×2×1=24种. 答案：24
排队、排节目问题的解题策略 (1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、 特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应 的方法解题. (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用， 解题过程中要恰当结合两个计数原理. (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可 起到事半功倍的效果.
数字的排列问题
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题， 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某 个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方 法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊 位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时， 应分类讨论．
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1.甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全
部排法吗？
提示：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙.实际上排法共有 A=33 3种.
A
2 2
2.用1，2，3三个数排成三位数，使1，2两个数相邻的三位数
有 A22 =2个，对吗？ 提示：不对.由于数字比较少，可以一一列出，123，312，
321，213，若采用捆绑法会更简单，即A22 A22=4个 .
(3)①当千位上排1,3时，有 A12A13个A42． ②当千位上排2时，有A12A个42 ． ③当千位上排4时，形如40××，42××的各有 A个13 ； 形如41××的有 A12个A13； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有 A12A13A42＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110 个 .
【典例训练】 1.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲 必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最 后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) (A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种
2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一 行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) (A)1440种 (B)960种 (C)720种 (D)480种
(1)特殊元素优先法 对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑_特__殊__元素，再考 虑其他元素. (2)特殊位置优先法 对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑_特__殊___位置，再考虑 其他位置.
(3)相邻问题捆绑法 对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆 绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然 后再对_捆__绑__元素内部进行排列. (4)不相邻问题插空法 对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好， 然后将_不__相__邻___的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处.
1．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本 步骤
实际问题中每一类、 化归 （建模）
每一步中的计数问题
排列问题
得实际问
求数学模型
题的解
求排列数
的解
2．有限制条件的排列问题的类型及解题策略 (1)首先要分清是分类还是分步，这是一个大的原则，一般情 况下，对于较为复杂的问题，多是先分类，再在每一类中分步 解决. (2)其次要分清题型，可将题目大体分为诸如特殊位置(元素) 类、相邻问题类、插空问题类等，再利用相应方法计算. (3)最后注意应用正难则反的解题思想，即间接法.
【思考】组数问题中能被2，3，4，5，6整除的数的特征分别 是什么？ 提示：能被2整除的数的特征：末位是偶数；能被3整除的数的 特征：各位上数字之和为3的倍数；能被4整除的数的特征：末 两位是4的倍数；能被5整除的数的特征：末位是0或5；能被6 整除的数的特征：各位上数字之和是3的倍数的偶数.
排队、排节目顺序问题
(1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 【解析】1.选B.由题意知可分成三类：第一类，组成的整数为 一位数，有3个； 第二类，组成的整数为两位数，有 A=32 6个； 第三类，组成的整数为三位数，有 A=33 6个； 所以，组成没有重复数字的整数共有3+6+6=15个.
2.先排万位，从1，2，3，4中任选一个有4种填法，其余四个 位置的四个数共有 A种44 填法，故共有4 A=4496个满足条件的五 位数. 答案：96 3.(1)第一步，排个位，有 A种13 排法； 第二步，排十万位，有 A14种排法； 第三步，排其他位，有 A种44 排法． 故共有 A13A14＝A44288个六位奇数．
(2)常用方法：直接法、间接法. (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件， 恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.
【典例训练】 1.用1，2，3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数 为( ) (A)27个 (B)15个 (C)12个 (D)6个 2.用0，1，2，3，4五个数可以组成_______个无重复数字的 五位数. 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的 无重复的数字？
(2)方法一(直接法)： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分 两类． 第一类，当个位排0时，有 A55个； 第二类，当个位不排0时，有 A14A14个A44． 故符合题意的六位数共有 A＋55 A14A＝14A54404(个)．
方法二(排除法)： 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这 两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有 A66 2A55＋＝A54404(个)．
3．在数字1，2，3与符号 ，λ五个元素的所有全排列中，任 意两个数字都不相邻的全排列个数是_______. 【解析】符号 ，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法 有 A33A=22 12种． 答案：12
4.有四位司机，四个售票员组成四个小组，每一组一位司机 和一位售票员，则不同的分组方案共有_______种. 【解析】先把四位司机固定好，再把四个售票员分给四个司 机，共有 A44=4×3×2×1=24种. 答案：24
排队、排节目问题的解题策略 (1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、 特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应 的方法解题. (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用， 解题过程中要恰当结合两个计数原理. (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可 起到事半功倍的效果.
数字的排列问题
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题， 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某 个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方 法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊 位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时， 应分类讨论．
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1.甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全
部排法吗？
提示：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙.实际上排法共有 A=33 3种.
A
2 2
2.用1，2，3三个数排成三位数，使1，2两个数相邻的三位数
有 A22 =2个，对吗？ 提示：不对.由于数字比较少，可以一一列出，123，312，
321，213，若采用捆绑法会更简单，即A22 A22=4个 .
(3)①当千位上排1,3时，有 A12A13个A42． ②当千位上排2时，有A12A个42 ． ③当千位上排4时，形如40××，42××的各有 A个13 ； 形如41××的有 A12个A13； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有 A12A13A42＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110 个 .
【典例训练】 1.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲 必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最 后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) (A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种
2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一 行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) (A)1440种 (B)960种 (C)720种 (D)480种