七年级个性化辅导讲义

学生：科目：第阶段第次课教师：课题
整式的乘除
教学目标1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；
2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算；
3、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。

重点、难点
重点是同底数幂的乘法法则及其灵活应用。

难点是理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象过程。

考点及考试要求
本章知识基础性强，注重基本计算技能的培养，能为以后分式的运算、一元二次方程的学习奠定基础，同时也是培养数感、符号感、空间观念的过程．所以在中考试题中，经常在选择题、填空题中出现本章知识的题目，在其他的解答题中会渗透整式运算和因式分解的内容．
教学内容
知识框架
幂的运算
整式的乘法整式的除法因式分解同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
零指数幂
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
互
逆
变
形
平方差公式
完全平方公式
整式的乘除
知识点归纳：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 2
2-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122
++-x ab a ，项有2
a 、a
b 2-、x 、1，二次项为2
a 、a
b 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x
按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++- 按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 5、同底数幂的乘法法则：n
m n
m
a
a a +=∙（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：5
32)()()(b a b a b a +=+∙+ 6、幂的乘方法则：mn
n
m a
a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10
2
53)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n
a a a
)()(== 如：23326)4()4(4==
7、积的乘方法则：n
n
n
b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5
101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 8、同底数幂的除法法则：n
m n
m
a
a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m
同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3
33
4
)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数；
10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p
p a a 1
=
-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如：81)21(233
==-
10、科学记数法：如：0.00000721=7.216
10-⨯（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）
11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里
含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 323
2
12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

] 如：)(3)32(2y x y y x x +-- 13、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)
6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a
14、平方差公式：2
2
))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+ 15、完全平方公式：2
2
2
2)(b ab a b a +±=±
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

16、三项式的完全平方公式：
bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
17、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 如：b a m b a 2
4
2
497÷-
18、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(
考点一：
典型例题
一、填空
1、(4×106)×(8×103
)= .
2、计算：若2x+5y-3=0，则4x ·32y
= .
3、3x(x n +5)=3x n+1
-7，则x= .
4、当x=2时，代数式a x 3
+bx-7的值为5，则x=-2时，这个代数式的值为 . 5、设a 是正数，且11=-
a a ，那么=-224
a
a 二、计算题：
1、(-x)3(-y)2-(-x 3y 2)；
2、 (x-6)(x 2
+x+1)-x(2x+1)(3x-1)；
3、y x y x x y xy y x x 232223)]()([÷---
4、解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1).
5、解不等式(x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).
6、已知2x =a ，2y =b ，求2x+y +23x+2y
的值.
7、若(3x 2-2x+1)(x+b)中不含x 2
项，求b 的值.
知识概括、方法总结与易错点分析
知识概括:理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则。

方法总结:灵活巧用公式。

易错点分析:混淆幂的运算法则。

针对性练习
一、填空题
1．x 10＝（－x 3）2·_________＝x 12÷x
（ ）
2．4（m －n ）3÷（n －m ）2
＝___________．
3．－x 2·（－x ）3·（－x ）2
＝__________．
4．（a －b ）2＝（a ＋b ）2
＋_____________．
5．（
31）－2＋ 0＝_________；4101×0.2599
＝__________． 6．203
2×1931
＝（ ）·（ ）＝___________．
7．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．
8．（x －2y ＋1）（x －2y －1）2＝（ ）2－（ ）2
＝_______________．
9．若（x ＋5）（x －7）＝x 2
＋mx ＋n ，则m ＝__________，n ＝________． 二、选择题
11．下列计算中正确的是……………………………………………………………（ ）
（A ）a n ·a 2＝a 2n （B ）（a 3）2＝a 5 （C ）x 4·x 3·x ＝x 7 （D ）a 2n －3÷a 3－n ＝a 3n －6
12．x 2m ＋1
可写作…………………………………………………………………… （ ）
（A ）（x 2）m ＋1 （B ）（x m ）2＋1 （C ）x ·x 2m （D ）（x m ）
m ＋1
13．下列运算正确的是………………………………………………………………（ ）
（A ）（－2ab ）·（－3ab ）3＝－54a 4b 4
（B ）5x 2·（3x 3）2＝15x 12
（C ）（－0.16）·（－10b 2）3＝－b 7
（D ）（2×10n
）（
2
1×10n ）＝102n
14．化简（a n b m
）n ，结果正确的是…………………………………………………（ ） （A ）a 2n b
mn
（B ）n
m n b a 2 （C ）mn
n b
a 2 （D ）n
m n
b
a 2
15．若a ≠b ，下列各式中不能成立的是……………………………………………（ ）
（A ）（a ＋b ）2＝（－a －b ）2
（B ）（a ＋b ）（a －b ）＝（b ＋a ）（b －a ）
（C ）（a －b ）2n ＝（b －a ）2n （D ）（a －b ）3＝（b －a ）3
16．下列各组数中，互为相反数的是……………………………………………… （ ）
（A ）（－2）－3与23 （B ）（－2）－2与2－2
（C ）－33
与（－
31）3 （D ）（－3）－3
与（3
1）3 17．下列各式中正确的是…………………………………………………………… （ ）
（A ）（a ＋4）（a －4）＝a 2－4 （B ）（5x －1）（1－5x ）＝25x 2
－1
（C ）（－3x ＋2）2＝4－12x ＋9x 2 （D ）（x －3）（x －9）＝x 2
－27
18．如果x 2
－kx －ab ＝（x －a ）（x ＋b ），则k 应为……………………………… （ ）
（A ）a ＋b （B ）a －b （C ）b －a （D ）－a －b
三、计算
19．（1）（－3xy 2
）3
·（61x 3y ）2； （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－2
1a 5xy 2
）；
（3）（2a －3b ）2（2a ＋3b ）2； （4）（2x ＋5y ）（2x －5y ）（－4x 2－25y 2
）；
（5）（20a n －2b n
－14a n －1b n ＋1＋8a 2n b ）÷（－2a n －3b ）；
（6）（x －3）（2x ＋1）－3（2x －1）2
．
20．用简便方法计算：（每小题3分，共9分）
（1）982
； （2）899×901＋1； （3）（7
10）2002·（0.49）1000
．
考点二：
典型例题
知识点拓展题：（灵活运用整式的乘除的相关知识点，注意举一反三、触类旁通。

）
一、选择题
1、化简(-x)3·(-x)2
的结果正确的是( )
A.-x 6
B.x 6
C.x 5
D.-x 5
2、下列运算中，正确的是( )
A.x 2·x 3=x 6
B.(a b)3=a 3b 3
C.3a +2a =5a 2
D.(a -1)2=a 2
-1
3、若a 为整数，则a a +2
一定能被（ ）整除
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5、如果x m-3·x n =x 2
，那么n 等于( )
A.m-1
B.m+5
C.4-m
D.5-m
6、计算(
32)2007×1.52008×(-1)2009
的结果是( ) A.32 B.23 C.-3
2
D.-
2
3 7、方程x(x-3)+2(x-3)=x 2
-8的解为( )
A.x=2
B.x=-2
C.x=4
D.x=－4
8、已知a 、b 满足等式202
2++=b a x ，)2(4a b y -=则的大小关系是（ ）
A 、y x ≤
B 、y x ≥
C 、y x <
D 、y x >
二、解答题（每题6分，共24分）
1．已知a 2＋6a ＋b 2
－10b ＋34＝0，求代数式（2a ＋b ）（3a －2b ）＋4ab 的值．
【提示】配方：（a ＋3）2＋（b －5）2
＝0，a ＝－3，b ＝5，
2．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求2
22b a +，a 2－ab ＋b 2
的值．
3．已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2
，ab 的值．
4．已知a 2＋b 2＋c 2
＝ab ＋bc ＋ac ，求证a ＝b ＝c ．
知识概括、方法总结与易错点分析
知识概括：整式的乘除法。

方法总结：同底数幂的乘法法则、灵活运用相关公式。

易错点分析：易陷入套用公式的桎梏。

针对性练习： 一、填空题
1、（-a 2）5÷（-a ）3
=
2、已知8·22m －1
·23m
=217
，则m=
3、若x 2
-kx ＋25是一个完全平方式，则k ＝ 4、已知a －
a 1 =3，则a 2+a
12 的值等于 5、已知2m
＝x ，43m
＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝ 6、若5x-3y-2=0,则531010x y
÷=_________ 7、如果3,9m
n
a a ==,则32m n
a
-=________。

8、22004×(－2)2004×(－1
4)2004
=_______
二、选择题
1、计算（-4×103
）2
×（-2×103
）3
的正确结果是（ ）
A ．1.08×1017
B.-1.28×1017
C.4.8×1016
D.-1.4×1016
2、如果一个单项式与3ab -的积为2
34
a bc -
,则这个单项式为（ ） A 、214a c B 、14ac C 、294a c D 、94
ac
3、如果(x －2)(x ＋3) ＝ x 2
＋px ＋q ，那么p 、q 的值为 （ ） A ．p ＝5，q ＝6 B ．p ＝1，q ＝－6
C ．p ＝1，q ＝6
D ．p ＝5，q ＝－6
4、已知(a+b)2=m ，(a —b)2
=n ，则ab 等于（ ） A 、
()n m -21
B 、()n m --21
C 、()n m -41
D 、()n m --4
1 5、若二项式4m 2
+9加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 6、已知M ＝8x 2
－y 2
＋6x －2，N ＝9x 2
＋4y ＋13，则M －N 的值 （ ） A 、为正数 B 、为负数
C 、为非正数
D 、不能确定 7、规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*（-b ）+ a*b 计算结果为（ ） A. 0 B. 2a C. 2b D.2a b 8、下列各式中，计算错误的是（ ）
A 、(x+1)(x+2)=x 2+3x+2
B 、(x-2)(x+3)=x 2
+x-6
C 、(x+4)(x-2)=x 2+2x-8
D 、(x+y-1)(x+y-2)=(x+y)2
-3(x+y)-2 9、已知55
44
33
2,3,4a b c ===,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c
10、若N b a b a ++=-2
2
)32()32(，则N 的代数式是（ ）
绿化园地
A. -24ab
B.12ab
C.24ab
D.-12ab
11、在①x 2
－(－2)2
＝(x+2)(x －2)； ②(2a+b)2
＝4a 2
+b 2
； ③(8
1
×10)0
＝1； 12题图 ④(m+2)(m －4)＝m 2
－8 中正确的算式有 （ ）
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
12、如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A 、22R π
B 、24R π
C 、2
R π D 、不能确定
巩固作业
《整式的乘除》能力拔高习题
一、填空题（每小题2分，共计24分）
1．a 6·a 2÷（－a 2）3
＝________．
2．（ ）2＝a 6b 4n －2
．
3． ______·x m －1＝x m ＋n ＋1
．
4．（2x 2
－4x －10xy ）÷（ ）＝
21x －1－2
5
y ． 5．x 2n
－x n ＋________＝（ ）2
．
6．若3m ·3n
＝1，则m ＋n ＝_________．
7．已知x m ·x n ·x 3＝（x 2）7
，则当n ＝6时m ＝_______．
8．若x ＋y ＝8，x 2y 2＝4，则x 2＋y 2
＝_________．
9．若3x ＝a ，3y ＝b ，则3x －y
＝_________．
10．[3（a ＋b ）2
－a －b ]÷（a ＋b ）＝_________．
11．若2×3×9m ＝2×311
，则m ＝___________．
12．代数式4x 2
＋3mx ＋9是完全平方式则m ＝___________． 二、选择题（每小题2分，共计16分）
13．计算（－a ）3·（a 2）3·（－a ）2
的结果正确的是……………………………（ ）
（A ）a 11 （B ）a 11 （C ）－a 10 （D ）a 13
14．下列计算正确的是………………………………………………………………（ ）
（A ）x 2（m ＋1）÷x m ＋1＝x 2 （B ）（xy ）8÷（xy ）4＝（xy ）2
（C ）x 10÷（x 7÷x 2）＝x 5 （D ）x 4n ÷x 2n ·x 2n
＝1 15．4m ·4n
的结果是……………………………………………………………………（ ）
（A ）22（m ＋n ） （B ）16mn （C ）4mn （D ）16m ＋n
16．若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a
的值为………………………（ ）
（A ）5 （B ）
2
5
（C ）25 （D ）10 17．下列算式中，正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）（a 2b 3
）5
÷（ab 2
）10
＝ab 5
（B ）（
31）－2＝23
1＝91
（C ）（0.00001）0
＝（9999）0
（D ）3.24×10－4
＝0.0000324
18．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2
＋1）等于………………………………………………（ ）
（A ）a 4－1 （B ）a 4＋1 （C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4
19．若（x ＋m ）（x －8）中不含x 的一次项，则m 的值为………………………（ ） （A ）8 （B ）－8 （C ）0 （D ）8或－8
20．已知a ＋b ＝10，ab ＝24，则a 2＋b 2
的值是 …………………………………（ ） （A ）148 （B ）76 （C ）58 （D ）52
三、计算（19题每小题4分，共计24分）
21．（1）（
32a 2b ）3÷（31ab 2）2×4
3
a 3
b 2；
（2）（4x ＋3y ）2－（4
x －3y ）2
；
（3）（2a －3b ＋1）2
； （4）（x 2－2x －1）（x 2
＋2x －1）； （5）（a －
61b ）（2a ＋31b ）（3a 2
＋12
1b 2）；
（6）[（a －b ）（a ＋b ）]2
÷（a 2
－2ab ＋b 2
）－2ab ．
22．化简求值（本题6分）
[（x ＋
21y ）2＋（x －21y ）2]（2x 2－2
1y 2），其中x ＝－3，y ＝4．
四、计算（每小题5分，共10分）
23．9972
－1001×999．
22．（1－
221）（1－231）（1－241）…（1－2
9
1）（1－2011
）的值．
五、解答题（每小题5分，共20分）
23．已知x ＋
x 1＝2，求x 2＋21x ，x 4
＋41x
的值． 24．已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，求代数式2
2
2b a －ab 的值．
25．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2
＋3的值．
26．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3
项，求p 、q 的值．。